（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】計(jì)算出集合后，由并集的性質(zhì)運(yùn)算即可得.
【詳解】由得，則，
所以.
故選：A．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．3B．C．7D．13
【答案】B
【分析】由題設(shè)可得，令，且，結(jié)合復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算求參數(shù)，即可得模.
【詳解】由題設(shè)，
令，且，則
所以，故，故.
故選：B
3．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．5B．7C．9D．6
【答案】C
【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求的最大值．
【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
設(shè)得，
平移直線，
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，
此時(shí)最大．
由，解得，即，
代入目標(biāo)函數(shù)得．
即目標(biāo)函數(shù)的最大值為
故選：C．
4．已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，，，
故選：B
5．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的的值為（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】運(yùn)行程序，然后計(jì)算輸出的的值.
【詳解】運(yùn)行程序，，
，判斷否，，
，判斷否，，
，判斷否，，
以此類推，……，
，判斷否，，
，判斷是，輸出.
故選：B
6．某人統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩家零售商店在周一到周五的營(yíng)業(yè)額（單位：百元）情況，得到了如下的莖葉圖（其中莖表示十位數(shù)，葉表示個(gè)位數(shù)），關(guān)于這5天的營(yíng)業(yè)額情況，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．甲、乙兩家商店?duì)I業(yè)額的極差相同
B．甲、乙兩家商店?duì)I業(yè)額的中位數(shù)相同
C．從營(yíng)業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)所占比例來(lái)看，甲商店較高
D．甲商店?duì)I業(yè)額的方差小于乙商店?duì)I業(yè)額的方差
【答案】C
【分析】對(duì)于A，由極差的定義，即最大值減最小值即可判斷；對(duì)于B，由中位數(shù)的定義判斷即可（從小到大排列數(shù)據(jù)）；對(duì)于C，直接由莖葉圖即可判斷；對(duì)于D，由方差公式運(yùn)算即可判斷.
【詳解】A選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額的極差為10，乙商店?duì)I業(yè)額的極差為8，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額的中位數(shù)為32，乙商店?duì)I業(yè)額的中位數(shù)為30，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)為3，乙商店?duì)I業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)為2，故從營(yíng)業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)所占比例來(lái)看，甲商店較高，故C正確；
D選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額的平均值為，乙商店?duì)I業(yè)額的平均值為，
故甲商店?duì)I業(yè)額的方差，
乙商店?duì)I業(yè)額的方差，則，故甲商店?duì)I業(yè)額的方差大于乙商店?duì)I業(yè)額的方差，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
7．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、中間值法以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以，，
所以，，即.
故選：C.
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，，，則（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題目條件推出函數(shù)的一個(gè)周期，從而得到，再根據(jù)和得到答案.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以，
因?yàn)?，故?br>即，所以，
故，
故函數(shù)的一個(gè)周期，
故，
中，令得，，
因?yàn)?，所以?br>故.
故選：A
9．如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖，四邊形是矩形，，，，，，則在四棱錐中，與平面所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出直觀圖，證明出線面垂直，得到即為與平面所成角，求出各邊長(zhǎng)，求出正切值.
【詳解】如圖，四棱錐中，
由題意得，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又四邊形是矩形，所以⊥，
因?yàn)?，平面?br>所以⊥平面，
故即為與平面所成角，
其中，
，，
所以，
又，，由勾股定理得，
所以.
故選：D
10．若，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．{或}B．{或}
C．{或}D．{或}
【答案】C
【分析】利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)分類討論解不等式即可.
【詳解】依題意，由，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
可知，是一元二次方程的兩個(gè)不同的根，
由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，
所以只有為該等比數(shù)列的等比中項(xiàng)才滿足題意，
即，
因?yàn)?，，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，
所以只有不能為該等差數(shù)列的中項(xiàng)，
當(dāng)為等差中項(xiàng)時(shí)，
根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)有，
當(dāng)為等差中項(xiàng)時(shí)，
根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)有，
綜合，可得，
所以不等式，解得或.
故選：C
11．等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O中，，且M為圓O上一點(diǎn)，的最大值為（ ）
A．2B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.
【詳解】以圓O的圓心O為原點(diǎn)，射線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，連接，如圖，
因?yàn)?，則，
而圓O的方程為，設(shè)點(diǎn)，
于是，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，
所以的最大值為6.
故選：B
12．已知點(diǎn)在曲線上，那么的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】與相切于點(diǎn)，由幾何意義得到最小值為0，當(dāng)不與重合時(shí)，作出輔助線，由幾何意義得到，求出最大值，從而得到取值范圍.
【詳解】可看作到直線的距離，
可看作到點(diǎn)的距離，
如圖所示，
聯(lián)立與得，，
則，此時(shí)，解得，故，
故與相切于點(diǎn)，
此時(shí)取得最小值，最小值為0，
當(dāng)不與重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，
則，
數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至?xí)r，，
此時(shí)取得最大值，最大值為，
故的取值范圍是.
故選：D
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)切線的斜率求出切點(diǎn)，再代入切線方程即可得解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
，
由題意可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
又，所以，
所以切點(diǎn)為，
則，解得.
故答案為：.
14．已知具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若，橢圓與雙曲線的離心率分別記作，則的最小值為 ．
【答案】/4.5
【詳解】設(shè)橢圓中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線中實(shí)半軸長(zhǎng)為，橢圓與雙曲線的焦距為，
則，即可得，
由P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，
可得，
兩式相加得：，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：
15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為 .
