本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.
一.單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. “且”是“為第四象限角”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先考查充分性，根據(jù)條件確定的終邊位置，再考查必要性，有終邊位置確定符號即可.
【詳解】充分性：
因為，
所以為第一象限角或第四象限角或終邊在軸的非負半軸，
又，則，
所以為第三象限角或第四象限角或終邊在軸的非正半軸，
綜上知，為第四象限角，故充分性成立；
必要性：若為第四象限角，則且，
此時，
故必要性成立，故“且”是“為第四象限角”的充要條件，
故選:A.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中是坐標原點，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)與向量坐標關(guān)系及向量減法求對應(yīng)點，即可得對應(yīng)復(fù)數(shù).
【詳解】由題設(shè)，則，
所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故選：D
3. 已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合的補集運算得到，把轉(zhuǎn)化為，最后利用包含關(guān)系得到答案.
【詳解】因為，，
因為，所以，
所以，
故選：A.
4. 已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.
【詳解】分別是等差數(shù)列的前項和，故，且，故，
故選：D
5. 某人將用“”進行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼，其中兩個“1”相鄰的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出所有排列數(shù)，在求出滿足條件兩個“1”相鄰的排列數(shù)，即可求出概率.
【詳解】根據(jù)已知條件：用“”進行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼共有種排列方法，
其中兩個“1”相鄰的情況共有種方法，所以兩個“1”相鄰的概率是.
故選：C.
6. 若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程，將圓心代入直線，求解即可.
【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，
直線方程為，或，將點代入上式，解得
直線的方程為或.
故選：C
7. 已知中，，在線段上取一點，連接，如圖①所示．將沿直線折起，使得點到達的位置，此時內(nèi)部存在一點，使得平面，如圖②所示，則的值可能為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】尋找點的臨界狀態(tài)，再利用余弦定理、勾股定理計算，最后判斷的取值范圍.
【詳解】連接．因為平面平面，所以，
．在Rt中，，
所以．
所以在Rt中，．
因為在中，，所以是直角三角形，
且．
因為，所以點在以點為圓心，為半徑的圓上．
作于點，因為點到直線的距離，且，
所以圓與線段交于兩點，記為和，記圓與線段的交點為，如圖所示．
在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，解得；
同理，在中，．因為，所以點在線段上．
因為點在內(nèi)部，所以點在弧上（不含點和）．
設(shè)，當點在點時，．
在Rt中，，即，解得．
當點在點時，．在Rt中，，
即，則．
在中，，
由余弦定理得，
代入數(shù)據(jù)，解得．
因為隨著的增大，點靠近點，線段的長增大，點靠近點，
所以的取值范圍為．結(jié)合選項可知，的值可能是．
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用線面垂直的性質(zhì)，再找到點的臨界位置，再利用余弦定理求出其對應(yīng)狀態(tài)下的值，則得到其范圍.
8. 已知函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在點且圖象上存在點，使得點和點關(guān)于坐標原點對稱，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對稱性可得，從而分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最小值為，從而得解.
【詳解】設(shè)，則點在的圖象上，
，即.
令，則，
令，則，此時遞增，
令，則，此時遞減，
最小值為.
故選：A.
二.多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 函數(shù)的最小正周期為2
C. 函數(shù)的對稱軸方程為D. 函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項判斷即得.
【詳解】函數(shù)，A正確；
函數(shù)的最小正周期為，B錯誤；
由，得函數(shù)的對稱軸方程，C正確；
函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，
而的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)不能化成，D錯誤.
故選：AC
10. 下列幾種說法中正確的是（ ）
A. 若，則的最小值是4
B. 命題“，”的否定是“，”
C. 若不等式的解集是，則的解集是
D. “”是“不等式對一切x都成立”的充要條件
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：取進行分析；B：根據(jù)含一個量詞的命題的否定方法得到結(jié)果；C：先根據(jù)韋達定理求解出的值，然后可求的解集；D：分析不等式對一切x都成立時的取值范圍，然后作出判斷.
詳解】對于A：當時，，但，故A錯誤；
對于B：修改量詞，否定結(jié)論可得命題的否定為：“，”，故B正確；
對于C：因為的解集是，所以，所以，
所以，解得，故C正確；
對于D：當時，恒成立，
當時，若不等式對一切x都成立，
則，解得，
綜上，時，不等式對一切x都成立，
所以“”是“不等式對一切x都成立”的充要條件，故D正確；
故選：BCD.
11. “奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且.以下命題正確的有（ ）
A. 若，則為的重心
B. 若為的內(nèi)心，則
C. 若，為的外心，則
D. 若為的垂心，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對A，取的中點D，連接，結(jié)合奔馳定理可得到，進而即可判斷A；
對B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，從而可用表示出，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；
對C，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得，從而可用表示出，進而即可判斷C；
對D，延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E，根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)，則，代入即可求解，進而即可判斷D．
【詳解】對于A，取的中點D，連接，
由，則，
所以，
所以A，M，D三點共線，且，
設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；

