1.(2x?1 x)6的展開式中的常數(shù)項為( )
A. ?120B. 120C. ?60D. 60
2.已知物體的位移S(單位：m)與時間t(單位：s)滿足函數(shù)關系S=2sinπt，則物體在t=2時的瞬時速度為( )
A. 2π(m/s)B. ?2π(m/s)C. 2(m/s)D. ?2(m/s)
3.如圖，封閉圖形的曲線部分是長軸長為4，短軸AB的長為2的半個橢圓，設P是該圖形上任意一點，則與線段AP的長度的最大值最接近的是( )
A. 2.1
B. 2.2
C. 2.3
D. 2.4
二、填空題：本題共8小題，每小題4分，共32分。
4.以x=1為準線的拋物線的標準方程是______.
5.7個人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有______種排法.
6.過點(0,1)的直線l與圓x2+y2+4x+3=0相切，則直線l的斜率為______.
7.若雙曲線C的漸近線方程為y=±32x，且過點(?2,0)，則C的焦距為______.
8.已知曲線y=ex 1?x上一點P(0,1)，則點P處的切線方程為______.
9.一個口袋內裝有大小相同的7個白球和2個黑球.從口袋內隨機取出3個球，則其中至少取到2個白球的概率為______.
10.類比教材中對圓雙曲線的“對稱性”和“范圍”的研究，寫出曲線C: 4?x2+y3=1的對稱性和所在的范圍為______.
11.已知某食品罐頭的體積是常量，其包裝是金屬材質的圓柱形，假設該圓柱形的高和底半徑分別為h和r，為了使制作包裝的金屬材料最省，h：r的值為______.
三、解答題：本題共5小題，共56分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
12.(本小題10分)
設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為35.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求過點(3,0)且斜率為45的直線被橢圓C所截線段的長及中點坐標．
13.(本小題10分)
如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度AB為500m，圓拱的最高點H離水面AB的高度為100m，橋面CD離水面AB的高度為50m.
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求圓拱所在圓的方程；
(2)求橋面在圓拱內：部分CD的長度.(結果精確到0.1m)
14.(本小題11分)
設a>0，函數(shù)f(x)=alnxx.
(1)請討論該函數(shù)的單調性；
(2)求該函數(shù)在閉區(qū)間[a,2a]上的最大值和最小值.
15.(本小題11分)
(1)已知m是自然數(shù)，n是正整數(shù)，且m≤n.求證組合數(shù)性質：Cn+1m=Cnm+Cnm?1；
(2)按(1)中的組合數(shù)性質公式，有C94=C84+C83.請自編一個計數(shù)問題，使得C94與C84+C83為該問題的兩個不同的解法，并簡要說明解法的依據(jù).
16.(本小題14分)
在平面直角坐標系xOy中，設A(?1,0)、B(1,0)，動點P滿足：k1?k2=m，其中m是非零常數(shù)，k1、k2分別為直線PA、PB的斜率.
(1)求動點P的軌跡Γ的方程，并討論Γ的形狀與m值的關系；
(2)當m=?4時，直線y=kx+b交曲線Γ于C、D兩點，O為坐標原點.若線段CD的長度CD=2，△COD的面積S=1，求直線CD的方程.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中的特定項，屬于基礎題．
求出二項展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，求解r的值，即可求得常數(shù)項．
【解答】
解：(2x?1 x)6的展開式的通項公式Tr+1=C6r(2x)6?r(?1 x)r
=(?1)r?26?r?C6r?x6?32r，
令6?32r=0，解得r=4，
所以(2x?1 x)6的展開式中的常數(shù)項為(?1)4?22?C64=60.
故選：D.
2.【答案】A
【解析】解：S′=2πcsπt，
∴t=2時，S′=2πcs2π=2π(m/s).
故選：A.
