一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知拋物線，直線l過點(diǎn)M(2,1)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，|AM|＝|BM|，則直線l的方程是
A．B．
C．D．
【解析】設(shè)，，則，.
∴，即.
∵直線過點(diǎn)，且，∴，
∴，即.∴直線的方程為，即.故選:B.
2．已知雙曲線的離心率為3，斜率為的直線分別交F的左右兩支于A，B兩點(diǎn)，直線分別交F的左、右兩支于C，D兩點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，點(diǎn)E恒在直線l上，若直線l的斜率存在，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【解析】由題得，
設(shè)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，
則，得，
所以，所以①，同理得②，
因?yàn)?，則E，M，N三點(diǎn)共線，所以，將①②代入得，即，因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以，
所以，即點(diǎn)E在直線上.故選：A.
3．設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，，三點(diǎn)在拋物線上，且四邊形為平行四邊形，若對(duì)角線（點(diǎn)在第一象限），則對(duì)角線所在的直線方程為
A．B．
C．D．
【解析】如圖所示，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)，.有，，且.
所以，所以，所以.
對(duì)角線所在的直線方程為，即.故選：B.
4．如圖，已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的橢圓上運(yùn)動(dòng)，則與的邊相切，且與邊的延長線相切的圓的圓心一定在（ ）
A．一條直線上B．一個(gè)圓上C．一個(gè)橢圓上D．一條拋物線上
【解析】如圖，
設(shè)圓與分別相切于，由切線定理得：，
因?yàn)樵跈E圓上，定值，
為定值，
，∴切點(diǎn)
∴圓心在過垂直于橢圓所在軸的直線.故選：A.
5．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)滿足，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，（），，，
分別是和的中點(diǎn)，，由已知可得，，
，即，由得，
， 直線的方程為，即.故選：D.
6．若點(diǎn)A，F(xiàn)分別是橢圓的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，記直線的斜率為，其滿足，則直線的斜率為
A．B．C．D．
【解析】點(diǎn)A，F(xiàn)分別是橢圓的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，
所以橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，左頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
由題意可知，直線MN的斜率一定存在，因?yàn)橹本€MN過橢圓左焦點(diǎn)，所以MN的直線方程可設(shè)為 ， ，
聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化簡得
所以 ，因?yàn)?，
代入，可得
將代入
通過解方程可得 ，所以選B
7．已知點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，、為其左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．過點(diǎn)向雙曲線兩漸近線作垂線，設(shè)垂足分別為、，則下列所述錯(cuò)誤的是（ ）
A．為定值
B．、、、四點(diǎn)一定共圓
C．的最小值為
D．存在點(diǎn)滿足、、三點(diǎn)共線時(shí)，、、三點(diǎn)也共線
【解析】設(shè)，點(diǎn)到漸近線的距離為，
同理，則，
∵，即，∴（定值），故A正確；
∵，∴和均為直角三角形，，兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，故B正確；
由雙曲線的對(duì)稱性可知，其中，
∵∴成立，故C正確；
如圖利用雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線垂直一條漸近線，垂足為；直線垂直另一條漸近線且交雙曲線于點(diǎn)，易知直線與直線的交點(diǎn)始終落在軸上，故D不正確.
故選：D.
8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線C：上一點(diǎn)，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B作C的切線交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）；（2）若點(diǎn)，且直線AM與BM傾斜角互補(bǔ)，則；
（3）點(diǎn)P在定直線上；（4）設(shè)點(diǎn)，則的最小值為3．
A．1B．2C．3D．4
【解析】對(duì)于（1），設(shè)，由，得，
由，所以，
所以
，所以（1）正確，
對(duì)于（2），因?yàn)?，直線AM與BM傾斜角互補(bǔ)，
所以，
所以，所以，
所以，且，
所以，且，解得，所以（2）正確，
對(duì)于（3），設(shè)點(diǎn)在軸上方，在軸下方，設(shè)，
軸上方的拋物線方程為，軸下方的拋物線方程為，
此時(shí)在點(diǎn)處的切線的斜率為，在點(diǎn)處的切線的斜率為，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，
方程化簡為，，
兩式相除化簡得，所以（3）正確，
對(duì)于（4），設(shè)，由于，所以，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以（4）錯(cuò)誤，
故選：C

二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.
9．已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．為定值
B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上
C．為定值（、分別為直線、的斜率）
D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）
【解析】若，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，則，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
，

對(duì)于A選項(xiàng)，不一定是定值，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
為定值，故線段的中點(diǎn)在定直線上，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，為定值，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，不一定為定值，D錯(cuò).
故選：BC.
10．已知O為拋物線的頂點(diǎn)，直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（ ）
A．若直線l過焦點(diǎn)F，則N，O，P三點(diǎn)不共線
B．若直線l過焦點(diǎn)F，則
C．若直線l過焦點(diǎn)F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)在某定直線上
D．若，則直線l恒過點(diǎn)
【解析】設(shè)直線，聯(lián)立方程，得
設(shè)，，則。
選項(xiàng)A，若直線l過焦點(diǎn)F，則。，，
又，，，三點(diǎn)共線，A錯(cuò)；

選項(xiàng)B，由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)知：
，
又，，所以B對(duì)；
選項(xiàng)C，設(shè)與拋物線相切的切線方程為，則化簡得．
由，可得，即，所以與拋物線相切的切線方程為，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可得，則，
所以過的切線方程為．
同理，過的切線方程為，聯(lián)立，得：
拋物線在點(diǎn)M，N處的切線的交點(diǎn)在定直線上，所以C對(duì)；

