長郡中學2022～2023學年度高一第二學期第一次適應性檢測數(shù)學時量：120分鐘 滿分：150分得分__________一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1．已知，i為虛數(shù)單位，則（    ）．A．3 B．4 C． D．102．的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角C的大小為（    ）．A． B． C． D．3．已知平面向量，，若，則（    ）．A． B． C．2 D．4．函數(shù)的圖象大致為（    ）．A．B．C．D．5．已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（    ）．A．8 B．17 C．20 D．256．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（    ）．A． B． C． D．7．已知是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則滿足的一個x值的區(qū)間可以是（    ）．A． B． C．    D．8．已知定義域為R的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論錯誤的是（    ）．A．的圖象關于直線對稱     B．的圖象關于點對稱C．      D．的一個周期為8二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9．下列結論正確的是（    ）．A．模等于1個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等B．已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，也能作為一組基底C．已知單位向量，滿足，則在方向上的投影向量為D．已知，i為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則10．計算下列各式，結果為的是（    ）．A． B．C．  D．11．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列命題為真命題的是（    ）．A．若，則B．若，則是鈍角三角形C．若，則為等腰三角形D．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes-benz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，其定義為：已知O是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，則，設O是是銳角的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（    ）．A．若，則B．若，，，則C．若O為的內(nèi)心，，則D．若O為的垂心，，則答題卡題號123456789101112答案            三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．設函數(shù)，則__________．14．如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是__________．15．已知命題，是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________．16．設銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是__________．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）已知，，．（1）求與的夾角；（2）若，且，求實數(shù)t的值．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集．19．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角B；（2）若D為的中點，且，，求的面積．20．（12分）噪聲污染已經(jīng)成為嚴重影響人們身體健康和生活質(zhì)量的問題．實踐證明，聲音強度D（分貝）由公式（a、b為非零常數(shù)）給出，其中為聲音能量．（1）當聲音強度，，滿足時，求對應的聲音能量，，滿足的等量關系式；（2）當人們低聲說話，聲音能量為時，聲音強度為30分貝；當人們正常說話，聲音能量為時，聲音強度為40分貝，當聲音能量大于60分貝時屬于噪音，一般人在100分貝至120分貝的空間內(nèi)約一分鐘就會暫時性失聰．問聲音能量在什么范圍時，人會暫時性失聰．21．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，P為線段上的動點．（1）當P為線段上的中點時，求三棱錐的體積；（2）當P在線段上移動時，求的最小值．22．（12分）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中O為坐標原點）．記平面內(nèi)所有非零向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為S．（1）設，請問函數(shù)是否存在相伴向量？若存在，求出與共線的單位向量；若不存在，請說明理由；（2）已知點滿足：，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍．   長郡中學2022～2023學年度高一第二學期第一次適應性檢測數(shù)學參考答案一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）題號12345678答案CBABDCBC1．C   【解析】因為，所以．故選C．2．B   【解析】由余弦定理得，因為，所以．故選B．3．A   【解析】∵，∴，顯然，∴．故選A．4．B【解析】函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，排除CD；當時，，即當時，函數(shù)的圖象在x軸的上方，顯然A不滿足，B滿足，故選B．5．D【解析】∵，，∴，當且僅當，即，時等號成立，故選D．6．C【解析】依題意，設半球的半徑為R，連接，交于點O，連接SO，如圖所示：則有，易得，所以正四棱錐的體積為：，解得，所以半球的體積為：．故選C．7．B【解析】因為是偶函數(shù)，故，由，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，即，所以，，即，．當時，，當時，，當時，，當時，，所以ACD不合題意，選項B符合．故選B．8．C【解析】由題意知是奇函數(shù)，即，∴，即，即，故的圖象關于點對稱，B結論正確；又是偶函數(shù)，故，∴，即，故的圖象關于直線對稱，A結論正確；由以上可知，即，所以，則，故的一個周期為8，D結論正確；由于，令，可得，∴，而的圖象關于直線對稱，故，所以C結論錯誤，故選C．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）題號9101112答案BCADABDACD9．BC【解析】對于A，雖然單位向量模長相等，但方向可以不同，故不是所有單位向量均相等，A錯誤；對于B，∵‘為一組基底，∴‘不共線，∴，也不共線，∴，也可以作為一組基底，B正確；對于C選項，，兩邊平方得，，所以在方向上的投影向量為，C選項正確；對于D選項，復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，D選項錯誤，故選BC．10．AD【解析】對于選項A，由輔助角公式得．故選項A正確；對于選項B，，故選項B錯誤；對于選項C，，故選項C錯誤；對于選項D，，故選項D正確，故選AD．11．ABD【解析】對A選項，根據(jù)結論大角對大邊，則有，又因為正弦定理，所以，故A正確；對B選項，由可得，∴，為鈍角三角形，故B正確；對C選項，由可得，∴，∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C錯誤；對D選項，由，則，解得，故，滿足條件的三角形有且只有一個，故D正確，故選ABD．12．ACD【解析】對A，由奔馳定理可得，，又、、不共線，故，A對；對B，，由得，故，B錯；對C，若O為的內(nèi)心，，則，又（r為內(nèi)切圓半徑），則三邊滿足勾股定理，故，C對；對D，若O為的垂心，則，，又，同理，，∴，∵，則，且，令，，，且，因為，所以，．如圖，D，E，F分別為，，邊的垂足，，，，所以，D對，故選ACD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．   【解析】由已知可得，則．14．【解析】由直觀圖可知，在直觀圖中，正方形的對角線長為，由斜二測畫法的特點，知該平面圖形的直觀圖的原圖形如圖所示，所以原圖圖形為平行四邊形，底面邊長為1，位于y軸的對角線長為，所以原來圖形的面積為．15．【解析】命題，是假命題，即命題，是真命題，即在上恒成立，令，因為，所以當時函數(shù)取最小值，即，所以．16．【解析】因為，則，，又，故由正弦定理可得：，又為銳角三角形，故可得，，，解得，則，故，即．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．【解析】（1）因為，所以，即，所以，所以，又，所以．（5分）（2）因為，且，所以．即，解得．（10分）18．【解析】（1），故．（5分）（2）因為，向左平移個單位長度，得到，故要使，需滿足，，解得，，故的解集為，．（12分）19．【解析】（1）因為，所以．即，所以，又，所以．（5分）（2）由，得，則由平行四邊形法則可得，則，即①，又，即②，由①②可得．（10分）則．（12分）20．【解析】（1）∵，∴，∴，所以．（5分）（2）由題意得，（7分）即，解得（9分）所以，由，得，得．所以當聲音能量在時，人會暫時性失聰．（12分）21．【解析】（1）由已知可得，由余弦定理有，得到．在中，有，（3分）．（6分）（2）將繞旋轉(zhuǎn)到與同一平面（如圖所示），連接交于點，此時取得最小值，最小值即長．（8分）在中，，，，故，故，即，又易知，故，由余弦定理得，所以，（或者在中由勾股定理得）故的最小值為．（12分）22．【解析】（1）因為，（3分）所以，函數(shù)存在相伴向量，，所以，與共線的單位向量為或．（5分）（2）的“相伴函數(shù)”，，因為在處取得最大值，所以，當，，即，時，有最大值，所以，，所以，因為，，所以，（8分）所以，令，則，因為，在上均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，（10分）所以，，所以，的取值范圍為．（12分）

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