1.若ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，直線y=kx(k>0)與雙曲線C在第一、三象限分別交于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).有下列結(jié)論：
①四邊形AF1FB2是平行四邊形；②若AE⊥x軸，垂足為E，則直線BE的斜率為12k；
③若|OA|=c，則四邊形AF1BF2的面積為b2；
④若△AOF2為正三角形，則雙曲線C的離心率為 3+1.
其中正確命題的序號(hào)是______.
三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題14分)
已知直線l1：mx+3y+1=0，l2：x+(m+2)y+2m?1=0.
(1)若l1//l2，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若直線l2在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)m的值.
18.(本小題14分)
在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：x=?1，已知?jiǎng)狱c(diǎn)T到點(diǎn)F(1,0)的距離等于點(diǎn)T到直線l的距離，設(shè)點(diǎn)T的軌跡為C.
(1)過(guò)點(diǎn)F且斜率為2的直線與曲線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)；
(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線x?y+4=0的最短距離.
19.(本小題16分)
已知E、F分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱BC、CD的中點(diǎn)，求：
(1)A1D與EF所成角的大??；
(2)二面角C?D1B1?C1的大??；
(3)點(diǎn)M在棱CD上，若A1M與平面B1C1CB所成角的正弦值為 1919，請(qǐng)判斷點(diǎn)M的位置，并說(shuō)明理由.
20.(本小題16分)
在數(shù)列{an}中，an=?1n=12an?1+3n≥2.在等差數(shù)列{bn}中，前n項(xiàng)和為Sn，b1=2，2b3+S5=28.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=(an+3bn)csnπ，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和記為Tn，試判斷是否存在正整數(shù)m，使得Tm=2023？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
21.(本小題18分)
已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)(1, 22).
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)A、B分別為橢圓Γ的上、下頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓Γ的左焦點(diǎn)F作直線l交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，與y軸交于M點(diǎn).
①若點(diǎn)Q是線段CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
②設(shè)直線AD與直線BC交于點(diǎn)N，求證：OM?ON為定值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若ab0，
故直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限．
故選：D.
由題意，把直線的方程化為斜截式，根據(jù)直線的斜率以及它在y軸上的截距，確定它的位置．
本題主要考查確定直線位置關(guān)系的幾何要素，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】解：a=(2,?1,3)，b=(?1,4,?2)，c=(1,3,λ)，
a,b,c三向量共面，
∴可設(shè)c=ma+nb，即(1,3,λ)=(2m?n,?m+4n,3m?2n)，
∴2m?n=1?m+4n=33m?2n=λ，解得m=1，n=1，λ=1.
∴實(shí)數(shù)λ等于1.
故選：A.
利用向量共面定理，設(shè)c=ma+nb，即(1,3,λ)=(2m?n,?m+4n,3m?2n)，列出方程組，能求出實(shí)數(shù)λ.
本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量共面定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
3.【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意得：y=kx?1為恒過(guò)定點(diǎn)A(0,?1)的直線，
由曲線y= ?x2+4x?3，可得(x?2)2+y2=1(y≥0)，
所以曲線表示圓心為C(2,0)，半徑為1的上半圓，如圖所示，
當(dāng)直線與圓C相切時(shí)，有|2k?1| k2+1=1，
解得：k=0(舍去)或k=43，
把B(1,0)代入y=kx?1，得k=1，
∴k的取值范圍是[1,43).
故選：B.
根據(jù)題意得：y=kx?1為恒過(guò)定點(diǎn)(0,?1)的直線，曲線表示圓心為(2,0)，半徑為1的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出k的取值范圍．
本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查直線、圓、點(diǎn)到直線距離公式、直線與圓相切等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．
4.【答案】D
【解析】解：由于點(diǎn)P到直線a、b的距離相等，而圓錐曲線中只有拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線和焦點(diǎn)的距離相等，
不妨設(shè)a為準(zhǔn)線，b為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線所在平面的直線，顯然且點(diǎn)P到直線a、b的距離相等，
故選：D.
結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行分析，只有拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線和焦點(diǎn)的距離相等，a或b直線相當(dāng)于過(guò)焦點(diǎn)并垂直于拋物線所在平面的一條直線．
本題主要考查圓錐曲線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)進(jìn)行假設(shè)是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．
5.【答案】90°
【解析】解：∵直線x=1垂直于x軸，
∴直線x=1的傾斜角為90°.
故答案為：90°.
利用直線的性質(zhì)求解．
本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線性質(zhì)的合理運(yùn)用．
6.【答案】(1,2,?4)
【解析】解：根據(jù)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)得：
在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)P(1,2,4)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2,?4).
故答案為：(1,2,?4).
在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b,?c).
本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．
7.【答案】x+2y?8=0
【解析】解：設(shè)直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，
直線l過(guò)點(diǎn)(2,3)，且與向量a=(1,2)垂直，
則(x?2,y?3)?(1,2)=0，即x?2+2(y?3)=0，
故直線l的方程為x+2y?8=0.
