考生注意：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.
2?請將各題答案填寫在答題卡上.
3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.
第Ⅰ卷
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A B. C. D.
2. （ ）
A. B.
C. D.
3. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則（ ）
A. B. C. 或D. 或
4. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
5. 根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為
B. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為
C. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的極差為
D. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為
6 已知，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（ ）
A. 0B. C. D. 3
10. 已知某比賽在這4支隊伍之間進(jìn)行，且隊伍有一名主力隊員缺席，導(dǎo)致隊伍無緣前2名，假設(shè)剩下的3支隊伍的水平相當(dāng)，則這2支隊伍都進(jìn)入前3名的概率是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知是直線與函數(shù)圖象的兩個相鄰交點，若，則（ ）
A 4B. 4或8C. 2D. 2或10
12. 在正四棱臺中，，點在底面內(nèi)，且，則的軌跡長度是（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知單位向量、滿足，則與的夾角為________．
14. 已知實數(shù)滿足約束條件.，則最大值為__________.
15. 在正四面體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是__________.
16. 過雙曲線的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的左頂點為，則的離心率為__________.
三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 在等差數(shù)列中，.
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
18. 鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗?東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）請估計該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中抽取5顆，再從這5顆板栗中隨機抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質(zhì)量在內(nèi)的概率.
19. 如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，求點到平面的距離.
20. 已知點，動點滿足，動點的軌跡記為.
（1）求的方程；
（2）過點直線與交于兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.
21. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程，
（2）證明：.
（二）選考題：共10分.請考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；
（2）已知直線，在第一象限內(nèi)，直線與曲線交于點，與直線交于點，求的值.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范圍.商洛市2024屆高三第一次模擬檢測
數(shù)學(xué)試卷（文科）
考生注意：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.
2?請將各題答案填寫在答題卡上.
3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.
第Ⅰ卷
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運用交集性質(zhì)即可得.
【詳解】由，，則.
故選：C.
2. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運用復(fù)數(shù)除法計算即可得.
【詳解】.
故選：B.
3. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意可得，則或.
因為，所以，所以.
故選：A
4. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a的范圍，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷的范圍，即可得答案.
【詳解】因為為R上的單調(diào)減函數(shù)，為上的單調(diào)增函數(shù)，
故，
所以,
故選:D
5. 根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為
B. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為
C. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的極差為
D. 我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為
【答案】C
【解析】
【分析】通過分析折線圖，結(jié)合中位數(shù)、極差、平均數(shù)的概念和公式解答即可.
【詳解】對A，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速從小到大依次為，.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為，A正確.
對B，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為，B正確.
對C，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的極差為，C錯誤.
對D，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為8.，D正確.
故選：C.
6. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求得，再由二倍角的正切公式求解.
【詳解】因為,
,
所以，所以，則.
故選：.
7. 已知拋物線，過點直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，由題意可得為的中點，然后利用中點坐標(biāo)公式和斜率公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
因為，所以為的中點，
所以，
故直線的斜率.
故選：D
8. 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在時，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結(jié)果.
【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，
所以，解得.
故選：B
9. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（ ）
A. 0B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，將在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立，再參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立，即求出的最小值即可得.
【詳解】由題意可得，
因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，
即恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)0時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即.
故選：A.
10. 已知某比賽在這4支隊伍之間進(jìn)行，且隊伍有一名主力隊員缺席，導(dǎo)致隊伍無緣前2名，假設(shè)剩下的3支隊伍的水平相當(dāng)，則這2支隊伍都進(jìn)入前3名的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出所有符合題意排名情況，再選出這2支隊伍都進(jìn)入前3名的所有情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，由于隊伍無緣前2名，
所以這4支隊伍按排名先后的情況有：
，共12種，
其中這2支隊伍排在前3位的情況有：
，共8種，
故所求概率.
故選：C
11. 已知是直線與函數(shù)圖象的兩個相鄰交點，若，則（ ）
A. 4B. 4或8C. 2D. 2或10
【答案】D
【解析】
【分析】因為的圖象與直線的相鄰交點的距離為或，占周期的比例為或，由此結(jié)合周期公式列式求解即可.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，則或，
即或，
解得或.
故選：D
12. 在正四棱臺中，，點在底面內(nèi)，且，則的軌跡長度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖1，連接，作，垂足為，結(jié)合正四棱臺的性質(zhì)可證平面，根據(jù)已知條件求出，再結(jié)合可求得，而為定點，從而可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的弧，再分別作，可求出，再利用弧長公式可求得結(jié)果.
【詳解】如圖1，連接，作，垂足為，
因為四棱臺為正四棱臺，
所以平面平面，
因為平面平面，平面，
所以平面.
因為，所以，
因為，所以.
因為點在底面內(nèi)，且，所以.
以為圓心，為半徑畫圓，如圖2，則是的軌跡.
分別作，垂足分別為.
由題意可得，
在和中，，
所以，
所以，
故的軌跡長度是.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查立體幾何中的軌跡問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，從而可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.
