（1）定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有① p％ 的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有② （100－p）％ 的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
（2）四分位數(shù)：第25百分位數(shù)、中位數(shù)（第50百分位數(shù)）、第75百分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，這三個(gè)分位數(shù)統(tǒng)稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.
2.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)
3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差
4.分層隨機(jī)抽樣的樣本均值與方差
以兩層隨機(jī)抽樣的情況為例.假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s2，第二層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，方差為t2，則x＝1m∑i=1mxi，s2＝1m∑i=1m（xi－x）2，y＝1n∑j=1nyj，t2＝1n∑j=1n（yj－y）2.若記樣本均值為a，樣本方差為b2，則可以算出a＝1m＋n（∑i=1mxi＋∑j=1nyj）＝mx＋nym＋n，b2＝m[s2＋（x－a）2]＋n[t2＋（y－a）2]m＋n.
常用結(jié)論
1.平均數(shù)的性質(zhì)
（1）若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為ax＋b.
（2）若兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均數(shù)分別為x和y，則x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均數(shù)為x＋y.
2.方差的性質(zhì)
若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
特別地，當(dāng)a＝1時(shí)，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)相同的常數(shù)，方差是不變的，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.
1.下列說法正確的是（ D ）
A.對(duì)一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近
B.一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)唯一
C.方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位
D.如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變
解析 平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平，它們之間沒有必然聯(lián)系，故A錯(cuò)誤；一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)可以不唯一，故B錯(cuò)誤；方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，故它們的單位不一樣，故C錯(cuò)誤.
2.[全國卷Ⅲ]設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（ C ）
B.0.1C.1D.10
解析 因?yàn)閿?shù)據(jù)axi＋b（i＝1，2，…，n）的方差是數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，…，n）的方差的a2倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01＝1.
3.[多選/2021新高考卷Ⅱ]下列統(tǒng)計(jì)量中可用于度量樣本x1，x2，…，xn離散程度的有（ AC ）
A.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.x1，x2，…，xn的中位數(shù)
C.x1，x2，…，xn的極差D.x1，x2，…，xn的平均數(shù)
解析 平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均刻畫了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)和中位數(shù)，對(duì)分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差均是度量樣本數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)字特征.故選AC.
4.[江蘇高考]已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是 53 .
解析 數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10的平均數(shù)是6+7+8+8+9+106＝8，則方差是4+1+0+0+1+46＝53.
5.[2023湖南省六校聯(lián)考]數(shù)據(jù)：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位數(shù)為m，第60百分位數(shù)為a，則m＋a＝ 10 .
解析 共有10個(gè)數(shù)據(jù)，且為從小到大排列，所以中位數(shù)為第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以m＝4+52＝4.5，因?yàn)?0×60％＝6，所以第60百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以a＝5+62＝5.5，所以m＋a＝10.
研透高考 明確方向
命題點(diǎn)1 百分位數(shù)的估計(jì)
例1 （1）一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為 14.5 ，第86百分位數(shù)為 17 .
解析 ∵75％×20＝15，∴第75百分位數(shù)為14+152＝14.5.∵86％×20＝17.2，∴第86百分位數(shù)為第18個(gè)數(shù)據(jù)，即17.
（2）[2023重慶二調(diào)]如圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的80％分位數(shù)為 78.5 .
解析 ∵（0.016＋0.030）×10＝0.46＜0.8，（0.016＋0.030＋0.040）×10＝0.86＞0.8，
∴80％分位數(shù)位于[70，80）中，令其為x，則x－7010＝0.8－0.460.4，（面積（頻率）之比等于寬（橫坐標(biāo)之差）之比）
解得x＝78.5.
方法技巧
1.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；（2）計(jì)算i＝n×p％；（3）若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2.頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的求解步驟
（1）確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b）；
（2）確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa％，fb％，則第p百分位數(shù)為a＋p％－fa％fb％－fa％×（b－a）.
訓(xùn)練1 （1）已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是（ C ）
A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3
B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)
C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)
D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)
解析 因?yàn)?00×75％＝75，為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項(xiàng)均不正確，故選C.
（2）[2023河北名校聯(lián)考]為科普航天知識(shí)，某校組織學(xué)生參與航天知識(shí)競答活動(dòng)，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m（1≤m≤10）的值可以是 7（8，9，10也可） .（寫出一個(gè)滿足條件的m的值即可）
解析 原數(shù)據(jù)去掉m后，剩余數(shù)據(jù)從小到大依次為6，7，7，8，8，9，10，因?yàn)?×0.25＝1.75，所以這7個(gè)數(shù)的第25百分位數(shù)為7，所以數(shù)據(jù)7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位數(shù)為7，又8×0.25＝2，所以7為這8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序后的第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10.
命題點(diǎn)2 樣本的數(shù)字特征
角度1 離散型數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
例2 （1）已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則（ A ）
A.x＝4，s2＜2B.x＝4，s2＝2
C.x＞4，s2＜2D.x＞4，s2＞2
解析 設(shè)7個(gè)數(shù)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x77＝4,17x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5-42+x6-42+x7-42=2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，（x1－4）2＋（x2－4）2＋（x3－4）2＋（x4－4）2＋（x5－4）2＋（x6－4）2＋（x7－4）2＝14，則這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)x=18x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+4=18×28+4=4，方差s2=18x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5－42+x6-42+x7-42+4-42=18×14+0=74

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