備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第8講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去y（或x），得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，設(shè)其判別式為Δ，則① Δ＞0 ?有兩個(gè)交點(diǎn) ?相交；Δ＝0?有一個(gè)交點(diǎn)?相切；② Δ＜0 ?無交點(diǎn)?相離.
注意直線與雙曲線方程聯(lián)立消元后，得出的方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，直線與雙曲線漸近線平行，兩者有且只有一個(gè)交點(diǎn)；二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，利用判別式進(jìn)行判斷.
2.弦長與中點(diǎn)弦
（1）弦長公式
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線l：y＝kx＋b與曲線C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則弦長｜AB｜＝③ 1+k2·｜x1－x2｜＝（1+k2)[(x1＋x2）2－4x1x2].
當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，直線l：x＝my＋n與曲線C相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則弦長｜AB｜＝1+m2｜y1－y2｜＝（1+m2)[(y1＋y2）2－4y1y2].
注意（1）過焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦；與焦點(diǎn)所在對稱軸垂直的焦點(diǎn)弦稱為通徑.（2）通徑是橢圓與拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦，橢圓的通徑長為2b2a，拋物線的通徑長為2p.（3）雙曲線中同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑，其長為2b2a；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a.
（2）中點(diǎn)弦
若AB是橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸的弦，O為原點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝－b2a2.
若AB是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的不平行于對稱軸的弦，O為原點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝b2a2.
3.切線與切點(diǎn)弦所在直線的方程
1.直線y＝x＋1與橢圓x25＋y24＝1的位置關(guān)系是（ A ）
A.相交B.相切C.相離D.無法判斷
解析解法一聯(lián)立直線與橢圓的方程得y＝x+1，x25＋y24=1，消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＞0，所以直線與橢圓相交.
解法二因?yàn)橹本€過點(diǎn)（0，1），而0＋14＜1，即點(diǎn)（0，1）在橢圓內(nèi)部，所以可推斷直線與橢圓相交.
2.過橢圓x24＋y23＝1的焦點(diǎn)的最長弦和最短弦的長分別為（ B ）
A.8，6B.4，3C.2，3D.4，23
解析由題意知，a＝2，b＝3，c＝1，最長弦過兩個(gè)焦點(diǎn)，長為2a＝4，最短弦垂直于x軸，把x＝1代入x24＋y23＝1，得｜y｜＝32，所以最短弦的長為3.故選B.
3.已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長是（ C ）
A.2B.4C.8D.16
解析由y＝x－1，y2=4x，消去y并整理得x2－6x＋1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以｜AB｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1+1×36－4＝8.
4.已知點(diǎn)A，B是雙曲線C：x22－y23＝1上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是M（3，2），則直線AB的斜率為（ D ）
A.23B.32C.49D.94
解析設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵點(diǎn)A，B是雙曲線C上的兩點(diǎn)，∴x122－y123＝1，x222－y223＝1，兩式相減得（x1＋x2)(x1－x2）2＝（y1＋y2)(y1－y2）3，∵M(jìn)（3，2）是線段AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴6（x1－x2）2＝4（y1－y2）3，∴kAB＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝94.（也可以直接利用公式kOM·kAB＝b2a2求解）
研透高考明確方向
命題點(diǎn)1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
例1 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知橢圓C：x23＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m＝（ C ）
A.23B.23C.－23D.－23
解析由題意，F(xiàn)1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點(diǎn)F1到直線AB的距離是點(diǎn)F2到直線AB的距離的2倍，即｜－2＋m｜2＝2×｜2＋m｜2，解得m＝－23或m＝－32，由y＝x＋m，x23＋y2=1，得43x2＋2mx＋m2－1＝0，則Δ＝（2m）2－4×43（m2－1）＝－43m2＋163＞0，解得－2＜m＜2，所以m＝－23.故選C.
（2）[2022全國卷甲]記雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值 2（答案不唯一） .
解析雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax，若直線y＝2x與雙曲線C無公共點(diǎn)，則2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈（1，5]，∴填寫（1，5]內(nèi)的任意值均可.
方法技巧
（1）直線與橢圓的位置關(guān)系問題可直接轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.
（2）直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.
（3）直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱軸平行（或重合）.
（4）對于過定點(diǎn)的直線，可以根據(jù)定點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.
訓(xùn)練1 （1）[2023天津高考]過原點(diǎn)O的一條直線與圓C：（x＋2）2＋y2＝3相切，交曲線y2＝2px（p＞0）于點(diǎn)P，若｜OP｜＝8，則p的值為 6 .
