2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義運(yùn)算即得答案.【詳解】∵集合，，∴.故選：B.2．若復(fù)數(shù)，則（    ）A．1 B． C．5 D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)為對(duì)復(fù)數(shù)求模可得結(jié)果【詳解】,.故選:D.3．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A．或5 B．3或 C．5 D．3或或5【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別討論，兩種情況，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】若，則，∴（舍去），若，則，∴，綜上可得，或.故選：A．4．?dāng)?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，，則（    ）A．36 B．35 C．32 D．31【答案】D【分析】首先求出公比，即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)公比為（），因?yàn)?/span>，，所以，所以或（舍去），所以，所以.故選：D5．2023年，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段．假設(shè)空間站要安排名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)艙中都有人，則不同的安排方法有（    ）A．72種 B．90種 C．360種 D．540種【答案】B【分析】利用分組和分配的方法求得名航天員的安排方案.【詳解】先把名航天員分成三組，每組人，有種方法；再把這三組分配到三艙中，每艙一組有種方法.所以名航天員的安排方案共有種.故選：B.6．已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，將函數(shù) 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) 的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．的最小正周期為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)圖像求出 的解析式，利用圖像變換求出 的解析式，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可【詳解】由函數(shù)圖象知，，所以，所以 ，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，所以，則，解得，又，所以，所以，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，的最小正周期，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí) 單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；令，則，當(dāng)時(shí)，，故C正確；因?yàn)?/span>，故D錯(cuò)誤．故選：C.7．直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則面積的最大值為（    ）A．8 B． C．14 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值的求解方法即可求最大面積.【詳解】令解得，所以,令解得，所以,所以,又因?yàn)閳A心到直線的距離所以點(diǎn)到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，故選:C.8．設(shè)，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用、的形式構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其在上單調(diào)性，進(jìn)而比較相應(yīng)函數(shù)值的符號(hào)，即可知參數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】由，令且，所以，令且，則，即遞減，所以，故在上恒成立，則在上遞減，所以，即，則；由，令且，所以在上遞增，故，故在上遞增，，即，則；綜上，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：應(yīng)用作差法得到某種函數(shù)形式，并構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號(hào)即可. 二、多選題9．如圖所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，且AB＝BC，則（    ）A．三棱錐S-ABC的體積為12 B．該圓錐的體積為12πC．該圓錐的表面積為14π D．該圓錐的母線長(zhǎng)為5【答案】ABD【分析】利用錐體的體積公式、表面積公式及勾股定理可判定各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意可得是等腰直角三角形，由AC=6可得，即，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由圓錐體積公式可得，故B正確；由勾股定理及圓錐性質(zhì)可得其母線SA=，故D正確；則C項(xiàng)，由圓錐的表面積公式可得，故C錯(cuò)誤.故選：ABD10．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．已知，若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測(cè)值為4.153，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)B．已知向量，，則C．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則D．已知一組數(shù)據(jù)，，，，，的方差是5，則數(shù)據(jù)，，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差是12【答案】ABC【分析】的觀測(cè)值結(jié)合，判斷A選項(xiàng), 向量坐標(biāo)計(jì)算判斷垂直可判斷B選項(xiàng)，X服從正態(tài)分布,可判斷C選項(xiàng),根據(jù)方差定義及性質(zhì)判斷D選項(xiàng).【詳解】則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān),A選項(xiàng)正確;向量，，,則,B選項(xiàng)正確;隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則,C選項(xiàng)正確;已知一組數(shù)據(jù)，，，，，的方差是5，則數(shù)據(jù)，，，，，的方差是,標(biāo)準(zhǔn)差是,D錯(cuò)誤.故選:ABC.11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，則【答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷A；根據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷B；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)求和公式計(jì)算判斷C；舉例說(shuō)明判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，由，得，則，所以不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合上式，所以，故是等比數(shù)列，故B正確；選項(xiàng)C，若是等差數(shù)列，則，故C正確；選項(xiàng)D，若，則，，而，故D錯(cuò)誤，故選：BC．12．加斯帕爾?蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,其圓心是橢圓的中心,這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切,則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為 D．長(zhǎng)方形R的面積最大值為18【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓方程,求出離心率即可得選項(xiàng)A正誤;根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義可判斷,該圓過(guò)點(diǎn),根據(jù)圓心坐標(biāo),即可求得半徑的值,進(jìn)而求得圓的方程;設(shè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,根據(jù)長(zhǎng)方形是蒙日?qǐng)A的內(nèi)接四邊形,可得對(duì)角線為直徑,求得長(zhǎng)和寬的等量關(guān)系,再利用基本不等式即可判斷選項(xiàng)D正誤.【詳解】解:由題知橢圓方程為:,所以,故選項(xiàng)A正確;因?yàn)殚L(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切,所以點(diǎn),即在蒙日?qǐng)A上,故半徑為,可得橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為;故選項(xiàng)B錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確;設(shè)長(zhǎng)方形R的邊長(zhǎng)為m,n,則有,所以長(zhǎng)方形R的面積等于,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,故選項(xiàng)D正確.故選:ACD 三、填空題13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_______________（用數(shù)值表示）．【答案】24【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可得出結(jié)果.【詳解】由二項(xiàng)式定理可得，顯然其常數(shù)項(xiàng)為第三項(xiàng)即，故答案為：2414．