高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考
數(shù)學(xué)試題
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如
需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3.考試范圍 高考全部?jī)?nèi)容
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，則＝（ ）
A．B．C．D．
2．已知是虛數(shù)單位，若非零復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
5．凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的棉濾芯過(guò)濾，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑為5微米的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層棉濾芯可以過(guò)濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過(guò)濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2mg/L，則棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．9B．8C．7D．6
6．已知是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．道韻樓以“古?大?奇?美”著稱，內(nèi)部雕梁畫棟，有倒吊蓮花?壁畫?雕塑等，是歷史?文化?民俗一體的觀光勝地道韻樓可近似地看成一個(gè)正八棱柱，其底面面積約為平方米，高約為11.5米，則該八棱柱的側(cè)面積約是（ ）
A．460平方米B．1840平方米C．2760平方米D．3680平方米
8．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)恰好是，設(shè)雙曲線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分．
9．甲?乙兩地12月初連續(xù)7天的日最高氣溫?cái)?shù)據(jù)如圖所示，則關(guān)于這7天，以下判斷正確的是（ ）

A．甲地日最高氣溫的平均數(shù)為B．甲地日最高氣溫的極差為
C．乙地日最高氣溫的眾數(shù)為D．乙地日最高氣溫的中位數(shù)為
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（ ）
A．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象
11．已知點(diǎn)A，B均在拋物線上，點(diǎn)，則（ ）
A．直線PA的斜率可能為
B．線段PA長(zhǎng)度的最小值為
C．若P，A，B三點(diǎn)共線，則存在唯一的點(diǎn)B，使得點(diǎn)A為線段PB的中點(diǎn)
D．若P，A，B三點(diǎn)共線，則存在兩個(gè)不同的點(diǎn)B，使得點(diǎn)A為線段PB的中點(diǎn)
12．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱
C．D．
第Ⅱ卷
填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分
13．展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
14．某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：），其尺寸服從正態(tài)分布，且，，則 ．
15．過(guò)直線上一點(diǎn)向圓：引切線，切點(diǎn)為，則的最小值為 ．
16．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將數(shù)列1，3進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1，3，3；第二次得到數(shù)列1，3，3，9，3；…；第次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為.記，其中，，則數(shù)列的第6項(xiàng)
四、解答題：本題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是．已知
(1)求角；
(2)若點(diǎn)在邊上，，請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，求邊長(zhǎng)．
①為的角平分線；②為的中線．
18．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
19．（本小題滿分12分）近年來(lái)，國(guó)家鼓勵(lì)德智體美勞全面發(fā)展，舞蹈課是學(xué)生們熱愛(ài)的課程之一，某高中隨機(jī)調(diào)研了本校2023年參加高考的90位考生是否喜歡跳舞的情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，跳舞與性別情況如下表：（單位：人）
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡跳舞與性別是否有關(guān)聯(lián)？
(2)用樣本估計(jì)總體，用本次調(diào)研中樣本的頻率代替概率，從2023年本市考生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中喜歡跳舞的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：，.
20．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別向點(diǎn)，作直線移動(dòng).如圖，點(diǎn),分別是兩質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)秒后到達(dá)的位置．
(1)證明：平面；
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．
21．（本小題滿分12分）已知橢圓E:，點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C，D），直線與x軸分別交于M，N兩點(diǎn).證明:在x軸上存在兩點(diǎn)A，B，使得·是定值，并求此定值.
22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，證明：．
喜歡跳舞
不喜歡跳舞
女性
25
35
男性
5
25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

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