備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第5講橢圓-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

（1）定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于① 常數(shù) （大于｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的② 焦點(diǎn) ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的③ 焦距 .
集合語言：P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a＞c＞0，且a，c為常數(shù).
注意若2a＝｜F1F2｜，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程
a.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為④ x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）；
b.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤ y2a2+x2b2=1 （a＞b＞0）.
思維拓展
橢圓的第二定義、第三定義
橢圓的第二定義：{P｜｜PF｜d＝e，0＜e＜1，其中F為定點(diǎn)，l為定直線，e為離心率，F(xiàn)?l，d表示點(diǎn)P到直線l的距離}.
橢圓的第三定義：{P｜kPA·kPB＝e2－1，0＜e＜1，其中kPA，kPB分別表示點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B連線的斜率，e為離心率}.
注意橢圓的第三定義中的兩個(gè)定點(diǎn)（橢圓的頂點(diǎn)）在x軸上，且利用橢圓第三定義得出的軌跡方程不包括這兩個(gè)定點(diǎn).
2.橢圓的幾何性質(zhì)
說明離心率表示橢圓的扁平程度，當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b＝a2－c2越小，因此橢圓越扁平；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b＝a2－c2越大，因此橢圓越接近于圓.
常用結(jié)論
1.橢圓的焦點(diǎn)三角形
以橢圓上的點(diǎn)P（x0，y0）與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形.
如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.
（1）當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大.（2）S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2tanθ2=c｜y0｜，當(dāng)｜y0｜＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值，最大值為bc.（3）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c.（4）焦點(diǎn)三角形的周長為2（a＋c）.
2.設(shè)橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），則當(dāng)點(diǎn)Px0,y0在橢圓上時(shí)，｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（e為橢圓的離心率）.
1.（1）的推導(dǎo)過程：在焦點(diǎn)三角形PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜c(diǎn)s θ，
則cs θ＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝(|PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1||PF2｜－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝（2a）2－4c2－2｜PF1||PF2｜2｜PF1||PF2｜
＝2b2｜PF1||PF2｜－1，
∵｜PF1｜｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2，當(dāng)且僅當(dāng)｜PF1｜＝｜PF2｜，即點(diǎn)P是短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
∴cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1≥2b2a2－1.
又函數(shù)y＝cs x在（0，π）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)P為短軸的端點(diǎn)時(shí)，θ最大.
1.（2）的推導(dǎo)過程：由上條結(jié)論的推導(dǎo)過程得cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1，∴｜PF1｜｜PF2｜＝2b21+csθ，
∴S△PF1F2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝12·2b21+csθ·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2·2sinθ2csθ22cs2θ2＝b2tan θ2.
1.設(shè)P是橢圓C：x25＋y23＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（ C ）
A.22B.23C.25D.42
解析根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為25.故選C.
2.已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為12，則（ B ）
A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b
解析由題意得，ca＝12，∴c2a2＝14，又a2＝b2＋c2，∴a2－b2a2＝14，∴b2a2＝34，∴4b2＝3a2.故選B.
3.[多選]下列說法正確的是（ CD ）
A.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓
B.橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓
C.關(guān)于x，y的方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲線是橢圓
D.x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）與y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同
4.[易錯(cuò)題]平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1（－6，0），F(xiàn)2（6，0）的距離之和等于12，則點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2 .
解析由題意知｜MF1｜＋｜MF2｜＝12，但｜F1F2｜＝12，即｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.
5.[易錯(cuò)題]橢圓x210－m＋y2m－2＝1的焦距為4，則m＝ 4或8 .
解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.
6.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（6，0），且B1，B2是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，△FB1B2是等邊三角形，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x248＋y212＝1 .
解析由已知得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.由一個(gè)焦點(diǎn)為F（6，0），知c＝6，又△FB1B2為等邊三角形，得b＝23，所以a2＝b2＋c2＝48，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x248＋y212＝1.
研透高考明確方向
命題點(diǎn)1 橢圓的定義及其應(yīng)用
例1 （1）[2023全國卷甲]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x25＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若PF1·PF2＝0，則｜PF1｜·｜PF2｜＝（ B ）
A.1B.2C.4D.5
解析解法一因?yàn)镻F1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，則S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝b2tan∠F1PF22，得12｜PF1｜·｜PF2｜＝1×tan90°2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故選B.
解法二因?yàn)镻F1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF12+PF22=F1F22＝2c2=16.因?yàn)椋黀F1｜＋｜PF2｜＝2a＝25，所以(|PF1｜＋｜PF2|)2＝20，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故選B.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29＋y24＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則｜MF1｜·｜MF2｜的最大值為（ C ）
A.13B.12C.9D.6
解析由橢圓C：x29＋y24＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
則｜MF1｜·｜MF2｜≤（｜MF1｜＋｜MF2｜2）2＝32＝9，當(dāng)且僅當(dāng)｜MF1｜＝｜MF2｜＝3時(shí)等號(hào)成立.
（3）動(dòng)圓M與圓M1：（x＋1）2＋y2＝1外切，與圓M2：（x－1）2＋y2＝25內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡是橢圓 .
解析設(shè)圓M的半徑為R.因?yàn)閳AM與圓M1外切，與圓M2內(nèi)切，所以MM1=1+R,｜MM2｜＝5－R，所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6＞｜M1M2｜＝2，所以M的軌跡是橢圓.