可求出導函數(shù)S′=2πcsπt，然后求出t=2時的導數(shù)即可．
本題考查了基本初等函數(shù)和復合函數(shù)的單調性，導數(shù)的物理意義，考查了計算能力，屬于基礎題．
3.【答案】C
【解析】解：以AB為 x軸，AB的中垂線為 y軸，建立平面直角坐標系，如圖：
由題意a=2，b=1，且橢圓焦點在 y軸上，所以半橢圓方程為y24+x2=1(y≥0)，
A(?1,0)，B(1,0)，設點P的坐標為(x0,y0)(y0≥0)，則y024+x02=1，
所以|PA|= (x0+1)2+y02= ?3x02+2x0+5= ?3(x0?13)2+163，
因為x0∈[?1,1]，所以當x0=13時，|PA|max=4 33≈2.31，
所以選項中與線段AP的長度的最大值最接近的是2.3.
故選：C.
建立直角坐標系，求出橢圓方程，設點 P的坐標為(x0,y0)，結合兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質求解即可．
本題考查了橢圓的簡單幾何性質，是中檔題．
4.【答案】y2=?4x
【解析】解：根據(jù)題意，要求拋物線的準線方程為x=1，
則拋物線的開口向左，且p2=1，
則拋物線的標準方程為：y2=?4x；
故答案為：y2=?4x
根據(jù)題意，由拋物線的準線方程分析可得拋物線的開口方向以及p2的值，分析可得拋物線的標準方程，即可得答案．
本題考查拋物線的簡單幾何性質，涉及拋物線的標準方程，注意分析拋物線的開口方向．
5.【答案】240
【解析】解：7個人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，先排甲，乙有A22=2種排法，
在排剩余5人，有A55=120種排法，
故共有2×120=240種排法．
故答案為：240.
根據(jù)題意，結合分步乘法計數(shù)原理，計算即可．
本題考查排列組合的應用，屬于基礎題．
6.【答案】0或43
【解析】解：根據(jù)題意，圓x2+y2+4x+3=0，即(x+2)2+y2=1，其圓心為(?2,0)，半徑r=1，
若直線l過點(0,1)且與圓x2+y2+4x+3=0相切，則直線l的斜率一定存在，
設直線l的斜率為k，則有y=kx+1，即kx?y+1=0，
則有圓心到直線l的距離d=|?2k+1| 1+k2=1，解可得k=0或43，
直線l的斜率為0或43.
故答案為：0或43.
根據(jù)題意，分析圓的圓心和半徑，設直線l的斜率為k，求出直線l的方程，由直線與圓的位置關系分析可得關于k的方程，解可得答案．
本題考查直線與圓的位置關系，涉及直線與圓相切，屬于基礎題．
7.【答案】2 13
【解析】解：因為雙曲線C的漸近線方程是y=±32x，故可設雙曲線的方程為：9x2?4y2=m(m≠0)，
把點(?2,0)代入雙曲線方程可得m=36?0=36，
所以雙曲線方程為9x2?4y2=36，化為標準方程得x24?y29=1，
所以a2=4，b2=9，∴c2=a2+b2=13，∴c= 13，
所以雙曲線C的焦距為2c=2 13.
故答案為：2 13.
設雙曲線的方程為：9x2?4y2=m(m≠0)，把點(?2,0)代入雙曲線方程即可求解．
本題考查了根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解其方程的問題，考查雙曲線的焦距的求法，屬于基礎題．
8.【答案】x?2y+2=0
【解析】解：由y=ex 1?x，得y′=ex 1?x?ex?12 1?x，
∴y′|x=0=1?12=12，
∴曲線y=ex 1?x在點P(0,1)處的切線方程為y=12x+1，
即x?2y+2=0.
故答案為：x?2y+2=0.
求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=0處的導數(shù)值，再由直線方程的斜截式得答案．
本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導函數(shù)是關鍵，是中檔題．
9.【答案】1112
【解析】解：一個口袋內裝有大小相同的7個白球和2個黑球．從口袋內隨機取出3個球，
則其中至少取到2個白球的概率為C72C21C93+C73C93=1112.
故答案為：1112.