對于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則有，
所以，
即，故B正確；

對于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，
又，
則有，
所以，
，
，
所以，故C錯誤；

對于D，如圖，延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E，

由為的垂心，，則，
又，則，，
設(shè)，則，
所以，即，
所以，所以，故D正確.
故選：ABD．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答D選項的關(guān)鍵是通過做輔助線（延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到，，再設(shè)，得到，進而即可求解．
12. 小明熱愛數(shù)學(xué)，《九章算術(shù)》《幾何原本》《數(shù)學(xué)家的眼光》《奧賽經(jīng)典》《高等數(shù)學(xué)》都是他的案頭讀物．一日，正翻閱《高等數(shù)學(xué)》，一條關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)映入他的眼簾：函數(shù)在區(qū)間有定義，且對，，，若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴格下凸”；若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴格上凸”．現(xiàn)已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，下列說法正確的是（ ）注：為自然對數(shù)的底數(shù)，，．
A. 有最小值，且最小值為整數(shù)
B. 存在常數(shù)，使得在“嚴格下凸”，在“嚴格上凸”
C. 恰有兩個極值點
D. 恰有三個零點
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，求導(dǎo)后將看成一個整體，利用進行放縮即可；
對于B,將“嚴格上凸”和“嚴格下凸”轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，二次求導(dǎo)后即可判斷；
對于C，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可判斷；
對于D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點零點存在定理，即可判斷；
【詳解】，
，
設(shè)，易得：，
所以，
當時，等號成立，故A對;
，，，若恒有，等價于切線一直在割線下方，即單調(diào)遞增.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴格下凸”；
，，，若恒有，等價于切線一直在割線上方，即單調(diào)遞減.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴格上凸”.
設(shè)，
，
易得在為增函數(shù).
，
，
所以存在常數(shù)，，使得在上，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減, 在“嚴格上凸”；
在上，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增,在“嚴格下凸”.
故B錯誤；
由B知，在上單調(diào)遞減, 在上，單調(diào)遞增
，，
，
所以恰有兩個極值點，故C正確；
由C知，恰有兩個極值點，設(shè)為，，且，
所以在和單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增
，，
，
所以函數(shù)在各有一個零點，故D正確.
故選：ACD
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 在的展開式中，含的項的系數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可直接寫出含項的系數(shù)，求得答案.
【詳解】因為在，
所以含的項為：，
所以含的項的系數(shù)是.
故答案為：
14. 應(yīng)越共中央總書記阮富仲?越南國家主席武文賞邀請，中共中央總書記?中國國家主席習近平于2023年12月12日至13日對越南進行國事訪問，期間，共同探討了經(jīng)濟?政治等領(lǐng)域的諸多問題，構(gòu)建了具有戰(zhàn)略意義的中越命運共同體，訪問受到了越南各層各界的隆重歡迎，引起了全世界的廣泛關(guān)注.“訪?越?南”三個漢字的筆畫數(shù)，經(jīng)過適當調(diào)整能構(gòu)成一個等差數(shù)列，則此等差數(shù)列的公差為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)“訪?越?南”三個漢字的筆畫數(shù)，調(diào)整后構(gòu)成等差數(shù)列，求得公差即可.
【詳解】由題意知“訪?越?南”三個漢字的筆畫數(shù)分別為，
又因為三個漢字的筆畫數(shù)調(diào)整順序能構(gòu)成一個等差數(shù)列，
故這三個數(shù)組成的等差數(shù)列可以為或，
因此
故答案為：.
15. 過雙曲線的右支上一點，分別向⊙和⊙作切線，切點分別為，則的最小值為________.

