考生注意事項(xiàng)：
1．試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B鉛筆涂在答題卡上，第Ⅱ卷用黑色鋼筆、簽字筆在答題卡上作答；
2．質(zhì)量監(jiān)測(cè)時(shí)間120分鐘，全卷滿分150分．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算直接運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)榧希?br>所以，
故選：C.
2. 已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解.
【詳解】由題意：，，，
所以.
故選：D
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，求出點(diǎn)在第三象限，得到AB錯(cuò)誤；并結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到，由余弦函數(shù)單調(diào)性得到.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
故點(diǎn)在第三象限，
故，，AB錯(cuò)誤；
，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，故，，
所以，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
4. 已知，其中，i為虛數(shù)單位，則以為根的一個(gè)一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解出，然后再判斷出能滿足條件的方程即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
因此所選方程的兩根為，僅有符合要求，
故選：A.
5. 已知數(shù)列是公比為q（）的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若，則（ ）
A. 4069B. 2023
C. 2024D. 4046
【答案】D
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由，可得，故有，即可計(jì)算.
【詳解】由數(shù)列是公比為q（）的正項(xiàng)等比數(shù)列，故，
，故，
即有，
由，則當(dāng)時(shí)，
有，
故，
故，
故.
故選：D.
6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，則15h后還剩污染物的百分?jǐn)?shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求出，然后帶入，即可求出15h后還剩污染物的百分?jǐn)?shù).
【詳解】根據(jù)題意時(shí)，，又在前5h消除了的污染物，
則，
則15h后還剩污染物為，
所以15h后還剩污染物的百分?jǐn)?shù)為.
故選：C
7. 已知正六邊形，把四邊形沿直線翻折，使得點(diǎn)到達(dá)且二面角的平面角為.若點(diǎn)都在球的表面上，點(diǎn)都在球的表面上，則球與球的表面積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知球的球心為中點(diǎn)，令正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則球的半徑，線面垂直的判定、性質(zhì)證為矩形，確定在與底面中心的連線上，再應(yīng)用已知求球的半徑，即可得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，若為中點(diǎn)，則，
令正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則球的半徑，

過(guò)作于，連接，由正六邊形性質(zhì)，都為等邊三角形，
所以為的中點(diǎn)，故，則二面角的平面角為，
，故，
又，面，故面，即面，
面，則，而，故，
由，故為矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為，
由是外接球球心，故必在與底面中心的連線上，
設(shè)球的半徑，如上圖示，
所以，即，
故，
所以球與球的表面積之比為.
故選：B
8. 已知，且滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可解.
【詳解】等式，等號(hào)兩邊同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
構(gòu)造函數(shù)，則，
顯然，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式.
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系代入即可求解AB，根據(jù)遞推關(guān)系可證明是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列，可得，即可利用分組求和，結(jié)合等比求和公式求解CD.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，
取，得，又，所以，
取，得，所以，顯然，
即數(shù)列一定不是等比數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，
取，得，取，得，所以，所以B正確；
對(duì)于C，D選項(xiàng)，
由，得，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正確．
故選:BCD．
10. 設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以?
因?yàn)榕c為互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正確；
，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，，
所以，故D錯(cuò)誤
故選:AB.
11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（ ）
A. 線段長(zhǎng)度的最小值為
B. 當(dāng)直線斜率為時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)為
C. 以線段為直徑的圓與直線相切
D. 存在點(diǎn)，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：通過(guò)聯(lián)立思想得到，由此可計(jì)算出，利用焦點(diǎn)弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用點(diǎn)差法求解出縱坐標(biāo)后可判斷；C：利用拋物線定義計(jì)算出圓心到準(zhǔn)線的距離，并判斷距離是否等于半徑即可；D：代入坐標(biāo)，計(jì)算出的值，根據(jù)結(jié)果再進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于A：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率不為，設(shè)，，
聯(lián)立可得，且，
所以，所以，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，即中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：拋物線的準(zhǔn)線方程，設(shè)中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，如下圖：
由拋物線的定義可知：，
即等于以為直徑的圓的半徑長(zhǎng)，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，。
所以，
由選項(xiàng)A可知：，所以，所以此時(shí)，
所以的傾斜角互補(bǔ)，所以，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，則有：（1）；（2）.
12. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)镽，若，函數(shù)和均為偶函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)是周期為5的周期函數(shù)
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C.
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，由周期函數(shù)的定義即可求解判斷A，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可求解判斷B，根據(jù)函數(shù)周期性的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱性關(guān)系即可求解D.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
兩邊求導(dǎo)得，所以，
得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確；
由，令，得，即，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，
所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以函數(shù)，則，
所以的周期為4，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，令，得，又?br>令，得，
所以，故C正確；
因?yàn)?，?br>所以，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
下面證明：若函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
若導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，
即，令，
則，所以，（為常數(shù)），
又因?yàn)?，所?
所以，即，
所以函數(shù)得圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得關(guān)于對(duì)稱，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于D選項(xiàng)，解題關(guān)鍵是根據(jù)條件得到函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再研究原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性關(guān)系即可求解判斷.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知的取值如下表：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸直線方程為，則表中第2個(gè)記錄數(shù)據(jù)的殘差__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用回歸方程求出時(shí)的預(yù)測(cè)值，再求出殘差作答.
【詳解】關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，
所以表中第2個(gè)記錄數(shù)據(jù)的殘差.
故答案為：
14. 若數(shù)列滿足，（），則______.
【答案】3268
【解析】
【分析】由數(shù)列遞推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.