利用古典概型概率公式計算即可．
本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎題．
10.【答案】關于y軸對稱，x∈[?2,2]，y∈[?1,1]
【解析】解：由 4?x2+y3=1得x∈[?2,2]，
因為 4?x2∈[0,2]，
∴y3=1? 4?x2∈[?1,1]，即y∈[?1,1]，
在曲線方程中，以?x代x，得 4?x2+y3=1，與方程相同，所以曲線關于y軸對稱；
以?y代y，得 4?x2?y3=1，與原方程不同，所以曲線不關于x軸對稱；
以?x代x，?y代y，得 4?x2?y3=1，與原方程不同，所以曲線不是中心對稱圖形．
故答案為：關于y軸對稱，x∈[?2,2]，y∈[?1,1].
根據(jù)曲線方程得出x∈[?2,2]，然后得出y∈[?1,1]，然后用?x換x，用?y換y，看得到的方程和原方程是否相同，從而可判斷出該曲線的對稱性．
本題考查了判斷曲線對稱性的方法，考查了計算能力，屬于基礎題．
11.【答案】2
【解析】解：設食品罐頭的體積是V(V為常數(shù)).
由題意可得πr2h=V，
圓柱的表面積S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr
=2πr2+Vr+Vr≥332πr2?Vr?Vr=332πV.
當且僅當2πr2=Vr，即r=3V2π時等號成立，此時h=Vπr2=Vπ3V24π2=34Vπ.
∴h：r=34Vπ3V2π=2.
故答案為：2.
設食品罐頭的體積是V(V為常數(shù))，由題意可得πr2h=V，再寫出圓柱的表面積，利用基本不等式求最值，即可求得h：r的值．
本題考查圓柱體積與表面積的求法，訓練了利用基本不等式求最值，考查運算求解能力，是中檔題．
12.【答案】解：(1)由題意得：b=4,ca=35，又因為a2=b2+c2，解得a=5，-----------(2分)
橢圓C的方程為x225+y216=1.-----------.(4分)
(2)過點(3,0)且斜率為45的直線方程為y=45(x?3)，
設直線被橢圓C所截線段的端點為A(x1,y1)、B(x2,y2)，
中點為M(x1+x22,y1+y22)，------------(5分)
y=45(x?3)與x225+y216=1聯(lián)立消元得：x2?3x?8=0，------------(6分)
△=41>0，--------(7分)x1+x2=3，x1x2=?8-------------(8分)
x1+x22=32,y1+y22=45(32?3)=?65，
所以，直線被橢圓C所截線段中點坐標為(32,?65)；…(9分)
|AB|= (x1?x2)2+(y1?y2)2= (1+1625)(x1?x2)2= 415 (x1+x2)2?4x1x2，
|AB|= 415 9+32=415，直線被橢圓C所截線段長為415…(12分)
【解析】(1)利用橢圓的離心率以及橢圓經(jīng)過的點，轉化求解橢圓方程即可．
(2)求出直線方程，利用橢圓方程聯(lián)立通過中點坐標，弦長公式轉化求解即可．
本題考查橢圓的簡單性質的應用，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．
13.【答案】解：(1)以線段AB所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，
則由題意，可得B(250,0)、H(0,100)，D(a,50)，a>0，
則圓心E在y軸上，設E(0,h)，
設要求的圓的方程為x2+(y?h)2=r2，
把點B、點H的坐標代入，可得2502+(0?h)2=r20+(100?h)2=r2，解得r= 2502+(5252)2h=?5252，
故要求的圓的方程為x2+(y+5252)2=2502+(5252)2.
(2)把點E的坐標代入圓的方程，可得a2+(50+5252)2=2502+(5252)2，
求得a= 33750=75 6≈75×1.73×1.41≈75×2.44≈183(m)，
故CD的長度為2a=366m.
【解析】(1)建立坐標系，得到B、H的坐標，用待定系數(shù)法求出圓的標準方程．
(2)把點D的坐標代入圓的方程，求出點D的橫坐標，可得CD的長度．
本題主要考查求圓的標準方程，直線和圓的位置關系，屬于中檔題．
14.【答案】解：(1)由題意得f′(x)=a(1?lnx)x2，且函數(shù)定義域為(0,+∞)，
∵a>0，∴判斷1?lnx的符號，
由f′(x)=0得x=e，由f′(x)>0得0

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