一、單選題
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件D．充要條件
4．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則（ ）
A．B．C．D．
5．下圖是學(xué)校體育場(chǎng)經(jīng)常使用的籃球收納筐（有蓋），已知一個(gè)籃球的半徑為12厘米，收納筐底面的長(zhǎng)和寬分別為和.若要放下8個(gè)這樣的籃球，則籃球收納筐的高度的最小整數(shù)值為（ ）
A．39B．40C．41D．42
6．在等腰梯形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的值不可能為（ ）
A．15B．12C．9D．6
7．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?若，則的值為（ ）
A．8B．6C．4D．2
8．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該正三棱柱的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．在上的最小值為2
D．若，則的最小值為
10．函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
C．若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則
D．函數(shù)的最大值為
11．如圖所示，在四棱錐中，底面是長(zhǎng)方形，平面，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得平面平面
B．若三棱錐的體積為四棱錐的體積的，則為的中點(diǎn)
C．若，則不存在點(diǎn)使得直線和的夾角為
D．設(shè)平面平面，則點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）的過(guò)程中，二面角的平面角的大小逐漸減小
三、填空題
12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則 .
13．已知和是方程的兩個(gè)根，計(jì)算 .
14．將5個(gè)1，5個(gè)2，5個(gè)3，5個(gè)4，5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入1個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2，設(shè)第列的所有數(shù)的和為為中的最小值，則的最大值為 .
四、解答題
15．在遞增數(shù)列中，.
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求角的大??；
(2)若外接圓的半徑為，求周長(zhǎng)的最大值.
17．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，是的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.
18．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)求的極值；
(3)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.
19．不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)和應(yīng)用中具有重要作用，不動(dòng)點(diǎn)是指被函數(shù)映射到其自身的點(diǎn).對(duì)于函數(shù)，我們把滿足的稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù).
(1)證明：在有唯一的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)已知，且的前項(xiàng)和為.證明：
①為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；
②.
參考答案：
1．C
【分析】求出，求出.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
2．B
【分析】求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定其象限.
【詳解】復(fù)數(shù)，
則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，
故選：B.
3．B
【分析】解不等式，即可確定選項(xiàng).
【詳解】解法1：當(dāng)時(shí)，由得，解得，
當(dāng)時(shí)，由得，解得，
故由可得：或，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選B.
解法2：設(shè)，可得：，
對(duì)于，都有，故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4．D
【分析】求導(dǎo)，計(jì)算曲線在點(diǎn)處的切線方程，利用切線與曲線相切可得結(jié)果.
【詳解】解法1：由得，當(dāng)時(shí)，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.
由得，，
所以，解得，
故選：D.
解法2：由得，當(dāng)時(shí)，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.
因?yàn)椋裕?br>令，得，
所以與曲線的切點(diǎn)為，
由切點(diǎn)在切線得，解得，
故選：D.
5．C
【分析】法1：過(guò)平面于，求得正四棱錐的高即可.
法2：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求得正四棱錐的高.
【詳解】解法1：底層正好容納6個(gè)球，當(dāng)高度最低時(shí)，8個(gè)球的球心組成了下圖所示的幾何體，
則四棱錐為棱長(zhǎng)均為24的正四棱錐，
過(guò)平面于，可得是正方形的中心，
因?yàn)?，可得，由，可得?br>此時(shí).
解法2：底層正好容納6個(gè)球，當(dāng)高度最低時(shí)，
左側(cè)的5個(gè)球的球心組成了棱長(zhǎng)均為24的正四棱錐，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故選:C.
6．A
【分析】解法1：建系，設(shè)，，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解；解法2：根據(jù)數(shù)量積的幾何意義分析求解.
【詳解】解法1：以A為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，，
可得，則，
結(jié)合選項(xiàng)可知選項(xiàng)A的值不可能成立；
解法2：設(shè)在上的數(shù)量投影為，則，
結(jié)合選項(xiàng)可知選項(xiàng)A的值不可能成立；
故選：A.
7．D
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)在上遞增，利用可得的值.
【詳解】解法1：因?yàn)椋?br>所以，
所以關(guān)于2,1對(duì)稱.
因?yàn)?，函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?
解法2：因?yàn)樵谏线f增，
所以.
解法3：取，因?yàn)樵?,4上遞增，
所以.
故選D.
8．A
【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圓半徑，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半徑即得.解法2：先判斷正三棱柱的的外接球球心在高線的中點(diǎn)，即可判斷外接球半徑繼而得出外接球體積范圍，排除其他三項(xiàng)即得.
【詳解】
解法1：如圖，設(shè)正三棱柱外接球的球心為，半徑為.
記和外接圓的圓心分別為和，其半徑為，
由正弦定理得：.而為的中點(diǎn)，
所以則
故選:A.
解法2：設(shè)正三棱柱外接球的半徑為
因正三棱柱的高為，由對(duì)稱性知其外接球球心必在高線的中點(diǎn)，
故此時(shí).
故選:A.
9．BC
【分析】利用不等式的性質(zhì)可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；根據(jù)基本不等式可得選項(xiàng)C正確；舉反例可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】解法1：因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所以，B正確.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確.
當(dāng)，時(shí)，，D錯(cuò)誤.
解法2：因?yàn)樵谏线f減，，所以，A錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所以在R上遞增，，B正確.
因?yàn)楹瘮?shù)在0,1上遞減，在1,+∞上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2，C正確.
因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．ABD
【分析】根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象或整體思想分析可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移左加右減的原則可得選項(xiàng)B正確；方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得選項(xiàng)D正確
【詳解】解法1：，其函數(shù)圖象如下圖所示：
由圖象可得：在上單調(diào)遞增，A正確.
函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，
所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，B正確.
因?yàn)?，所以?br>所以與y=fx在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
即：，故，C錯(cuò)誤.
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.
故選：ABD.
解法2：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，A正確.
因?yàn)?，將其向右平移可得：，B正確.
時(shí)，取得最大值，該函數(shù)在上最多一個(gè)最大值，C錯(cuò)誤.，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，D正確.
故選：ABD.
11．AB
【分析】利用線面垂直證明面面垂直可得選項(xiàng)A正確；轉(zhuǎn)化棱錐體積可得到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的一半，故為的中點(diǎn)，選項(xiàng)B正確；建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，利用線線夾角的向量公式可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；利用法向量表示二面角的余弦值可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】解法1：