解析由題意得直線OP的斜率存在.設(shè)直線OP的方程為y＝kx，因?yàn)樵撝本€與圓C相切，所以｜－2k｜1+k2＝3，解得k2＝3.將直線方程y＝kx與曲線方程y2＝2px（p＞0）聯(lián)立，得k2x2－2px＝0，因?yàn)閗2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或x＝2p3.設(shè)P（x1，y1），則x1＝2p3，又O（0，0），所以｜OP｜＝1+k2｜x1－0｜＝2×2p3＝8，解得p＝6.
（2）已知對任意k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓x25＋y2m＝1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 [1，5）∪（5，＋∞） .
解析解法一（代數(shù)法）由橢圓方程，可知m＞0且m≠5，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，得y－kx－1=0，x25＋y2m=1，整理，得（5k2＋m）x2＋10kx＋5（1－m）＝0.因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，故Δ＝（10k）2－4×（5k2＋m）×5（1－m）＝20（5k2m－m＋m2）≥0.因?yàn)閙＞0，所以不等式等價(jià)于5k2－1＋m≥0，即k2≥1－m5，由題意，可知要使不等式恒成立，則1－m5≤0，解得m≥1.綜上，m的取值范圍為[1，5）∪（5，＋∞）.
解法二（幾何法）因?yàn)榉匠蘹25＋y2m＝1表示橢圓，所以m＞0且m≠5.因?yàn)橹本€y－kx－1＝0過定點(diǎn)（0，1），所以要使直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，點(diǎn)（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，即025＋12m≤1，整理得1m≤1，解得m≥1.綜上，m的取值范圍為[1，5）∪（5，＋∞）.
命題點(diǎn)2 弦長及中點(diǎn)弦問題
角度1 弦長問題
例2 [2022新高考卷Ⅰ]已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，｜DE｜＝6，則△ADE的周長是 13 .
解析由對稱性不妨令F1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，如圖，連接AF1，DF2，EF2，因?yàn)镃的離心率為12，所以ca＝12，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.由題意知｜AF1｜＝｜AF2｜＝a＝2c＝｜F1F2｜，所以△AF1F2為等邊三角形，又DE⊥AF2，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，所以｜AD｜＝｜DF2｜，｜AE｜＝｜EF2｜，且∠EF1F2＝30°，所以直線DE的方程為y＝33（x＋c），代入橢圓C的方程x24c2＋y23c2＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則x1＋x2＝－8c13，x1x2＝－32c213，所以｜DE｜＝（1+13)[（x1＋x2）2－4x1x2]＝43[(－8c13）2－4×（－32c213)]＝48c13＝6，解得c＝138，所以a＝2c＝134，所以△ADE的周長為AD+AE+DE=DF2+EF2+DE=4a=13.
例3 [2023成都市模擬]已知拋物線C：y2＝2px（p＞0，p≠4），過點(diǎn)A（2，0）且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn).
（1）設(shè)點(diǎn)B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為k1，k2，若k1＋k2＝0，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，求｜MN｜｜AP｜·｜AQ｜的值.
解析（1）由題意，直線PQ的方程為y＝k（x－2），其中k≠0.
設(shè)B（m，0），P（y122p，y1），Q（y222p，y2）.
由y＝k（x－2),y2=2px，消去x，整理得y2－2pky－4p＝0，
∴Δ＝4p2k2＋16p＞0，y1＋y2＝2pk，y1y2＝－4p.
∵k1＋k2＝0，∴y1y122p－m＋y2y222p－m＝0，
即y1y2（y1＋y2）2p－m（y1＋y2）＝0，
∴（－4p2p－m）·2pk＝0，即（m＋2）·2pk＝0.
∵p＞0，∴m＝－2.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－2，0）.
（2）由題意，F(xiàn)（p2，0），∴直線MN的方程為y＝k（x－p2），k≠0.設(shè)M（xM，yM），
N（xN，yN）.
由y＝k（x－p2),y2=2px，消去y，整理得k2x2－（k2p＋2p）x＋k2p24＝0，
∴Δ1＝4k2p2＋4p2＞0，xM＋xN＝p＋2pk2，
∴｜MN｜＝xM＋xN＋p＝（1＋1k2）·2p.
又｜AP｜＝1+1k2｜y1｜，｜AQ｜＝1+1k2｜y2｜，
∴｜AP｜·｜AQ｜＝（1＋1k2）·｜y1y2｜＝（1＋1k2）·4p.
