一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，若，是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．3
【解析】根據(jù)題意,作圖如下：
設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線(xiàn)x=-1上的射影為A,由拋物線(xiàn)的定義得:.
所以要使取得最小值,只需最小.
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)M,P,A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取“=”),此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,設(shè)其橫坐標(biāo)為x0.
因?yàn)镻(x0,1)為拋物線(xiàn)上的點(diǎn),則有，解得：.
當(dāng)P為(,1)時(shí), 取得最小值2.故選：B．
2．拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P到直線(xiàn)距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】設(shè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)為，，
點(diǎn)，到直線(xiàn)的距離，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短，為，
故選：C
3．已知是拋物線(xiàn)上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的重心為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若，兩點(diǎn)均在軸上方，則的斜率的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【解析】依題意，設(shè)，，，由，在軸上方，故，，

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)為，所以，
則，所以，則，
注意到，故，即，
又，代入可得，
故，即，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因而.故選：B.
4．已知是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
【解析】由消去得，
因?yàn)?，所以方程無(wú)解，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，記拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，根據(jù)拋物的定義可得，，則到直線(xiàn)和的距離之和為，
若，，三點(diǎn)不共線(xiàn)，則有，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且位于之間時(shí)，，則，
又，所以，即所求距離和的最小值為.
故選：.
5．設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，定點(diǎn)，過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作，垂足為H．則線(xiàn)段MH長(zhǎng)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，
所以過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)，
所以，則，所以直線(xiàn)的方程分別為；，聯(lián)立可得，所以，即，
又因?yàn)辄c(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上，則，，
設(shè)直線(xiàn)的方程為：代入拋物線(xiàn)的方程可得：，
所以，則，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)榻裹c(diǎn)，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，
所以，故選：C.
6．，是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為（ ）
A．B．4C．8D．64
【解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，直線(xiàn)的方程為，
由，解得，即，，則，
由，解得，即，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為8．故選：C．
7．已知過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．6
【解析】由題意可得焦點(diǎn)，且直線(xiàn)斜率存在，
設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，
由可得，所以，，
由拋物線(xiàn)的定義可得：，，
所以，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：A.
8．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)：交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之積為-1，以線(xiàn)段的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．16B．20C．32D．36
【解析】
設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立則該直線(xiàn)與交點(diǎn)坐標(biāo)，
直線(xiàn)，的斜率之積為-1，
所以直線(xiàn)，則該直線(xiàn)與交點(diǎn)坐標(biāo)，
線(xiàn)段的中點(diǎn)，令，則
最小值為16，當(dāng)或時(shí)取得最小值.
在和中，由余弦定理可得：
，兩式相加可得：
其最小值為36，當(dāng)或時(shí)取得最小值.故選：D
二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.
9．已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為
B．直線(xiàn)與C相切
C．若，則的最小值為4
D．若，則的周長(zhǎng)的最小值為11
【解析】拋物線(xiàn)C：，即，，，設(shè)，
對(duì)選項(xiàng)A：拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)于， ，當(dāng)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，正確.
故選：ABD
10．已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為4，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為
B．的最小值為4
C．若，點(diǎn)Q為拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為6
D．的最小值
【解析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4可得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，
A中，由拋物線(xiàn)的方程為，所以可得準(zhǔn)線(xiàn)方程為，故A正確；
中，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)為，則，整理可得，
可得，，所以， 時(shí)取等號(hào)， 最小值為8，所以不正確；
中，滿(mǎn)足 ，可知點(diǎn)在拋物線(xiàn)內(nèi)部， 過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6，故正確；
中，由B的解析可知： 由拋物線(xiàn)的方程可得：，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以正確；
故選：ACD．
11．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)C：上，過(guò)P作圓的兩條切線(xiàn)，分別交C于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AB的斜率為，若F為C的焦點(diǎn)，為C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C的準(zhǔn)線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．的最大值是D．的最大值是
【解析】由題意可知，點(diǎn)與圓心同在上，
所以過(guò)P所作圓的兩條切線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以．
設(shè)，，，則，
同理可得，，則，得，
所以，由，得．
將代入拋物線(xiàn)C的方程，得，解得，故拋物線(xiàn)C的方程為，所以A錯(cuò)誤，B正確．
設(shè)，作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于，如下圖所示：

由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得，所以，當(dāng)最小時(shí)，的值最大，
所以當(dāng)直線(xiàn)MN與拋物線(xiàn)C相切時(shí)，θ最大，即最?。?br>由題意可得，設(shè)切線(xiàn)MN的方程為，
聯(lián)立方程組，消去x，得，由，可得，
將代入，可得，所以，即M的坐標(biāo)為，
所以，，所以的最大值為，即C正確，D錯(cuò)誤．
故選：BC
12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，過(guò)作的切線(xiàn)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若點(diǎn)為，且直線(xiàn)與傾斜角互補(bǔ)，則或
C．點(diǎn)在定直線(xiàn)上
D．設(shè)點(diǎn)為，則的最小值為3
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)，聯(lián)立拋物線(xiàn)和直線(xiàn)整理可得，
利用韋達(dá)定理可知，
則，
將代入整理可得，即A正確；
對(duì)于B，若點(diǎn)為，且直線(xiàn)與傾斜角互補(bǔ)，則可知與都不重合，即；
所以，即，整理得
整理得，解得或；
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，不合題意；所以，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，如下圖所示：