因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫妫?
當(dāng)于時(shí)，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，A正確.
因?yàn)?，，所以，即，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的一半，故為的中點(diǎn)，B正確.
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，連接交于，連接，則，則直線和的夾角等于直線和的夾角，
由得，，故為等邊三角形，故存在點(diǎn)使得直線和的夾角為，C錯(cuò)誤.
過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則.過(guò)作于，連接，過(guò)作于，連接，
設(shè)二面角的平面角為，，均為定值，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，先增加到1，而后逐漸減小，故先減小后增大，二面角平面角的大小也先減小后增大，D錯(cuò)誤.
解法2：將該四棱錐放入正方體，
當(dāng)于時(shí)，平面平面，A正確.
若三棱錐的體積為四棱錐體積的，則為的中點(diǎn)，B正確.
若，將該四棱錐放入正方體，為的中點(diǎn)時(shí)，和的夾角為，C錯(cuò)誤.
當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度趨于正無(wú)窮大，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，二面角的平面角趨于，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，二面角的平面角趨于，D錯(cuò)誤.
解法3：
當(dāng)于時(shí)，平面平面，A正確.
若三棱錐的體積為四棱錐體積的，則為的中點(diǎn)，B正確.
若，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，令，解得：，C錯(cuò)誤.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，同理可得：平面的一個(gè)法向量，所以在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
12．
【分析】根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】解法1：當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
所以.
解法2：.
故答案為：.
13．
【分析】解法1和解法2利用韋達(dá)定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，解法3取特殊值求解.
【詳解】解法1：，
，
所以，即.
解法2：
.
解法3：令，則和0是方程的兩個(gè)根，
則.
故答案為：.
14．10
【分析】依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論，確定的最大值.
【詳解】依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論，
（1）若5個(gè)1分布在同一列，則；
（2）若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，
故，故；
（3）若5個(gè)1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，
故，故；
（4）若5個(gè)1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3，這與已知矛盾.
綜上所述，；
另一方面，如下表的例子說(shuō)明可以取到10.
故答案為：10
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)遞推式依次求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)，結(jié)合單調(diào)性確定最終值；
（2）由題設(shè)得，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和求.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得?br>同理得或，或5，又是遞增數(shù)列，
所以；
（2）因?yàn)椋裕?br>所以或，又是遞增數(shù)列，所以，
故，所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理得出結(jié)合結(jié)合輔助角公式或者二倍角公式即可求解；
（2）解法1：應(yīng)用正弦定理得出邊長(zhǎng)再結(jié)合余弦定理及基本不等式求解；
解法2先應(yīng)用正弦定理再應(yīng)用兩角和差公式結(jié)合正弦函數(shù)值域求解.
【詳解】（1）解法1：因?yàn)?，所以由正弦定理可得?br>，
而，所以，即：，
因?yàn)?，所?
解法2：因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫?，而?br>所以，即：，
因?yàn)椋裕?br>所以
（2）解法1：因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以，
由余弦定理得：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三角形周長(zhǎng)的最大值為.
解法2：因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以由正弦定理得：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故周長(zhǎng)的最大值為.
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)2或4
【分析】（1）結(jié)合題目條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，求和平面的法向量，利用可證明結(jié)論.
（2）計(jì)算和平面的法向量，利用線面角的向量公式建立等量關(guān)系即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）解法1：因?yàn)槠矫?，平面，平面?br>所以.
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?
以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，由可得：，
令，則.
因?yàn)?，平面，所以平?
解法2：
如圖，連接交于，連接，

