時量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1. 設，是兩個不共線向量，若向量與向量共線，則( )
A. B. C. D.
2. 定義：若，則稱復數(shù)是復數(shù)的平方根.根據定義，復數(shù)的平方根為( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 與向量垂直的單位向量為( )
A. B. 或
C. D. 或
4. 若一個球的外切正方體的表面積等于6 cm2，則此球的體積為( )
A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3
5. 在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球半徑為( )
A 3B. C. D. 6
6. 下列命題正確的為( )
①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P、Q，R，則P，Q，R三點共線；
②若三條直線a，b、c互相平行且分別交直線于A、B、C三點，則這四條直線共面；
③已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面；
④已知a，b，c為三條直線，若，，則.
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①②
7. 如圖，在中，已知，，，、邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為( )
A. B. C. D.
8. 如圖，某人用長的繩索，施力，把重物沿著坡度為30°的斜面向上拖了，拖拉點在豎直方向距離斜面的高度為，則此人對該物體所做的功為( )
A. B. C. D.
二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)
9. 已知為復數(shù)，是的共軛復數(shù)，則下列命題一定正確的是( )
A. 若為純虛數(shù)，則B. 若，則
C. 若，則的最大值為2D.
10. 關于直線，與平面，，以下四個命題中真命題是
A. 若，且，則B. 若，且，則
C. 若，且，則D. 若，且，則
11. 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論，其中正確的是( )
A. B. 與所成的角為60°
C. 與是異面直線D. 平面
12. 已知兩個不相等的非零向量,，兩組向量,,,,和,,,,均由2個和3個排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題中真命題為( )
A. 可能有5個不同的值
B. 若，則與無關
C. 若，則
D. 若，，則與的夾角為
三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 如圖，將一個長方體沿著相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則此棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比是______.

14. 已知向量 , ，則向量的模的最大值是________.
15. 在復平面內，為原點，向量，對應復數(shù)為，將繞點沿逆時針方向旋轉，且將向量的模變?yōu)樵瓉淼谋叮孟蛄?，此時向量對應的復數(shù)為.現(xiàn)有一平行四邊形，如圖，，，，，則點直角坐標為______.
16. 如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是______.
四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. 已知復數(shù)，，其中是實數(shù)．
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若是純虛數(shù)，是正實數(shù)，求．
18. 某校學生利用解三角形有關知識進行數(shù)學實踐活動.處有一棟大樓，某學生選，兩處作為測量點，測得距離為，，，在處測得大樓樓頂?shù)难鼋菫?5°.
(1)求兩點間的距離；
(2)求大樓的高度.
19. 已知在直角三角形中，，(如圖所示)
(1)若以為軸，直角三角形旋轉一周，求所得幾何體的表面積.
(2)一只螞蟻在問題(1)形成的幾何體上從點繞著幾何體的側面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離.
20. 在銳角中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知邊，且.
(1)若，求的面積；
(2)記邊中點為，求的最大值，并說明理由.
21. 如圖所示，點是所在平面上一點，并且滿足，已知，，.

(1)若是的外心，求、的值；
(2)如果是的平分線上某點，則當達到最小值時，求的值.
22. 如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,,,底面,,點在棱上,且
(1)證明：面面;
(2)求二面角的余弦值.

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