一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合A={x|?3≤x≤1}，B={x||x|≤2}，則A∩B=( )
A. {x|?2≤x≤1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|?3≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}
2.已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lg2x，則f(?4)=( )
A. 2B. ?2C. 1D. ?1
3.直線x? 3y+1=0的傾斜角為( )
A. 0°B. 30°C. 45°D. 60°
4.已知直線2x?my+6=0平分圓C2：(x?1)2+(y?2)2=4的周長(zhǎng)，則m=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y= 3x，則C的離心率為( )
A. 2B. 3C. 2D. 4
6.若α是第二象限角，且tan(π?α)=12，則cs(π2+α)=( )
A. 32B. ? 32C. 55D. ? 55
7.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，M為棱AA1的中點(diǎn)，N為棱CC1上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，若記正三棱柱ABC?A1B1C1的體積為V，則四棱錐B?AMNC的體積為( )
A. 512V
B. 518V
C. 524V
D. 536V
8.已知F是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若|PF|=3|QF|，且∠PFQ=120°，則橢圓E的離心率為( )
A. 76B. 13C. 74D. 215
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知向量a=(?2,1)，b=(t,?1)，則( )
A. 若a⊥b，則t=?12B. 若a，b共線，則t=?2
C. b不可能是單位向量D. 若t=0，則|2a?b|=5
10.已知x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=4，則( )
A. xy的最大值為4B. x+ y的最小值為2 2
C. yx+4y的最小值3D. (x2+1)(y2+1)的最小值為16
11.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)三者的乘積.如下圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，OP1=32OB1，OP2=32OB2，設(shè)C的離心率為e，則( )
A. 若B1F2//P1A2，則e=23
B. 四邊形F1B1F2B2的面積與C的面積之比為2eπ
C. 四邊形F1B1F2B2的內(nèi)切圓方程為x2+y2=a2(a2?b2)b2
D. 設(shè)橢圓外陰影部分的面積為S外，橢圓內(nèi)陰影部分的面積為S內(nèi)，則S外0)的一個(gè)“切立方”，求雙曲線的離心率e的取值范圍；
(3)已知P(x0,y0)為函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的圖像上任一點(diǎn)，則函數(shù)f(x)在P點(diǎn)處的切線方程為y?y0=(2ax0+b)(x?x0).若奇函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽，且在x>0時(shí)g(x)=3x2?6x，設(shè)函數(shù)g(x)的圖像為曲線C，試問(wèn)曲線C是否存在切立方，并說(shuō)明理由．
參考答案
1.A
2.B
3.B
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.ACD
11.ABD
12.(2,1)
13.(1,2]
14.8
15.解：(1)由(b+c?a)(b+c+a)=bc，得(b+c)2?a2=bc，整理得b2+c2?a2=?bc．
根據(jù)余弦定理，得csA=b2+c2?a22bc=?12，結(jié)合A∈(0,π)，可得A=2π3．
(2)因?yàn)椤螧AD=3∠CAD，∠BAD+3∠CAD=2π3，所以∠BAD=π2，∠CAD=π6．

因?yàn)樵凇鰽DC中，AC=4，AD= 3，
所以CD2=AC2+AD2?2AC?ADcsπ6=16+3?2×4 3× 32=7，可得CD= 7．
由正弦定理得CDsin∠CAD=ACsin∠ADC，可得sin∠ADC=AC?sin∠CADCD=4sinπ6 7=2 77．
所以sin∠ADB=sin(π?∠ADC)=sin∠ADC=2 77．
16.解：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)與點(diǎn)(?2,?3)的直線方程為y?1?3?1=x?2?2?2，
即y=x?1，
由圓C1與y軸相切于點(diǎn)(0,3)可得，圓心C1在直線y=3上，
聯(lián)y=3y=x?1，解得x=4y=3，
即圓心C1坐標(biāo)為(4,3)，
所以圓C1的半徑為 (4?0)2+(3?3)2=4，
故圓C1的方程為(x?4)2+(y?3)2=16．
(2)因?yàn)閳AC1的方程為(x?4)2+(y?3)2=16，
即x2+y2?8x?6y+9=0，
圓C2：x2+y2?2x+2y?9=0，
兩式作差可得兩圓公共弦所在直線方程為3x+4y?9=0，
圓C1的圓心到直線3x+4y?9=0的距離d=|3×4+4×3?9| 32+42=3，
所以兩圓的公共弦MN的長(zhǎng)為2 42?32=2 7．
17.(1)證明：當(dāng)A1B= 2時(shí)，因?yàn)锳A1=AB=1，
所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1⊥AB，
由平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，
BC?平面ABC，BC⊥AB，可得BC⊥平面ABB1A1，
又AA1?平面ABB1A1，所以AA1⊥BC，
因?yàn)锳B∩BC=B，AB、BC?平面ABC，
所以AA1⊥平面ABC，因?yàn)锳A1?平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面ABC；
(2)解：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AC?平面ABC，
所以直線A1C與平面ABC所成的角為∠A1CA，所以∠A1CA=π6，
因?yàn)锳A1=AB=1，且A1B= 2，
所以A1C=2，AC= 3，故BC= 2，
作BD⊥AC交AC于D，

