2022-2023學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高一下學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時量：120分鐘滿分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）
1. 已知，則（）
A. 3B. 4C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式，即可求得答案.
【詳解】因為，所以.
故選：C.
2. 的三內(nèi)角所對邊分別為，若，則角的大?。? ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.
【詳解】解：由余弦定理得，
因為，所以.
故選：B
3 已知平面向量，若，則（）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線得，則.
【詳解】，，顯然，，
故選：A.
4. 函數(shù)的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用奇偶性可排除兩個選項，再利用當(dāng)時，函數(shù)值的正負(fù)即可判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，排除CD；
當(dāng)時，，即當(dāng)時，函數(shù)的圖象在x軸的上方，顯然A不滿足，B滿足.
故選：B
5. 已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（）
A. 8B. 17C. 20D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】利用，展開后通過基本不等式求最小值.
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
故選：D.
6. 如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)半球的半徑為，連接交于點，連接，利用四棱錐的體積公式求出半徑，再代入球的體積公式即可求解.
【詳解】依題意，設(shè)半球的半徑為，
連接交于點，連接，如圖所示：
則有，易得，
所以正四棱錐的體積為：
，
解得：，
所以半球的體積為：.
故選：C.
7. 已知是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則滿足的一個值的區(qū)間可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合余弦二倍角公式、余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為是偶函數(shù)，故，由，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，即，所以，，
即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以不合題意，選項B符合.
故選：B
8. 已知定義域為R的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A. 的圖象關(guān)于直線對稱B. 的圖象關(guān)于點對稱
C. D. 的一個周期為8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，可得，判斷B;根據(jù)是偶函數(shù)，推出，判斷A;繼而可得，可判斷D；利用賦值法求得，根據(jù)對稱性可判斷C.
【詳解】由題意知是奇函數(shù)，即，
即，即，
故的圖象關(guān)于點對稱，B結(jié)論正確；
又是偶函數(shù)，故，
即，故的圖象關(guān)于直線對稱，A結(jié)論正確；
由以上可知，即，
所以，則，
故的一個周期為8，D結(jié)論正確；
由于，令，可得，
而的圖象關(guān)于直線對稱，故，C結(jié)論錯誤，
故選：C
【點睛】方法點睛：此類抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷問題，解答時一般要注意根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的定義去解答，比如奇偶性，采用整體代換的方法，往往還要結(jié)合賦值法求得特殊值，進(jìn)行解決.
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）
9. 下列結(jié)論正確的是（）．
A. 模等于1個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等
B. 已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，也能作為一組基底
C. 已知單位向量，滿足，則在方向上的投影向量為
D. 已知，i虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則
【答案】BC
【解析】
【分析】結(jié)合單位向量、向量的基底、投影向量、虛數(shù)等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.
【詳解】對于A，雖然單位向量模長相等，但方向可以不同，故不是所有單位向量均相等，A錯誤；
對于B，∵，為一組基底，∴，不共線，
∴，也不共線，∴，也可以作為一組基底，B正確；
對于C選項，，兩邊平方得，，
所以在方向上的投影向量為，C選項正確；
對于D選項，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，
則，解得，D選項錯誤，故選BC．
10. 計算下列各式，結(jié)果為的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】運用輔助角公式、誘導(dǎo)公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函數(shù)值、三角恒等變換中“1”的代換化簡即可.
【詳解】對于選項A，由輔助角公式得.故選項A正確；
對于選項B，，故選項B錯誤；
對于選項C，，故選項C錯誤；
對于選項D，，故選項D正確.
故選：AD.
11. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列命題為真命題的是（）．
A. 若，則
B. 若，則是鈍角三角形
C. 若，則為等腰三角形
D. 若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦定理結(jié)合結(jié)論大角對大邊可判斷A；由余弦定理結(jié)合正弦定理的邊角互換可判斷B；由正弦定理的邊角互換結(jié)合二倍角的正弦公式可判斷C；由余弦定理求出可判斷D.
【詳解】對A選項，根據(jù)結(jié)論大角對大邊，則有，
又因為正弦定理，所以，故A正確；
對B選項，由可得，
∴，為鈍角三角形，故B正確；
對C選項，由可得，∴，
∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C錯誤；
對D選項，由，
則，解得，
故，滿足條件的三角形有且只有一個，故D正確.
故選：ABD．
12. “奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A. 若，則
B. 若，，，則
C. 若O為△ABC的內(nèi)心，，則
D. 若O為△ABC的垂心，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對A，由奔馳定理即可判斷；
對B，由面積公式求出，結(jié)合奔馳定理即可求；
對C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；
對D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積垂直表示可得，
結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，
如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求
【詳解】對A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對；
對B，，由得，故，B錯；
對C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對；
對D，若O為△ABC的垂心，則，，
又，
同理，∴，
∵，則，
且
如圖，分別為垂足，
設(shè)，，則，
又，故，
由，解得，
由，故，D對故選：ACD
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
13. 設(shè)函數(shù)?，則?_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.
【詳解】由已知可得，則.
故答案為：.
14. 如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)斜二測畫法的過程把給出的直觀圖還原回原圖形，再利用斜二測畫法的特點及平行四邊形的面積公式即可求解.