因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
（2）解法1：由（1）知，，，
設(shè)平面的法向量為，由可得：，
令，則，設(shè)直線與平面所成角為，
，解得或，故長(zhǎng)為2或4.
解法2：
作直三棱柱，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，
取的中點(diǎn)，連結(jié)，則平面平面，所以在平面的投影即為.
因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?br>所以為直線與平面所成的角.
設(shè)，則，
則，解得或，故長(zhǎng)為2或4.
18．(1)1
(2)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，極小值，無(wú)極大值
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到最小值；
（2）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，求出函數(shù)單調(diào)性，得到極值情況；
（3）解法1：令，二次求導(dǎo)，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，得到其單調(diào)性，得到，即當(dāng)時(shí)，；
解法2：根據(jù)題目條件得到，只需證，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值證明出結(jié)論.
解法3：令，由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，放縮得到，得到函數(shù)單調(diào)性，故，證明出結(jié)論；
解法4：令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，由（1）得到，即，故，放縮得到；
解法5：令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，由（1）得到，即，放縮得到.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為.
（2）的定義域?yàn)?
若時(shí)，則，故在單調(diào)遞減，無(wú)極值；
若時(shí)，令得.當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故有極小值，無(wú)極大值.
（3）解法1：令，
，
令，則，
因?yàn)?，所以?br>因此在單調(diào)遞增，，即，
故在單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，.
解法2：因?yàn)?，所以?br>要證當(dāng)時(shí)，，即證，
令，
令，則，因?yàn)椋?br>所以，因此在單調(diào)遞增，，
即，故在單調(diào)遞減，，故原不等式成立.
解法3：令，
，由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
即，故在單調(diào)遞減，，
即當(dāng)時(shí)，.
解法4：令，則，故在單調(diào)遞減.
由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，所以，
即：，故，
而，所以.
解法5：令，因?yàn)椋?br>所以在單調(diào)遞減.由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，
所以，即：，
故，而，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，可以作差法構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解，也可以放縮法證明，常見(jiàn)的放縮不等式有，，，，等，選擇合適的不等式進(jìn)行放縮求解.
19．(1)證明見(jiàn)解析
(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析
【分析】（1），利用導(dǎo)數(shù)求在上的單調(diào)性，結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)定義和零點(diǎn)存在定理證明即可；
（2）①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性，結(jié)合（1）中不動(dòng)點(diǎn)結(jié)論可得，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
②利用，代入結(jié)合放縮法可得，即，故即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）令，
則，，，
所以當(dāng)時(shí)，在上遞減，
而，故在有唯一的零點(diǎn)，
即在有唯一的不動(dòng)點(diǎn).
（2）①因?yàn)椋?br>所以，在上單調(diào)遞增；
，
所以，
而在的不動(dòng)點(diǎn)為，
所以，
假設(shè)時(shí)，成立，
則，即成立，
結(jié)合可得：對(duì)于任意恒成立，
故為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；
②，
因?yàn)?，所以，因此，即?br>故.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
C
A
D
A
BC
ABD
題號(hào)
11









答案
AB









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陜西省榆林市2024屆高三上學(xué)期第一次模擬檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題（文）試題（Word版附解析）：

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