【詳解】由題意可得，作差得，
故
，
故答案為：3268
15. 在三棱錐中，側(cè)面底面是等腰直角三角形，且斜邊，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：設(shè)球心為，如圖①，取線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平面，則易知球心在直線上，連接，設(shè)外接球的半徑是，則，再根據(jù)側(cè)面底面，過(guò)點(diǎn)作于，連接，易得，過(guò)點(diǎn)作（或的延長(zhǎng)線）于，得到四邊形是矩形求解；方法二：將平面作為底面，設(shè)的外心為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平面，取的中點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂直平分線，交直線于點(diǎn)，得到點(diǎn)為所求外接球的球心求解.
【詳解】解：方法一：設(shè)球心為，如圖①，取線段的中點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作直線平面，則易知球心在直線上．
連接，設(shè)外接球的半徑是，則．
因?yàn)閭?cè)面底面，過(guò)點(diǎn)作于，
連接，則由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面，所以．
過(guò)點(diǎn)作（或的延長(zhǎng)線）于，則四邊形是矩形．
又由題意易知，是的中點(diǎn)，，而，
則，所以，
在Rt中，由，所以，
化簡(jiǎn)得，解得，所以．
方法二：如圖②，調(diào)換視圖角度，將平面作為底面，由題意知，平面．
設(shè)的外心為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平面，則．
取的中點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂直平分線，交直線于點(diǎn)，
則點(diǎn)為所求外接球的球心，在中，利用正弦定理，得．
在等腰三角形中，，得，
所以，所以，
所以所求外接球的半徑，所以．
故答案為：
16. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】##
【解析】
【分析】將解析式變形為，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可.
【詳解】
，
令，，
因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0，
則函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值之和為2，即．
又，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即，，等號(hào)成立．
故答案為：
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)解析式的變形，然后根據(jù)奇偶性得到，從而利用“1”的妙用得解.
四、解答題：木大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列滿足，且對(duì)于任意m，，都有．
（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）取，得到，得到是4為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（2）裂項(xiàng)相消得到，再進(jìn)行求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
取，則由，得．
因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
故．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，
則，
故．
18. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且．
（1）求；
（2）若的外接圓半徑為2，且，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意表示出，利用正弦定理將角化邊，借助余弦定理化簡(jiǎn)即可;
（2）結(jié)合第（1）問(wèn)及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，求出的面積即可.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，即，
由正弦定理得，即，
整理得，即，
又，故；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以，則，
即，又，所以．
因?yàn)榈耐饨訄A半徑，
所以由正弦定理可得，所以，
所以．
19. 如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上動(dòng)點(diǎn)且恒成立.
（1）證明：；
（2）當(dāng)三棱錐與三棱錐的體積之和為時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由線面垂直判斷有平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定證結(jié)論；
（2）取中點(diǎn)為，連接，，根據(jù)已知求得相關(guān)線段長(zhǎng)度，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
∵在平面上運(yùn)動(dòng)且恒成立，
∴，，，平面，
∴平面，又平面，故，
∵，則，
∵平面，平面，
∴，又且面，
∴平面，平面，故.
【小問(wèn)2詳解】
取中點(diǎn)為，連接，，，則，到直線的距離相等，
由平面，平面，故，
由，則，所以為的高，
又，同理，且平面，
∴，則，
以，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，
平面的一個(gè)法向量為，
∴.
設(shè)平面與平面所成角為，則，
∴平面與平面所成角的余弦值為.
20. 已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線、斜率乘積為，焦距為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)以及整體代換法求得結(jié)果；
（2）設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，再表示，結(jié)合韋達(dá)定理求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距為，可得，則，
結(jié)合，∴，，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
【小問(wèn)2詳解】
如圖，
由（1）知，，設(shè)，．
因?yàn)椴慌c重合，所以可設(shè)直線．
聯(lián)立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
21. 甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為．
（1）求的概率分布列并求；
（2）求證：（且）為等比數(shù)列，并求出（且）．
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；；
（2）證明見(jiàn)解析；（且）.
【解析】
【分析】（1）確定的可能取值，求出每個(gè)值相應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得數(shù)學(xué)期望；
（2）求出、、的表達(dá)式，結(jié)合期望公式可求得的遞推式，結(jié)合構(gòu)造等比數(shù)列，即可證明結(jié)論，進(jìn)而求得期望.
【小問(wèn)1詳解】
可能取0，1，2，3，
則；
；
；
，
故的分布列為：
；
【小問(wèn)2詳解】
由題可知
，
，
，
又
，
，
（且），
，故（且）為等比數(shù)列，
，
（且）.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題將概率問(wèn)題和數(shù)列問(wèn)題綜合在一起考查，比較新穎，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于要明確n次交換后黑球的個(gè)數(shù)的概率與上一次之間的遞推關(guān)系，特別是第二問(wèn)，要求出概率的表達(dá)式，進(jìn)而求出期望的遞推式，構(gòu)造數(shù)列，解決問(wèn)題.
22. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，，是方程的兩個(gè)根，即可得到，令則，則，只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)令，解得或，
當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
綜上可得， 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，由題意，是方程的兩個(gè)根，①，②，
①②兩式相加，得③，①②兩式相減，得④，
聯(lián)立③④，得，，
設(shè)，，，，，
因?yàn)?，所以，則，
若，則一定有，
只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可，即不等式成立，即不等式成立，
設(shè)函數(shù)，，
在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，
即證得成立，
即證得當(dāng)時(shí)，，即證得，
，即證得，則．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的函數(shù)零點(diǎn)，雙變量問(wèn)題.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可得，，兩式相加，相減運(yùn)算可得，，即得，令，即，又易證，只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可，即不等式成立，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明即可.
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