第II卷
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知單位向量、滿足，則與的夾角為________．
【答案】
【解析】
【分析】在等式兩邊平方，求出的值，結(jié)合向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】由可得，得，所以，，
，因此，.
故答案為：.
14. 已知實數(shù)滿足約束條件.，則的最大值為__________.
【答案】4
【解析】
【分析】首先畫出可行域，然后通過平移直線即可確定取最大值時經(jīng)過的點，進(jìn)而可得答案.
【詳解】畫出可行域如下：
因為，所以，將向上平移，經(jīng)過點時，有最大值；
即當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值，且最大值為.
故答案為：4.
15. 在正四面體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】作輔助線，作出異面直線與所成角或其補角，求出相關(guān)線段的長，解三角形即可求得答案.
【詳解】如圖，取線段的中點，連接.
因為是棱的中點，則為的中位線，故，
則是異面直線與所成角或其補角.
正四面體中,設(shè)，由于是棱的中點，故，
則，
從而.
在中，由余弦定理可得，
由于異面直線所成角范圍為大于等于小于，
故異面直線與所成角的余弦值是，
故答案為：
16. 過雙曲線的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的左頂點為，則的離心率為__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，找出之間的等量關(guān)系式，利用解方程的方法即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點，的焦距為.過點作垂直于軸，垂足為.
雙曲線的漸近線方程為：，
易得，
所以，
由可得，即，
所以，得，
所以，故.
故答案為：2.
三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 在等差數(shù)列中，.
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列方程組，求得首項和公差，即得答案.
（2）由（1）可得的表達(dá)式，確定數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得答案.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，解得
故.
【小問2詳解】
由（1）可得，則，從而.
因為，所以是首項為2，公比為4的等比數(shù)列.
由等比數(shù)列的前項和公式可得.
18. 鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗?東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）請估計該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中抽取5顆，再從這5顆板栗中隨機抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質(zhì)量在內(nèi)的概率.
【答案】（1）57.5
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求判斷板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)，然后設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，列方程可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)頻率分布直方圖可求出從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中所抽取的數(shù)量，然后利用列舉法可求得答案.
【小問1詳解】
因為，
所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi).
設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，
解得，即該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5.
【小問2詳解】
由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取2顆，分別記為；
從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，分別記為.
從這5顆板栗中隨機抽取2顆的情況有，共10種，
其中符合條件的情況有，共7種，
故所求概率.
19. 如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助三棱柱的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判斷定理即可得；
（2）借助等體積法求點面距.
【小問1詳解】
由三棱柱的性質(zhì)可知，
因為平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為為的中點，且是等邊三角形，所以，
因為、平面，且，所以平面；
【小問2詳解】
因為，所以，
則的面積，
作，垂足為，有平面，
所以，又因為、平面，，
所以平面，
因為是等邊三角形，所以，
則，
因為平面，、平面，
所以，，則，
故的面積，
設(shè)點到平面的距離為，
則三棱錐的體積，
因為，所以，所以.
20. 已知點，動點滿足，動點的軌跡記為.
（1）求的方程；
（2）過點的直線與交于兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可確定橢圓的長軸長以及焦距，進(jìn)而求得，即得答案.
（2）首先設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，由此求得弦長，結(jié)合原點到直線的距離，即可求得面積表達(dá)式，然后換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.
【小問1詳解】
因為，所以是以為焦點，且長軸長為4的橢圓.
設(shè)的方程為，則，可得.
又橢圓焦距為，所以，
所以的方程為；
【小問2詳解】
由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線，
聯(lián)立，整理得，
則，
.
由弦長公式可得
.
點到直線的距離，則的面積，
設(shè)，則，
因為，在上單調(diào)遞增，此時，即時取等號，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
即面積最大值為.
【點睛】方法點睛：求解面積的最大值，一般方法是要結(jié)合直線和橢圓方程，求出面積的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式或者是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，求解最值.
21. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程，
（2）證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)解得，然后求得切線方程；
（2）結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最小值；
【小問1詳解】
，，.
故曲線在點處的切線方程為.
【小問2詳解】
由（1）得.
令函數(shù)，則，所以是增函數(shù).
，，
所以存在，使得，即.
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
.
因為，所以，
所以.
故.
（二）選考題：共10分.請考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；
（2）已知直線，在第一象限內(nèi)，直線與曲線交于點，與直線交于點，求的值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）消去參數(shù)，把參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可得結(jié)果；
（2）聯(lián)立方程求解交點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由（為參數(shù)），得，即
又，代入上式化簡得：，
則曲線的極坐標(biāo)方程為
【小問2詳解】
聯(lián)立，解得或（舍去），得，
聯(lián)立，解得，得
故，
所以的值為2.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）絕對值不等式分類討論求解即可得；
（2）雙絕對值不等式恒成立問題，借助絕對值三角不等式，將原問題轉(zhuǎn)化即可得.
【小問1詳解】
等價于或，
解得或，
即，即不等式的解集為；
【小問2詳解】
恒成立，即恒成立，
因為，
所以，解得或，

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