【答案】
【分析】求出三角形外接圓圓心，過(guò)作平面，且，則為三棱錐的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.
【詳解】
如圖根據(jù)題意，平面，
所以即為與平面所成角，則，
又因?yàn)椋?br>所以，則,
又，即三角形為直角三角形，
取中點(diǎn)，則為三角形外接圓圓心，
取中點(diǎn)，則，且，
所以，即為三棱錐的外接球球心，
其半徑，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
16．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，且，則當(dāng)邊取得最大值時(shí)，的周長(zhǎng)為 .
【答案】/
【分析】由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值，利用正弦定理可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出的周長(zhǎng).
【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>即，
整理可得，
因?yàn)椤?，所以，，則，故，
由正弦定理可得，
整理可得，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最大值，且的最大值為，
此時(shí)，，
，所以，，
因此，當(dāng)邊取得最大值時(shí)，的周長(zhǎng)為.
故答案為：.
三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）某高中組織學(xué)生參加線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，現(xiàn)從參與答題的男生?女生中分別隨機(jī)抽取20名學(xué)生的得分情況（滿分100分），得到如下統(tǒng)計(jì)圖：
(1)學(xué)校對(duì)得分80分以上的學(xué)生，頒發(fā)“知識(shí)達(dá)人”榮譽(yù)稱號(hào).根據(jù)直方圖補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否為“知識(shí)達(dá)人”與性別有關(guān).
(2)從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中，按分層抽樣抽取6人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，求恰有1人成績(jī)?cè)诘母怕?
附：，其中.
【詳解】（1）
2分.2分
∴沒(méi)有90%的把握認(rèn)為是否為“知識(shí)達(dá)人”與性別有關(guān).6分
（2）按分層抽樣成績(jī)?cè)诘某?人，成績(jī)?cè)诘某?人.7分
記成績(jī)?cè)诘?人為A，B，成績(jī)?cè)诘?人為C，D，E，F(xiàn)，
則從這6人隨機(jī)抽取3人的所有情況為：
ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF，共20種情況，9分
其中恰有1人成績(jī)?cè)谟蠥CD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF，12種情況，
10分
所以所求概率為.12分
18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求的值；
(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以．
兩式相減，得．2分
所以4分
；5分
（2）由（1）知①，
可得②，．6分
因?yàn)?，?br>所以，又，
所以
又由①②得．8分
所以，即，n為偶數(shù)，9分
則當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，，10分
又符合上時(shí)，11分
綜合得．12分
19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面分別是中點(diǎn).
(1)判斷直線與平面的位置關(guān)系；
(2)若與平面所成角為，求到平面的距離.
【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，
所以，1分
而，所以，所以四邊形為平行四邊形，3分
所以，由于平面，平面，
所以平面.5分
（2）連接，6分
由于平面，所以直線與平面所成角為，
由于平面，所以，7分
由于，所以，所以.
由（1）得平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，
，，
對(duì)于三角形，，
所以為鈍角，所以，
所以，10分
，設(shè)到平面的距離為，
由得，
所以到平面的距離為. 12分
20．（12分）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：，．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，1分
易知單調(diào)遞增，且，2分
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以．4分
（2）由題，，又，所以單調(diào)遞增，5分
因?yàn)椋?br>所以存在唯一的，使， 7分
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
又，
所以在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)．9分
令，則，
令，則．
所以單調(diào)遞增，，
所以單調(diào)遞增，，
即，故在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)．11分
綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．12分
21．（12分）設(shè) 分別為橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，是橢圓 短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，已知 的面積為 .
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖， 是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心
（i）當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí)，求點(diǎn) 到直線 的距離；
（ii）求點(diǎn) 到直線 的距離的最大值.
【詳解】（1）由題意得3分
整理得解得4分
所以橢圓得方程為.5分
（2）（i）設(shè),根據(jù)題意有.
因?yàn)樵c(diǎn)是的重心，所以，
即，.6分
將，代入解得，所以.
所以到直線 的距離為.7分
（ii）由（i）知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)到直線 的距離為.
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，.
由得，
且，即.
所以. 9分
因?yàn)樵c(diǎn)是的重心，所以
所以，所以.10分
將點(diǎn)代入橢圓方程得并整理可得
所以點(diǎn)到直線的距離為
.11分
綜上所述，當(dāng)與軸垂直時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大為12分
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（其中），曲線（為參數(shù)，），曲線（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求的極坐標(biāo)方程；
(2)若曲線與分別交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．
【詳解】（1）因?yàn)榍€（其中），且，1分
所以的極坐標(biāo)方程為，即.2分
（2）由題意可知：曲線（為參數(shù)，）表示過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線，
所以曲線的極坐標(biāo)方程為；4分
曲線（t為參數(shù)，），即，
表示過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線，所以曲線的極坐標(biāo)方程為；5分
可得，7分
注意到，則，8分
可得面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為1.10分
選修4-5：不等式選講
23．（10分）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，恒成立，故；1分
當(dāng)時(shí)，，由，得，故；2分
當(dāng)時(shí)，，無(wú)解．3分
故不等式的解集為．5分
（2）由，得，
令，，
作出函數(shù)的圖象及當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象，7分
如圖所示，
9分
數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)時(shí)，恒成立，故．10分
性別
成績(jī)
男生
女生
合計(jì)
80分以上
80分以下
合計(jì)
20
20
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性別
成績(jī)
男生
女生
合計(jì)
80分以上
6
9
15
80分以下
14
11
25
合計(jì)
20
20
40

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