故答案為：x+2y?8=0.
根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查直線的垂直，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】35
【解析】解：雙曲線x24?y2=1的兩條漸近線為y=±12x，直線y=12x的傾斜角為α，tanα=120在n≥1時(shí)恒成立，
可得λ>?2n?1在n≥1時(shí)恒成立，則λ>?3，即λ的取值范圍為(?3,+∞).
故答案為：(?3,+∞).
利用裂項(xiàng)相消法求Sn，代入bn=λ1?Sn+n2，結(jié)合數(shù)列{bn}是嚴(yán)格增數(shù)列，可得bn+1?bn>0在n≥1時(shí)恒成立，由此可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．
14.【答案】32(1?13k)
【解析】解：正方體C1各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體C2為正八面體，
它的中截面(垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線的界面)是正方形，
該正方形對(duì)角線長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)，
所以它的棱長(zhǎng)a2=a1 2=1 2= 22；
以C2各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體為圖形C3是正方體，
正方體C3面對(duì)角線長(zhǎng)等于C2棱長(zhǎng)的 23，(正三角形中心到對(duì)邊的距離等于高的 23)，
因此對(duì)角線為 23× 22= 23，所以a3= 23 2=13，
以上方式類推，得a4=a3 2= 26，a5=23a4 2=19，…，
{an}各項(xiàng)依次為：1， 22，13， 26，19，…
奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為：1，公比為13的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為： 22，公比為13的等比數(shù)列，
則k=1+∞a2k?1=1×(1?13k)1?13=32(1?13k).
故答案為：32(1?13k).
根據(jù)條件先求出a2，根據(jù)條件依次求出a3，a4，a5，然后利用歸納推理得到：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是等比數(shù)列，然后求和即可．
本題主要考查等比數(shù)列得通項(xiàng)公式，以及歸納推理的應(yīng)用，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．
15.【答案】4
【解析】解：∵a、b是空間相互垂直的單位向量，
∴設(shè)a=(1,0,0)，b=(0,1,0)，設(shè)c=(x,y,z)，
又c?a=c?b=2 6，∴x=y=2 6，
又|c|= x2+y2+z2= 24+24+z2=8，
∴z2=16，
∴c=(2 6,2 6,z)，其中z2=16，
∴c?ma?nb=(2 6?m,2 6?n,z)，
∴|c?ma?nb|= (2 6?m)2+(2 6?n)2+z2
= (2 6?m)2+(2 6?n)2+16≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2 6時(shí)取得等號(hào)，
∴|c?ma?nb|的最小值是4.
故答案為：4.
利用坐標(biāo)法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量線性運(yùn)算，不等式思想即可求解．
本題考查坐標(biāo)法，空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量線性運(yùn)算，不等式思想，屬于中檔題．
16.【答案】①②④
【解析】解：對(duì)于①中，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可得O為F1F2的中點(diǎn)，且O也是AB的中點(diǎn)，
所以F1F2與AB互相平分，四邊形AF1BF2為平行四邊形，所以①正確；
對(duì)于②中，設(shè)A(x1,y1)，則B(?x1,?y1)，不妨設(shè)x1>0，
聯(lián)立方程組y=kxx2a2?y2b2=1，可得x2=a2b2b2?k2a2，
則x1= a2b2b2?k2a2，x2= a2b2b2?k2a2，
可得?y=?kx1=?k a2b2b2?k2a2，即B(? a2b2b2?k2a2,?k a2b2b2?k2a2)，E( a2b2b2?k2a2,0)，
所以直線BE的斜率為kBE=12k，所以②正確；
對(duì)于③中，不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限，
因?yàn)閨OA|=|OF1|=|OF2|=c，所以A，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)共圓，所以AF1⊥AF2，
可得|AF1|2+|AF1|2=|F1F2|2=4c2，
又由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=2a，所以|AF1|2+2|AF1||AF2|+|AF2|2=4a2，
可得|AF1||AF2|=2a2?2c2=2b2，
所以△AF1F2的面積為S△AF1F2=12|AF1|?|AF2|=b2，
所以AF1BF2的面積為2b2，所以③錯(cuò)誤；
對(duì)于④中，因?yàn)閨AF2|=|OA|=|OF1|=|OF2|=c，所以A，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)共圓，所以AF1⊥AF2，
所以|AF2|= (2c)2?c2= 3c，
所以 3c?2c=2a，解得e=ca=2 3?1= 3+1，所以④正確．
故答案為：①②④．
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，得到O為F1F2的中點(diǎn)，也是AB的中點(diǎn)，可判定①正確；設(shè)A(x1,y1)，則B(?x1,?y1)，不妨設(shè)x1>0，聯(lián)立方程組，求得B，E的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，可判定②正確；由|OA|=|OF1|=|OF2|=c，得到AF1⊥AF2，結(jié)合勾股定理和雙曲線的定義，得到|AF1||AF2|=2b2，求得S△AF1F2=b2，可判定③錯(cuò)誤；求得|AF2|= 3c，可求雙曲線的離心率，判斷④．
本題考查雙曲線的性質(zhì)以及直線與雙曲線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
17.【答案】解：(1)直線l1：mx+3y+1=0，l2：x+(m+2)y+2m?1=0.