因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，
BD?平面ABC，所以BD⊥平面ACC1A1，
又A1C?平面ACC1A1，所以BD⊥A1C，
作DE⊥A1C交A1C于E，連接BE，
因?yàn)锽D∩DE=D，BD、DE?平面BDE，所以A1C⊥平面BDE，
因?yàn)锽E?平面BDE，所以A1C⊥BE，
所以∠BED是二面角B?A1C?A的平面角，
因?yàn)锳C?BD=AB?BC，即 3BD=1× 2，所以BD= 63，
因?yàn)锳1C?BE=A1B?BC，即2BE= 2× 2，所以BE=1，
所以sin∠BED=BDBE= 63，
所以二面角B?A1C?A的正弦值為 63．
18.解：(1)易知|F1F2|=2 3，
因?yàn)?，△PF1F2的周長(zhǎng)為4+2 3，
所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2 3，
所以|PF1|+|PF2|=2a=4，
解得a=2，
則b2=a2?c2=1，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1；
(2)(ⅰ)證明：設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(4,m)，
由(1)知A(?2,0)，B(2,0)，
此時(shí)kAP=y1x1+2，kAQ=kAT=m?04?(?2)=m6，
因?yàn)閗BP=kBT=y1x1?2=m2，
所以m=2y1x1?2，
則kAP?kAQ=y1x1+2?m6=y1x1+2?y13(x1?2)=y123(x12?4)，
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，
所以x124+y12=1，
即y12=14(4?x12)，
所以kAP?kAQ=14(4?x12)3(x12?4)=?112，
則kAP?kAQ為定值，定值為?112；
(ⅱ)證明：聯(lián)立x=ty+nx2+4y2=4，消去x并整理得(t2+4)y2+2tany+n2?4=0，
此時(shí)Δ=4t2n2?4(t2+4)(n2?4)=16(t2+4?n2)>0，
由(ⅰ)得y1+y2=?2tmt2+4，y1y2=n2?4t2+4，
又kAP?kAQ=?112，
所以y1x1+2?y2x2+2=y1y2(ty1+n+2)(ty2+n+2)=y1y2t2y1y2+t(n+2)(y1+y2)+(n+2)2
=n2?4t2+4t2?n2?4t2+4?2t2n(n+2)t2+4+(n+2)2=n2?44n2+16n+16=?112，
解得n=1，
此時(shí)滿足Δ>0，
則直線PQ的方程為x=ty+1．
故直線PQ過(guò)定點(diǎn)(1,0)．
19.解：(1)
根據(jù)“切立方”的定義，結(jié)合圖象可得，x=α+r，x=α?r，y=β+r，y=β?r(答案不唯一)．
(2)
由正方形A的方程為|x|+|y|=1，則|y|=?|x|+1=±x+1，
由正方形A為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)“切立方”，
則x2a2?y2b2=1|y|=±x+1，聯(lián)立可得x2a2?(±x+1)2b2=1，
整理可得(1a2?1b2)x2±2b2x?1b2?1=0，
則Δ=4b4+4(1a2?1b2)(1b2+1)=0，整理得b2?a2+1=0，即c2?2a2+1=0，
則c2a2=2?1a2∈(1,2)，所以e∈(1, 2).
(3)曲線C存在切立方，理由如下：
由題意得g(x)=?3x2?6x,x0，
當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)=6x?6，
設(shè)第一個(gè)切點(diǎn)為(x1,3x12?6x1)(x1>0)，則g′(x1)=6x1?6，
則過(guò)該點(diǎn)的一條切線方程為：y?(3x12?6x1)=(6x1?6)(x?x1)，
即y=(6x1?6)x?3x12，
因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此如果曲線C是存在切立方，則正方形也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故與第一條邊平行的正方形的另一條邊所在直線方程為：y=(6x1?6)x+3x12，
設(shè)第三個(gè)切點(diǎn)為(x2,?3x22?6x2)(x2

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