3.1 多項(xiàng)式的因式分解1.使學(xué)生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念；通過對(duì)分解因式與整式的乘法的觀察與比較，學(xué)習(xí)代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化與化歸的能力，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力與綜合應(yīng)用能力.2.認(rèn)識(shí)因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——互逆關(guān)系(即相反變形)，并能運(yùn)用這種關(guān)系尋求因式分解的方法；通過解決實(shí)際問題，學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用意識(shí).3.培養(yǎng)學(xué)生接受矛盾的對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)，獨(dú)立思考，勇于探索的精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【教學(xué)重點(diǎn)】因式分解的概念.【教學(xué)難點(diǎn)】難點(diǎn)是理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，并運(yùn)用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法.1.多項(xiàng)式的乘法有幾種形式？單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：a(m+n)=am+an多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn2.乘法公式有哪些？討論（1）21等于3乘那個(gè)數(shù)？（2）x2-1等于x+1乘哪個(gè)多項(xiàng)式？21=3×7.因?yàn)? x+1 )( x-1 )=x2-1，所以x2-1=( x+1 )( x-1 ).對(duì)于整數(shù)21于3，有整數(shù)7使得21=3×7，我們把3叫做21的一個(gè)因數(shù)，同理7也是21的一個(gè)因數(shù). 類似地，對(duì)于多項(xiàng)式x2-1與x+1，由整式的乘法有多項(xiàng)式x-1使得x2-1=( x+1 )( x-1 )成立，我們把多項(xiàng)式x+1叫做x2-1的一個(gè)因式.同理，x-1也是x2-1的一個(gè)因式.定義： 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解(也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式). 一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)式 f 與 g，如果有多項(xiàng)式 h 使得 f = gh，那么我們把 g 叫做 f 的一個(gè)因式，此時(shí)，h 也是 f 的一個(gè)因式．單項(xiàng)式可看作只有一項(xiàng)的多項(xiàng)式↗因式分解的特點(diǎn)： 分解的結(jié)果一定是積的形式. 每個(gè)因式必須是整式. 因式要分解到不能分解為止.x2 － 1 ( x + 1 )( x － 1 )因式分解整式乘法x2 － 1 = ( x + 1 )( x － 1 )因式分解等式的特征：左邊是多項(xiàng)式，右邊是幾個(gè)整式的乘積.想一想：整式乘法與因式分解有什么關(guān)系？是互逆的變形，即【例1】下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？ (1) a2+2ab + b2= (a+b)2; (2) m2+m-4=( m +3 ) ( m-2 )+2.是.因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式a2+2ab + b2表示成了多項(xiàng)式a+b與a+b的積的形式.不是.因?yàn)? m +3 ) ( m-2 )+2不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式.方法總結(jié)：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解的右邊是兩個(gè)或幾個(gè)整式的積的形式，整式乘法的右邊是多項(xiàng)式的形式．1、下列從左到右的變形中是因式分解的有 (　　)① x2 － y2 － 1 ＝ (x ＋ y)( x － y) － 1；② x3 ＋ x ＝ x (x2 ＋ 1)；③ (x － y)2 ＝ x2 － 2xy ＋ y2；④ x2 － 9y2 ＝ (x ＋ 3y)(x － 3y)．A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)B【例2】檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.（1）x2+xy=x( x+y )；（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；（3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).解：（1）因?yàn)閤( x+y )=x2+xy，所以（1）正確； （2）因?yàn)? a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正確； （3）因?yàn)? 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正確. x2 + x = x2(1 + )2、在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有 ；不是因式分解的，請(qǐng)說明為什么. ① ② ③④ ⑤ ⑥ ③⑥am + bm + c = m(a + b) + c24x2y = 3x ·8xyx2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 12x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)最后不是積的運(yùn)算因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式是整式乘法每個(gè)因式必須是整式3、若多項(xiàng)式 x2 + ax + b 分解因式的結(jié)果為 a( x﹣2 )( x + 3 )，求 a，b 的值.解：因?yàn)?x2 + ax + b = a( x﹣2 )( x + 3 )， 即 x2 + ax + b = ax2 + ax﹣6a， 所以 a = 1，b =﹣6a =﹣6，方法歸納：對(duì)于此類問題，掌握因式分解與整式乘法為互逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵，應(yīng)先把分解因式后的結(jié)果乘開，再與多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)比較，使其分別相等即可.1.下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是( ) A.a(m-n)＝am-an B.y2+2y+1＝y(tǒng)(y+2)+1 C.(x+3)(x+6)＝x2+9x+18 D.b3-b＝b(b+1)(b-1)D2. (7x-y)(7x+y)是下列哪一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果( ) A.49x2+y2 B.-49x2+y2 C.49x2-y2 D.-49x2-y2C3. 根據(jù)整式乘法的經(jīng)驗(yàn)把下列多項(xiàng)式因式分解： 4. 求 4，6，14 的最大公因數(shù).4 = 1×2×2，6 = 1×2×3，14 = 1×2×7，最大公因數(shù)是 2. 解：?6. 甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式 x2 + ax + b 時(shí)，甲看錯(cuò)了 b，分解結(jié)果為 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看錯(cuò)了 a，分解結(jié)果為( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.解：分解因式甲看錯(cuò)了 b，但 a 是正確的， 其分解結(jié)果為 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， 所以 a = 6. 同理，乙看錯(cuò)了 a，但 b 是正確的， 分解結(jié)果為 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 所以 b = 9. 因此 a + b = 15.7、若多項(xiàng)式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.解：因?yàn)?x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次數(shù)是 4，所以可設(shè) x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).則 x4 + mx3 + nx﹣16= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.比較系數(shù)得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式表示成若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解. 一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)式f與g，如果有多項(xiàng)式h使得f=gh，那么我們把g叫做f的一個(gè)因式.此時(shí)，h也是f的一個(gè)因式.f=gh因式分解要注意以下幾點(diǎn)： 3. 要分解到不能分解為止.2. 分解的結(jié)果一定是幾個(gè)整式的乘積的形式；1. 分解的對(duì)象必須是多項(xiàng)式；因式分解與整式乘法是互逆的過程.1. 習(xí)題3.1中第2、3、4題. 2.完成同步練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

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初中數(shù)學(xué)湘教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

3.1 多項(xiàng)式的因式分解

版本： 湘教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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