則m(m+2)=1×3，解得m=?3或m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，直線l1，l2重合，
當(dāng)m=?3時(shí)，直線l1，l2不重合，符合題意，
故m=?3；
(2)當(dāng)2m?1=0，即m=12時(shí)，l2：x+52y=0，滿足直線l2在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等；
當(dāng)2m?1≠0且m≠?2時(shí)，
則直線l2在x軸上的截距為1?2m，在y軸上的截距為1?2mm+2，
由題意可知，1?2m=1?2mm+2，解得m=?1，
綜上所述，m=?1或12.
【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解；
(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合截距的定義，并分類討論，即可求解．
本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
18.【答案】解：(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)T到點(diǎn)F(1,0)的距離等于點(diǎn)T到直線l的距離，
所以曲線C的軌跡是以點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn)，直線l：x=?1為準(zhǔn)線的拋物線，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x，①
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F且斜率為2的直線與曲線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，
不妨設(shè)直線AB的方程為：y=2(x?1)，②
聯(lián)立①②，消去y并整理得x2?3x+1=0，
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由韋達(dá)定理得x1+x2=3，
此時(shí)|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=(x1+x2)+2=5；
(2)不妨設(shè)點(diǎn)P(y024,y0)是拋物線C上的點(diǎn)，
則點(diǎn)P到直線x?y+4=0的距離d=|y024?y+4| 2=|14(y0?2)2+3 2|，
易知當(dāng)y0=2時(shí)，dmin=3 22，
故曲線C上的點(diǎn)(1,2)到直線x?y+4=0的最短距離為3 22.
【解析】(1)由題意，根據(jù)拋物線的定義得到曲線C的軌跡方程，設(shè)出直線AB的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義進(jìn)行求解即可；
(2)設(shè)拋物線C上的點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．
本題考查拋物線的定義及性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查了邏輯推理以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．
19.【答案】解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以DA,DC,DD1分別為x，y，z軸正方向，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D?xyz.D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(12,1,0)，F(xiàn)(0,12,0)，
D1(0,0,1)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，
(1)A1D=(?1.0,?1)，EF=(?12,?12,0)，
設(shè)A1D與EF所成角為θ，csθ=|A1D?EF||A1D|?|EF|=12，
所以A1D與EF所成角的大小是60°；
(2)平面B1D1C1的一個(gè)法向量為DD1=(0,0,1)，
設(shè)平面CB1D1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，
D1C=(0,1,?1)，D1B1=(1,1,0)，由n⊥D1C,n⊥D1B1，
則有n?D1C=0n?D1B1=0，得y?z=0x+y=0，令z=1，則n=(?1,1,1)，
設(shè)n,DD1的夾角為α，csα=n?DD1|n|?|DD1|= 33，
由圖可知二面角C?D1B1?C1為銳二面角，
所以二面角C?D1B1?C1大小為arccs 33；
(3)設(shè)M(0,y,0)，y∈[0,1]，則A1M=(?1,y,?1)，
平面B1C1CB的一個(gè)法向量為DC=(0,1,0)，
設(shè)A1M與平面B1C1CB所成角為β，
sinβ=|A1M?AB||A1M||AB|= 1919，|y| y2+2=1 19,y=13，
所以當(dāng)DM=13DC時(shí)，A1M與平面B1C1CB所成角的正弦值為 1919.
【解析】(1)將A1D，EF向量分別表示出來(lái)即可；(2)分別找到兩個(gè)平面的法向量即可；(3)找到平面B1C1CB的法向量和A1M代入公式計(jì)算即可．
本題考查利用空間向量求線面所成的角，二面角，異面直線所成的角，屬于中檔題．
20.【答案】解：(1)由題意知，當(dāng)n≥2，an=2an?1+3，即an+3=2an?1+6，
所以{an+3}是以2為公比的等比數(shù)列，a1+3=2，
所以an+3=2n，an=2n?3，
由等差數(shù)列性質(zhì)可知，2b3+S5=2b3+5b3=7b3=28，所以b3=4，
所以{bn}的公差為1，bn=2+(n?1)=n+1；
(2)cn=(2n+3n)csnπ，
T2n=?(2+3)+(22+2×3)?(23+3×3)+(24+4×3)+…?[22n?1+(2n?1)×3]+(22n+2n×3)
=2×(1?4n)1?4+3n=22n+13+3n?23，顯然{T2n}是遞增數(shù)列，
T10=697，T12=2748，而c11

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2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）
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