考生注意：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.
2.請將各題答案填寫在答題卡上.
第I卷
一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 設(shè)集合，則（ ）
A B. C. D.
3. 3.已知向量，，則（ ）
A. B. C. 2D. -2
4. 等比數(shù)列中，，則（ ）
A. B. C. 16D. 8
5. 某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A. 2B. 4C. D.
6. 將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（ ）
A. 18B. 22C. 25D.
8. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
10. 下圖是由兩個邊長不相等的正方形構(gòu)成的，在整個圖形中隨機取一點，此點取自的概率分別記為，則（ ）
A. B.
C D.
11. 如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（ ）
A. B. C. D. 3
12. 已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（ ）
A B. C. D.
第II卷
二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為__________.
14. 若滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__.
15. 已知為奇函數(shù)，則__________.
16. 某網(wǎng)店統(tǒng)計了商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列，已知，且，則商品近30天的總銷量為__________.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 在三棱錐中，為的中點.
（1）證明：⊥平面.
（2）若，平面平面，求點到平面的距離.
18. 的內(nèi)角的對邊分別為，已知的周長為.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
19. 某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.
（2）該市決定表彰知識競賽成績排名前的市民，某市民知識競賽的成績是，請估計該市民能否得到表彰
20. 設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.
（1）求；
（2）證明：.
21. 已知橢圓經(jīng)過兩點.
（1）求的方程；
（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，且點A不在上，，過點作軸的垂線，交直線于點，與橢圓的另一個交點為，記的面積為，的面積為，求.
（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求曲線和的極坐標(biāo)方程；
（2）已知直線，且與曲線相交于、兩點，與曲線相交于、兩點，則當(dāng)取得最大值時，求的值.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.榆林市2023—2024年度高三第一次模擬檢測
數(shù)學(xué)試題（文科）
考生注意：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.
2.請將各題答案填寫在答題卡上.
第I卷
一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，該點在第三象限.
故選：C.
2. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】解不等式求出，根據(jù)交集概念求出答案.
【詳解】依題意得，
則.
故選：D
3. 3.已知向量，，則（ ）
A. B. C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到方程，求出.
【詳解】由題意可知，則.
故選：B
4. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A B. C. 16D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，即，
由，可得，即，
所以.
故選：A
5. 某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意得到求解.
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，即側(cè)面展開圖的半徑為，側(cè)面展開圖的弧長為.
又圓錐的底面周長為，所以，即圓錐的母線長.
所以圓錐的側(cè)面積為，
解得.
故選：D
6. 將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得曲線為，又關(guān)于軸對稱，所以，根據(jù)即可得解.
【詳解】曲線為，
又關(guān)于軸對稱，所以，
解得，又，
所以當(dāng)時，的最小值為.
故選：B
7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（ ）
A. 18B. 22C. 25D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)程序框圖的功能，一一循環(huán)驗證即可.
【詳解】解：執(zhí)行該程序框圖，成立，
成立，
成立，
，不滿足，
輸出的.
故選：C
8. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，故.
故選：D.
9. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得在上恒成立，分離參數(shù)即可得解.
【詳解】在上恒成立，即，所以，則的取值范圍是.
故選：B.
10. 下圖是由兩個邊長不相等的正方形構(gòu)成的，在整個圖形中隨機取一點，此點取自的概率分別記為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用幾何概型公式求得的值，進(jìn)而得到三者之間的關(guān)系.
【詳解】設(shè)，
從而，
因為，所以，
根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，
可以得到，
，則
故選：A.
11. 如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義可求出，根據(jù)三角形相似即可求出.
【詳解】設(shè),，
由，根據(jù)拋物線定義可得，
故，
，
過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，
明顯，
所以.
故選：D
12. 已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，由平面幾何知識得截面與球心的距離為，利用勾股定理求得的值，由題意可知球心到所求截面的距離最大時截面面積最小，利用面積公式，即可得答案.
【詳解】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，
因為，
所以.由勾股定理，得，由題意得，
所以，解得，
此時過點作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.
設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，
所以只需球心到所求截面的距離最大即可，
而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時，球心到所求截面的距離最大，
即，所以
故選：C
第II卷
二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，由即可得解.
【詳解】由題意可知，所以.
故答案為：.
14. 若滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__.
【答案】
【解析】
【分析】作出約束條件的可行域，利用幾何意義即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.
【詳解】畫出約束條件的可行域，
由，可得，
由，可得，
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時，，
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時，，
故目標(biāo)函數(shù)的最大值為.