若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值__________．【答案】6【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此可知拋物線的焦點(diǎn),故答案為6【解析】考查了拋物線與雙曲線的性質(zhì)．.點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到參數(shù)p的值，屬于基礎(chǔ)題．15．蟋蟀鳴叫是大自然優(yōu)美和諧的音樂(lè)，蟋蟀鳴叫的頻率（單位：次/分鐘）與氣溫（單位：℃）有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某同學(xué)在當(dāng)?shù)赝ㄟ^(guò)觀測(cè)，得到如下數(shù)據(jù)，并建立了關(guān)于的線性回歸方程．當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫52次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為_______________．（次/分鐘）24364060（℃）2628.63035.4 【答案】33【分析】首先求出，，根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，代入求出，即可得到回歸方程，再令求出預(yù)報(bào)值即可.【詳解】依題意可得，，又關(guān)于的線性回歸方程，所以，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為.故答案為： 四、雙空題16．傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，如圖是一個(gè)圓柱容球，、為圓柱兩個(gè)底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則①平面DEF截得球的截面面積最小值為_______________；②若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為_______________．【答案】     /     【分析】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，分析可知當(dāng)平面時(shí)，截面圓的半徑最小，求出截面圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式可求平面DEF截得球的截面面積最小值；利設(shè)在底面的射影為，設(shè)令，則，其中，可得出，利用平方法和二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍，可得的取值范圍.【詳解】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示： 易知，，，由勾股定理可得，則由題可得，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，因?yàn)?/span>平面，當(dāng)平面時(shí)，取最大值，即，所以，，所以平面截得球的截面面積最小值為；由題可知點(diǎn)在過(guò)球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，則，，，由勾股定理可得，令，則，其中，所以，，所以，，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖. 五、解答題17．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，且△ABC的面積為，求c的值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的周期性求解即可.（2）先求C，再由面積公式得b，后由余弦定理求得結(jié)果.【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得：最小正周期為；（2），即，所以，k∈Z，所以，k∈Z，因?yàn)?/span>，所以，由三角形面積公式，且，解得，由余弦定理，解得．18．在①,②,③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并進(jìn)行解答.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,______,______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.注:如果選擇多組條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分. 【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)是等差數(shù)列,設(shè)出公差為,選擇兩個(gè)選項(xiàng),將首項(xiàng)公差代入,解方程組,即可求得基本量,寫出通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)(1)中的通項(xiàng)公式,寫出的通項(xiàng),利用裂項(xiàng)相消即可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）由于是等差數(shù)列,設(shè)公差為,當(dāng)選①②時(shí):,解得,所以的通項(xiàng)公式.選①③時(shí):,解得,所以的通項(xiàng)公式.選②③時(shí):,解得,所以的通項(xiàng)公式.（2）由(1)知,,所以,所以.19．已知四棱錐的底面ABCD為矩形，底面ABCD，且，設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，H為EG的中點(diǎn)，如圖．(1)求證：平面PBD；(2)求直線FH與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）利用中位線得到的線線平行，證明線面平行，再證面面平行，由面面平行得證線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：∵E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，∴，，∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD，同理可證平面PBD，∵，EF、平面EFG，∴平面平面PBD，∵平面EFG，∴平面PBD．（2）∵平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，取，可得，∴，所以，直線FH與平面PBC所成角的正弦值為．20．明德中學(xué)開(kāi)展了120周年校慶知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽，參賽人員所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為，，，由此得到總體的頻率統(tǒng)計(jì)表：分?jǐn)?shù)區(qū)間頻率0.10.40.30.2(1)視樣本的頻率為概率，在該校所有參賽學(xué)生中任取3人，記取出的3人中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若從總體中利用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)研．從這10名參賽學(xué)生中依次抽取3名進(jìn)行調(diào)查分析，求在第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，符合二項(xiàng)分布的特征，然后，列出相應(yīng)的分布列，利用相關(guān)的概率和期望公式，計(jì)算即可求解.（2）分別計(jì)算出第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的概率和后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)的概率，然后，利用條件概率公式進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）由題意知，該市所有參賽學(xué)生中分?jǐn)?shù)在的概率為，且，所以X的可能取值有0、1、2、3，故，，，．故X的分布列如下：X0123P．（2）得分位于的共有4人，得分位于的有3人，記事件A：第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)，記事件B：后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)，則，，由條件概率公式可得．21．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，定值為 【分析】（1）根據(jù)題意得，將點(diǎn)代入方程即可解決；（2），結(jié)合韋達(dá)定理得，即可解決【詳解】（1）由題知，，所以橢圓為，由點(diǎn)在橢圓上得解得，故橢圓方程為（2）設(shè)，由，得所以，所以，所以，解得，所以存在定點(diǎn)，使得為定值.22．已知.(1)證明：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，證明出結(jié)論；（2）變形得到在上恒成立，令，二次求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合，分與兩種情況，討論得到的取值范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，即所以，即在上恒成立.令，則，令，則.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)，即時(shí)，在上，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)，即在上恒成立，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，又，若，則在上，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；若，則存在，使得，所以在上，，即，所以在上，單調(diào)遞減，所以對(duì)不合題意.綜上所述，關(guān)于的不等式在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件. 

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