∴｜MN｜｜AP｜·｜AQ｜＝（1+1k2）·2p（1+1k2）·4p＝12.
方法技巧
（1）使用弦長公式時(shí)注意對直線斜率的討論.
（2）直線經(jīng)過特殊點(diǎn)（如焦點(diǎn)、原點(diǎn)等）或斜率特殊時(shí)，利用圓錐曲線的定義或數(shù)形結(jié)合來求弦長.
角度2 中點(diǎn)弦問題
例4 （1）[2023全國卷乙]設(shè)A，B為雙曲線x2－y29＝1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ D ）
A.（1，1）B.（－1，2）
C.（1，3）D.（－1，－4）
解析選項(xiàng)中的點(diǎn)均位于雙曲線兩支之間，故A，B分別在雙曲線的兩支上且不關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則｜kAB｜＝9｜x0y0｜＜3，（若雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則kAB·kOM＝b2a2）
即｜y0｜＞3｜x0｜，結(jié)合選項(xiàng)可知選D.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知直線l與橢圓x26＋y23＝1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且｜MA｜＝｜NB｜，｜MN｜＝23，則l的方程為 x＋2y－22＝0 .
解析設(shè)直線l的方程為xm＋yn＝1（m＞0，n＞0），分別令y＝0，x＝0，得點(diǎn)M（m，0），N（0，n）.由題意知線段AB與線段MN有相同的中點(diǎn)，設(shè)為Q，則Q（m2，n2），則kAB＝0－nm－0＝－nm，kOQ＝n2m2＝nm.由橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)知，kAB·kOQ＝－b2a2＝－12，即-nm?nm=-12，整理得m2＝2n2 ①.又｜MN｜＝23，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12 ②，由①②并結(jié)合m＞0，n＞0，得m=22，n=2，所以直線l的方程為x22＋y2＝1，即x＋2y－22＝0.
方法技巧
點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題的步驟
（1）設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)：A（x1，y1），B（x2，y2）；
（2）將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線方程中并兩式作差，得到關(guān)于直線AB的斜率和線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式；
（3）將已知條件代入關(guān)系式并化簡求解.
訓(xùn)練2 （1）已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則｜AB｜＋｜DE｜的最小值為（ A ）
A.16B.14C.12D.10
解析解法一焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），易知直線l1，l2的斜率均存在且不為0，分別設(shè)為k1，k2，則直線l1的方程為y=k1x－1,由y2=4x，y＝k1（x－1),消去y并整理得k12x2－（2k12＋4）x＋k12＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝2k12+4k12.因?yàn)閘1⊥l2，所以k2＝－1k1.同理有x3＋x4＝2（－1k1）2+4（－1k1）2＝2＋4k12，則AB+DE＝x1+x2+x3+x4+2＝2k12+4k12＋2＋4k12＋4＝4k12＋4k12＋8≥24k12·4k12＋8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)4k12＝4k12，即k1＝±1時(shí)，｜AB｜＋｜DE｜取最小值 16.故選A.
解法二設(shè)l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為θ±π2，易知θ≠0且θ≠π2，由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式得｜AB｜＝2psin2θ＝4sin2θ，則｜DE｜＝2psin2（θ±π2）＝4cs2θ，則｜AB｜＋｜DE｜＝4sin2θ＋4cs2θ＝4（sin2θ＋cs2θsin2θcs2θ）＝16sin22θ，當(dāng)sin 2θ＝1時(shí)，｜AB｜＋｜DE｜取最小值16.故選A.
（2）[2023重慶市調(diào)研質(zhì)量抽測（一）]已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓E的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)F1且平行于AF2的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，M為弦BC的中點(diǎn)，且直線l的斜率與OM的斜率的乘積為－34，則橢圓E的離心率為 12 ；若｜OM｜＝319，則直線l的方程為 3x＋y＋153＝0 .
解析設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），M（x0，y0），則x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.橢圓E：x2a2＋y2b2＝1，即b2x2＋a2y2＝a2b2，所以b2x12＋a2y12＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2，得b2x1+x2x1-x2+a2y1+y2y1-y2=0,由題意可知，x1－x2≠0，所以2b2x0＋2a2y0·y1－y2x1－x2＝0，即y1－y2x1－x2·y0x0=-b2a2，即kl·kOM＝－b2a2，所以－b2a2＝－34，所以b2a2＝34.因?yàn)閑2＝1－b2a2＝1－34＝14，0

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