【詳解】由直觀圖可知，在直觀圖中,正方形的對角線長為，由斜二測畫法的特點，知該平面圖形的直觀圖的原圖形如圖所示
所以原圖圖形為平行四邊形，底面邊長為，位于軸的對角線長為，
所以原來圖形的面積為.
故答案為：.
15. 已知命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】將問題等價轉(zhuǎn)化為，恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】命題是假命題，
即命題，是真命題，
也即在上恒成立，
令，
因為，所以當(dāng)時函數(shù)取最小值，
即，所以，
故答案為：.
16. 設(shè)銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍是___.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理將目標(biāo)式由邊化為角的函數(shù)關(guān)系，再求的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，則，，
又，
故由正弦定理可得：
又為銳角三角形，故可得，
解得，則，故，
即.
故答案為：.
四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 已知，，．
（1）求與的夾角；
（2）若，且，求實數(shù)t的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可求出，再由向量的夾角公式代入即可得出答案.
（2）由題意可得，代入化簡即可得出答案.
【小問1詳解】
因為，
所以，即，所以，
所以，
又，所以．
【小問2詳解】
因為，且，
所以．
即，解得．
18. 已知函數(shù)．
（1）求最小正周期；
（2）將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由降冪公式和輔助角公式化簡，結(jié)合周期公式即可求解；
（2）結(jié)合平移法則和誘導(dǎo)公式化簡得，由余弦函數(shù)圖象特征解不等式即可求解.
【小問1詳解】
，故；
【小問2詳解】
因為，向左平移個單位長度，
得到，
故要使，需滿足，解得，故的解集為
19. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．
（1）求角B；
（2）若D為AC的中點，且，b＝3，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得出角B；
（2）由向量的運算得出，由余弦定理得出，進(jìn)而得出，最后得出面積.
【小問1詳解】
因為，所以.
即，即
又，所以.
【小問2詳解】
由，得，則由平行四邊形法則可得，
則，即①
又，即②
由①②可得.
則.
20. 噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題.實踐證明，聲音強度（分貝）由公式(為非零常數(shù))給出，其中為聲音能量.
（1）當(dāng)聲音強度滿足時，求對應(yīng)的聲音能量滿足的等量關(guān)系式；
（2）當(dāng)人們低聲說話，聲音能量為時，聲音強度為30分貝；當(dāng)人們正常說話，聲音能量為時，聲音強度為40分貝.當(dāng)聲音能量大于60分貝時屬于噪音，一般人在100分貝~120分貝的空間內(nèi)，一分鐘就會暫時性失聰.問聲音能量在什么范圍時，人會暫時性失聰.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【詳解】分析：（1）將對應(yīng)的聲音能量I1，I2，I3代入公式D=algI+b，根據(jù)滿足D1+2D2=3D3建立等量關(guān)系，最后根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)可求出所求；
（2）根據(jù)聲音能量為10-13W/cm2時，聲音強度為30分貝，聲音能量為10-12W/cm2時，聲音強度為40分貝，建立關(guān)于a，b的方程組，解之即可求出公式D=algI+b的解析式，最后根據(jù)一般人在100分貝～120分貝的空間內(nèi)建立不等式，解之即可．
詳解：
（1）
，
（2）由題意得 .解得：
，
答：當(dāng)聲音能量時，人會暫時性失聰.
點睛：該題屬于應(yīng)用函數(shù)去解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活且服務(wù)于生活，在做題的過程中，找準(zhǔn)關(guān)鍵點，從而得知往哪個方向思考，本題的關(guān)鍵是利用題中的解析式建立關(guān)系.
21. 如圖，直三棱柱中，，，，P為線段上的動點．
（1）當(dāng)P為線段上的中點時，求三棱錐的體積；
（2）當(dāng)P在線段上移動時，求的最小值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出，即可求出的面積，再由等體積法求解即可；
（2）根據(jù)平面展開圖可確定的最小值即長，由三角形余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
由已知可得，
由余弦定理有，得到．
在中，有，
．
【小問2詳解】
將繞旋轉(zhuǎn)到與同一平面（如圖所示），
連接交于點，此時取得最小值，最小值即長．
在中，，，，
故，故，即，
又易知，故，
由余弦定理得，所以，
（或者在中由勾股定理得）
故的最小值為．
22. 定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．
（1）設(shè)，請問函數(shù)是否存在相伴向量，若存在，求出與共線的單位向量；若不存在，請說明理由．
（2）已知點滿足：，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍．
【答案】（1）存在，或
（2）
【解析】
【分析】（1）由題知，進(jìn)而根據(jù)相伴向量的定義求解即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而結(jié)合二倍角公式得，再令，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)值域求解即可.
【小問1詳解】
因為
，
所以，函數(shù)存在相伴向量，，
所以，與共線的單位向量為或
.
小問2詳解】
的“相伴函數(shù)”，
因為在處取得最大值，
所以，當(dāng)，即時，有最大值，
所以，，
所以，
因為，，
所以，
所以，
令，則，
因為均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，，
所以，的取值范圍為.

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