不妨設(shè)在第一象限，則在曲線(xiàn)上，易得
則在處的切線(xiàn)方程為，又,
整理可得，在處的切線(xiàn)方程為，同理則在曲線(xiàn)上，易得
則在處的切線(xiàn)方程為，且；
所以在處的切線(xiàn)方程為，
聯(lián)立，解得，即切線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為3；
即點(diǎn)在定直線(xiàn)上，所以C正確；
對(duì)于D，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即的最小值為，即D錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上.
13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，且，則的最小值為 ．
【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，又因?yàn)椋裕?br>由，得，所以，是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，
設(shè)，則,
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)．
14．已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值是 .
【解析】，由拋物線(xiàn)的定義知等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，
記直線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的夾角為，可得，
①若斜率不存在，則原式，
②若斜率存在，當(dāng)PA與拋物線(xiàn)相切時(shí)，最小，
設(shè)的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立得，由得，即，
故，此時(shí)
15．已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，P到的距離是，P到的距離是，則的最小值為 .
【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以?br>，，
，
對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
16．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心半徑為2的圓上，則的最小值為 .
【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖像
動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)，可得的軌跡為圓，
設(shè)，且，可得，
化簡(jiǎn)可得，，
所在方程又為，令，解得，此時(shí)滿(mǎn)足，
可得，即，可得的最小值為的最小值，
當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，且為拋物線(xiàn)的法線(xiàn)時(shí)，取得最小值，
設(shè)，的導(dǎo)數(shù)為，可得，解得
即，即有.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.
(1)過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(2)求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離.
【解析】（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以曲線(xiàn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為①，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，則直線(xiàn)的方程為②，
聯(lián)立①②，消去并整理得，設(shè)點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，
此時(shí)；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
易知當(dāng)時(shí)，，故曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離為．

18．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，且．
(1)求拋物線(xiàn)的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，求的最小值．
【解析】（1）依題意，設(shè)．由拋物線(xiàn)的定義得，解得：，
因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以，所以，解得：．
故拋物線(xiàn)的方程為．
（2）由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，且不為0．
設(shè)直線(xiàn)的方程為，，．
聯(lián)立，整理得：，
則，從而．
因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，同理可得．
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為8．
19．已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，．
(1)求拋物線(xiàn)的方程；
(2)若，是拋物線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，三點(diǎn)都不重合，求的最小值
【解析】（1）由題知，∴，∴，拋物線(xiàn)的方程為．
（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)，，
由方程組得:，∴，
即，且，，
∴，
，∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，
∴，即，
∴，∴，
∴，∴或，若，
直線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)，不合題意，舍去．，
∴．則，
所以當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為11.
20．已知拋物線(xiàn)C：，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，是拋物線(xiàn)C上點(diǎn)，且；
(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)過(guò)平面上一動(dòng)點(diǎn)作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA，PB（其中A，B為切點(diǎn)），求的最大值.
【解析】（1）依題意得：，∴，∴，
所求拋物線(xiàn)的方程為；
（2）拋物線(xiàn)的方程為，即∴，
設(shè)，，則切線(xiàn)PA，PB的斜率分別為，.
所以切線(xiàn)PA：，∴，又，，
同理可得切線(xiàn)PB的方程為，
因?yàn)榍芯€(xiàn)PA，PB均過(guò)點(diǎn)，所以，，
所以，為方程的兩組解.
所以直線(xiàn)AB的方程為.
聯(lián)立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，，由拋物線(xiàn)定義可知，，
所以，∵，
∴，令，
∴原式，
即原式的最大值.
21．如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，A，B是拋物線(xiàn)C上異于P的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，若直線(xiàn)PA的斜率為.
(1)求拋物線(xiàn)方程；
(2)證明：直線(xiàn)AB的斜率為定值并求出此定值；
(3)令焦點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離d，求的最大值.
【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程可得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)；
（2）證明：設(shè)，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得：
，∴，
因?yàn)橹本€(xiàn)PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，用代k可得：
因此，，即.
（3）解：由（2）可知，，，
因此，
到直線(xiàn)AB的距離，所以
∵，
∴，
令，由，得
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最大值為.
22．如圖，已知橢圓和拋物線(xiàn)，斜率為正的直線(xiàn)與軸及橢圓依次交于、、三點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上．
(1)求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；
(2)設(shè)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且位于橢圓的左上方，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，使得的面積存在最大值．
【解析】（1）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，
聯(lián)立可得，
，可得，①
設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，，
設(shè)點(diǎn)，則，，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程得，則，
代入①可得，可得，解得，
因此.因此，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是.
（2）解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
，故的面積，②
將代入②得，
令，記，則，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，
所以，，可得，③
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的左上方，則，④
由③④可得，因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

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