故答案為：
15. 已知為奇函數(shù)，則__________.
【答案】-6
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到，從而得到，求出答案.
【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，
即，
所以，故，
即.
故答案為：-6
16. 某網(wǎng)店統(tǒng)計了商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列，已知，且，則商品近30天的總銷量為__________.
【答案】1020
【解析】
【分析】根據(jù)題目所給遞推關(guān)系找到數(shù)列的規(guī)律，進(jìn)而求和.
【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，
中奇數(shù)項是公差為2，首項為20的等差數(shù)列，
.
商品近30天的總銷量為.
故答案為：.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 在三棱錐中，為的中點.
（1）證明：⊥平面.
（2）若，平面平面，求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三線合一得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直；
（2）由面面垂直得到線面垂直，求出，利用等體積法求出點到平面的距離.
【小問1詳解】
因為，為的中點，
所以，
又因為平面，
所以⊥平面.
【小問2詳解】
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因為，所以均為等邊三角形，
故，故，
所以，
因為平面，平面，
所以，由勾股定理得，
取的中點，連接，
在中，，故⊥，
故，，
設(shè)點到平面的距離為，所以，解得.
18. 的內(nèi)角的對邊分別為，已知的周長為.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)量積定義、余弦定理即可求解.
（2）由題意結(jié)合余弦定理以及基本不等式相關(guān)推論即可求解.
【小問1詳解】
，
即
因為的周長為6，所以，
解得.
【小問2詳解】
由（1）可知.
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故當(dāng)時，取得最大值.
19. 某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.
（2）該市決定表彰知識競賽成績排名前的市民，某市民知識競賽的成績是，請估計該市民能否得到表彰
【答案】（1）68.3
（2）估計該市民能得到表彰
【解析】
【分析】（1）用每組中點值為代表，估算平均值；
（2）估算排名在的成績，和比較，得到結(jié)論.
【小問1詳解】
100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為：
【小問2詳解】
成績低于70分的頻率為0.45，成績低于80分的頻率為0.77，
則被表彰的最低成績?yōu)椋?br>所以估計該市民能得到表彰.
20. 設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.
（1）求；
（2）證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)切線方程，求得切點與切線斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）寫出函數(shù)解析式，化簡整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可得答案.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為.
將代入，解得，即，
由切線方程，則切線斜率.
故，解得.
【小問2詳解】
證明：由（1）知，
從而等價于.
設(shè)函數(shù)，則.
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而在上的最小值為.
設(shè)函數(shù)，
從而在上的最大值為.
故，即.
21. 已知橢圓經(jīng)過兩點.
（1）求的方程；
（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，且點A不在上，，過點作軸的垂線，交直線于點，與橢圓的另一個交點為，記的面積為，的面積為，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求出，得到橢圓方程；
（2）先得到直線軸時，為鈍角三角形，不合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由得到，得到直線恒過點，求出，從而得到.
【小問1詳解】
將代入橢圓方程中，
，
解得
則橢圓的方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)直線軸時，為鈍角三角形，且，不滿足題意.
設(shè)，由，可得，
所以，
所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
因為點A不在上，所以，
由化簡得，
.
，
所以
，
則，
整理得，因為，所以，
所以直線的方程為，恒過點.
由題意和對稱性可知，
設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，
【點睛】處理定點問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），
（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，
（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).
（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求曲線和的極坐標(biāo)方程；
（2）已知直線，且與曲線相交于、兩點，與曲線相交于、兩點，則當(dāng)取得最大值時，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）將曲線、的參數(shù)方程化為普通方程，再由極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線、的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，其中，將直線的極坐標(biāo)方程分別代入曲線、的極坐標(biāo)方程，求出點、的極徑，然后利用三角恒等變換結(jié)合正弦型函數(shù)的最值可求得的最值及其對應(yīng)的值，由此可得出的值.
【小問1詳解】
解：在曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）中消去參數(shù)，
可得，即，
將，代入上式，得.
在曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）中消去參數(shù)，
可得，即，
將，代入上式，得.
所以，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.
【小問2詳解】
解：由題可設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，其中，
將代入，得，
將代入，得，
所以，
因，則，
故當(dāng)時，即當(dāng)時，取得最大值，此時.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)絕對值不等式的解法，分類討論，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最小值，即可求解.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)，
當(dāng)時，可得，解得，故；
當(dāng)時，可得，解得，故無解；
當(dāng)時，可得，解得，故.
故不等式的解集為或.
【小問2詳解】
解：由函數(shù)，
可得，所以，即實數(shù)的取值范圍為.

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