【答案】17
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線和圓的方程可確定雙曲線焦點與圓的圓心重合，利用勾股定理表示出切線長，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用雙曲線定義和三角形三邊關(guān)系可求得最小值.
【詳解】由，得，所以雙曲線的焦點坐標為，
由圓的方程知：圓圓心的坐標為，半徑，
圓圓心的坐標為，半徑，
分別為兩圓切線，
，
，
為雙曲線右支上的點，且雙曲線焦點為，
又（當為雙曲線右頂點時取等號），
，
即的最小值為.
故答案為：17.
16. 已知正三棱臺的高為1，上下底面的邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的體積為________．
【答案】
【解析】
【分析】分別求得上下底面所在平面截球所得圓半徑，找到球心，求得半徑，再由球的體積公式可得結(jié)果．
【詳解】由題意設(shè)三棱臺為，如圖，
上底面所在平面截球所得圓的半徑是，（為上底面截面圓的圓心）
下底面所在平面截球所得圓的半徑是，（為下底面截面圓的圓心）
由正三棱臺的性質(zhì)可知，其外接球的球心在直線上，設(shè)球的半徑為，
當在線段上時，軸截面中由幾何知識可得，無解；
當在的延長線上時，可得，解得，得，
因此球的體積是.
故答案為：.
【點睛】易錯點睛：本題求球的半徑時，容易只考慮在線段上，從而無法求解.
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 在中，分別是的內(nèi)角所對的邊，且.
（1）求角的大??；
（2）若，，求邊.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)和正弦定理化角為邊，利用余弦定理即可求得角；
（2）由題設(shè)條件得到，利用正弦定理替換即可得到邊長度.
【小問1詳解】
由和正弦定理可得：，整理得：，
由余弦定理得：，
因，
故得：.
【小問2詳解】
由，可得：，
又由正弦定理：可得：，
由（1）知，代入解得：.
18. 已知數(shù)列滿足.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意構(gòu)造出形式即可得；
（2）借助裂項相消法求和即可得.
【小問1詳解】
因為，且，
所以，即，
又，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，所以；
【小問2詳解】
由（1）知，所以，
所以
，
故.
19. 如圖①，在五邊形中，四邊形是梯形．是等邊三角形．將沿翻折成如圖②所示的四棱錐．
（1）求證：；
（2）若平面，且，求平面與平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得到四邊形為平行四邊形，得到，再用是等邊三角形，得到，從而證明平面，得出結(jié)果；
（2）建系，利用空間向量法求二面角，先求出平面的法向量和平面的法向量，代入公式求解即可.
【小問1詳解】
證明：取的中點，連接．
在梯形中，因為，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形．
又，所以．
因為是等邊三角形，所以，所以．
又平面，所以平面．
又平面，所以．
【小問2詳解】
因為平面平面，所以，
由（1）知平面，
所以平面．
由（1）可知．又，所以，
所以以為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
所以，
則，
設(shè)平面的法向量，
由得，
取，得平面的一個法向量．
設(shè)平面的法向量，由得，
取，得平面的一個法向量，
所以，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為
20. 2023年9月23日至10月8日、第19屆亞運會在中國杭州舉行．樹人中學(xué)高一年級舉辦了“亞運在我心”乒乓球比賽活動．比賽采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時，甲最終獲勝的概率．
（1）若，結(jié)束比賽時，比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，求的取值范圍．
【答案】（1）分布列見解析，期望為；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先寫出離散型隨機變量的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望即可；
（2）先根據(jù)已知不等式列式求解，再根據(jù)單調(diào)性定義作差證明單調(diào)遞增說明結(jié)論.
【小問1詳解】
，即采用3局2勝制，所有可能值為，
，，
的分布列如下，
所以.
【小問2詳解】
采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局數(shù)，則，
甲最終獲勝的概率為，
采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局數(shù)，則，
甲最終獲勝的概率為
，
則
，得.
21. 設(shè)橢圓C1：1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率是，已知A是拋物線C2：y2＝2px（p＞0）的焦點，F(xiàn)到拋物線C2的準線l的距離為．
（1）求C1的方程及C2的方程；
（2）設(shè)l上兩點P，Q關(guān)于軸對稱，直線AP交C1于點B（異于點A），直線BQ交x軸于點D，若△APD的面積為，求直線AP的斜率．
【答案】（1）C1的方程為，拋物線C2的方程為.
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)列方程組求出，，的值，即可得出方程；
（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組得出，，三點坐標，從而得出直線的方程，求出點坐標，根據(jù)三角形的面積解出即可得出答案.
【小問1詳解】
設(shè)點的坐標為，因為橢圓的離心率為，所以.
又為拋物線：（）的焦點，到拋物線的準線的距離為，
所以，，
解得：，，，此時.
所以橢圓的方程為：，拋物線的方程為：.
【小問2詳解】
如圖：

不妨設(shè)直線的方程為：（）
聯(lián)立解得：，可得.
聯(lián)立，消去并整理得：.
解得：或，所以,
可得直線的方程為：.
令解得：，所以
可得.
因為的面積為，所以.
所以直線的斜率：.
22. 設(shè)函數(shù)．
（1）若曲線在點處的切線方程為，求a，b的值；
（2）若當時，恒有，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)時，求證：．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解；
（2）構(gòu)建，由題意可知：當時，恒有，且，結(jié)合端點效應(yīng)分析求解；
（3）由（2）可知：當時，，令，，可得，再令，可得，利用累加法分析證明.
【小問1詳解】
因為，則，
則，，即切點坐標為，斜率，
由題意可得：，解得.
【小問2詳解】
令，
則，
由題意可知：當時，恒有，且，
則，解得，
若，則有：
①當時，，
因為，可知，
令，
因為在內(nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，符合題意；
②當時，則在內(nèi)恒成立，符合題意；
③當時， 令，
則，
因為，則，，
可知在內(nèi)恒成立，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，符合題意；
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.
【小問3詳解】
由（2）可知：當時，，
令，可得，
令，則，則，整理得，
令，則，整理得，
則，
所以.
【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
2
3

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這是一份廣東省廣州市廣東實驗中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（教師版），共24頁。

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