選項(xiàng)D，因?yàn)?，?br>將韋達(dá)定理代入得：.所以直線l恒過點(diǎn)，所以D對(duì).
故選：BCD.
11．如圖所示，拋物線，為過焦點(diǎn)的弦，過，分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．若的斜率為1，則
B．若的斜率為1，則
C．點(diǎn)恒在平行于軸的直線上
D．的值隨著斜率的變化而變化
【解析】由得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)，
對(duì)A，直線的方程為，由得，所以，
所以；故A錯(cuò)誤．
因?yàn)椋?，則直線、的斜率斜率分別為、，
所以，，
由解得即．
由題意知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，
由消去 得，所以，，故D錯(cuò)誤．
又，故C正確．
對(duì)B，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，，故 ，故D正確．
故選：BC．
12．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（ ）
A．過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為8
B．橢圓上不存在點(diǎn)，使得
C．直線與橢圓恒有公共點(diǎn)
D．為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：由橢圓的定義：
的周長為：，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：設(shè)，則，，，
，，，
，解得
橢圓上存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)：直線恒過定點(diǎn)
，故該定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過該定點(diǎn)的直線和橢圓一定有交點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)，則P點(diǎn)到圓的圓心的距離
，故，，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13．已知拋物線，焦點(diǎn)是，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與定直線相切，則直線的方程為 ．
【解析】易知為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可得，
線段的中點(diǎn)為，
所以，圓心到軸的距離恒等于半徑，所以定直線的方程為．
14．經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交此拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線在，兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)必定在直線 上．（寫出此直線的方程）
【解析】拋物線中，焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，代入拋物線整理得，設(shè)，，則，．
由得，∴過點(diǎn)切線斜率為，切線方程為，即，同理過點(diǎn)切線方程為，兩式相除得，整理得，解得，所以點(diǎn)在準(zhǔn)線上．
15．如圖，A、B為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作軸的垂線與其交于點(diǎn)C，若AB∥OC(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則直線AB的斜率為 .
【解析】由題意，橢圓，過橢圓的右焦點(diǎn)F作軸的垂線與其交于點(diǎn)C，
可得，又由，可得，整理得，即，
又由，所以直線的斜率為．
16．已知橢圓，一組平行直線的斜率為，經(jīng)計(jì)算當(dāng)這些平行線與橢圓相交時(shí)，被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在定直線l上，則直線l的方程為 .
【解析】設(shè)這組平行直線的方程為，聯(lián)立，
整理得，，解得.
且，，
所以這組平行直線與橢圓交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，所以這些點(diǎn)均在上.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與相交于．求證：點(diǎn)在定直線上．
【解析】（1），，，整理可得：，
又，曲線的方程為：.
（2）
由題意知：直線斜率不為，則可設(shè)，設(shè)，
則直線，直線，
由得：，
由得：，則，即，
，，，
，解得：，
即點(diǎn)在定直線上.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)為，其中一條漸近線的傾斜角為.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)E滿足，證明：點(diǎn)E在一條定直線上.
【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為，由題知，，可得；
所以雙曲線方程為.
（2）易知為雙曲線的右焦點(diǎn)，如下圖所示：

由題知直線l斜率存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)斜率為，故直線的方程為，
代入雙曲線方程得，設(shè)，，
由韋達(dá)定理有，，且，，
設(shè)，點(diǎn)E在線段上，所以
由可得
化簡得，代入和并化簡可得，
即存在點(diǎn)E滿足條件，并且在定直線上.
19．已知拋物線，過點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．
【解析】（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
，因?yàn)?，可得?br>由韋達(dá)定理可得，，
，
整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.
（2）證明：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
則可得，設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，同理可得，
直線的方程為，即，
化簡可得，同理可知，直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，

交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可，
由，消去，
因?yàn)橹本€與相交，則，
解得
，
所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，直線與的交點(diǎn)必在定直線上.
20．已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，，為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn).延長，分別交拋物線于點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn).
(1)若，求四邊形面積的最小值；
(2)證明:點(diǎn)在定直線上.
【解析】（1）由拋物線定義可知，，解得，即拋物線方程為，
由題意，設(shè)，，直線的方程，
由，消去得，恒成立，
由韋達(dá)定理可知：，，故，
因?yàn)椋灾本€的方程為，
于是，則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為32；
（2）設(shè)，，，因?yàn)?，，，都在上?br>所以，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以有，
即，整理得：，
同理，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，可得，
即，解得：，
由（1）可知，，代入上式可得：，
得，即點(diǎn)在定直線上.
21．已知橢圓：，為橢圓的右焦點(diǎn)，三點(diǎn)，，中恰有兩點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓的左右端點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)（不同于），求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程.
【解析】（1）因?yàn)闉闄E圓的右焦點(diǎn)，所以①,
由對(duì)稱性得，點(diǎn)，在橢圓上，代入得②,
聯(lián)立①②解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）由條件知直線與直線不重合，故直線的斜率不為0，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，
設(shè)，，，則，，，
由（1）可得，，
由共線得：③，
由共線得：④，
由③÷④消去并整理得，，
即，所以，
綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).
22．橢圓E的方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓E上的點(diǎn)，且在第一象限，直線l過點(diǎn)P
(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點(diǎn)，若，求的長；
(2)若直線l過點(diǎn)，且交橢圓E于另一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A，B），記直線與直線交于點(diǎn)M，試問點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由．
【解析】（1）設(shè)，則①，②，
由①②可得，，即，
（2）依題可設(shè)直線l的方程為，，，．
聯(lián)立方程組，整理得，
，則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
因?yàn)椋?br>，
，由，得，得．
所以.
故點(diǎn)M在定直線上．

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