方法技巧
1.橢圓定義的主要應(yīng)用
（1）確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為橢圓；（2）解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離或范圍問題.
2.解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義以及余弦定理.
訓(xùn)練1 （1）[2023全國卷甲]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：x29＋y26＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cs∠F1PF2＝35，則｜OP｜＝（ B ）
A.135B.302C.145D.352
解析解法一依題意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如圖，不妨令F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）.設(shè)｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35 ①，由橢圓的定義可得m+n=2a=6 ②.由①②，解得mn＝152.設(shè)｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3－m223x＝－x2+3－n223x，得x2＝m2＋n2－62＝（m＋n）2－2mn－62＝152，所以｜OP｜＝302.（也可由PO＝12（PF1＋PF2），兩邊同時(shí)平方求｜OP｜）
解法二依題意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如圖（圖同解法一），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），利用焦點(diǎn)三角形面積公式知S△F1PF2＝b2sin∠F1PF21+cs∠F1PF2.因?yàn)閏s∠F1PF2＝35，所以sin∠F1PF2＝45，故S△F1PF2＝6×451+35＝3.又S△F1PF2＝12×2c｜y0｜＝3｜y0｜，故y02＝3，又x029＋y026＝1，所以x02＝92，故｜OP｜2＝x02＋y02＝152，得｜OP｜＝302.
（2）已知橢圓x24＋y23＝1，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），則｜PA｜＋｜PF｜的最小值為（ A ）
A.3B.10C.5＋12D.5＋1
解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2（1，0），則｜AF2｜＝1，PA+PF=PA+4-PF2=4+PA-PF2.又｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝1，所以-1≤PA-PF2≤1，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值為3（此時(shí)點(diǎn)P是射線F2A與橢圓的交點(diǎn)）.
（3）已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B（0，－4），C（0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是 x220＋y236＝1（x≠0） .
解析因?yàn)椤鰽BC的周長為20，頂點(diǎn)B（0，－4），C（0，4），所以｜BC｜＝8，｜AB｜＋｜AC｜＝20－8＝12，因?yàn)?2＞8，所以點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，所以點(diǎn)A的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為x2b2＋y2a2＝1（a＞b＞0），易得a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以點(diǎn)A的軌跡方程是x220＋y236＝1（x≠0）.
命題點(diǎn)2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2 （1）[2023南京模擬]已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（0，2），F(xiàn)2（0，－2），P為橢圓上任意一點(diǎn)，若｜F1F2｜是｜PF1｜，｜PF2｜的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ D ）
A.x264＋y260＝1B.y264＋x260＝1
C.x216＋y212＝1D.y216＋x212＝1
解析由題意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，則b＝23，又焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216＋x212＝1.
（2）[2022全國卷甲]已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為13，A1，A2分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn).若BA1·BA2＝－1，則C的方程為（ B ）
A.x218＋y216＝1B.x29＋y28＝1
C.x23＋y22＝1D.x22＋y2＝1
解析依題意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以BA1＝（－a，－b），BA2＝（a，－b），BA1·BA2＝－a2＋b2＝－c2＝－1，故c＝1，又C的離心率e＝ca＝13，所以a＝3，故a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程為x29＋y28＝1，故選B.
方法技巧
求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
1.定義法
先根據(jù)橢圓的定義確定a，b，c的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.待定系數(shù)法
若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b的值；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，用待定系數(shù)法求出m，n的值.
訓(xùn)練2 （1）[2023銀川市質(zhì)檢]已知A是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)，焦距為4，直線y＝kx（k≠0）與C相交于P，Q兩點(diǎn)，若直線AP與直線AQ的斜率之積為－12，則橢圓C的方程為（ B ）
A.x26＋y22＝1B.x28＋y24＝1
C.x29＋y25＝1D.x232＋y216＝1
解析解法一因?yàn)锳是橢圓C的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），因?yàn)橹本€y＝kx（k≠0）過原點(diǎn)，所以與橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的交點(diǎn)P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此可設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（－x1，－y1），則kAP·kAQ＝y(tǒng)1x1－a·－y1－x1－a＝y(tǒng)1x1－a·y1x1＋a=y12x12－a2.因?yàn)辄c(diǎn)P（x1，y1）在橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以x12a2＋y12b2＝1，故y12＝b2（1－x12a2）＝b2a2（a2－x12），所以kAP·kAQ＝y(tǒng)12x12－a2＝b2a2（a2－x12）x12－a2＝－b2a2，由已知可得－b2a2＝－12，所以a2＝2b2.由焦距2c＝4，得c＝2，再結(jié)合橢圓中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2=4，故橢圓C的方程為x28＋y24＝1，故選B.
解法二由二級(jí)結(jié)論可知，直線AP和AQ的斜率之積為－b2a2，所以－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，由焦距2c＝4，得c＝2，再結(jié)合橢圓中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2＝4，故橢圓C的方程為x28＋y24＝1，故選B.（二級(jí)結(jié)論：過原點(diǎn)的直線與橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）相交于P，Q兩點(diǎn)，A為橢圓上任意一點(diǎn)，且直線AP和AQ與坐標(biāo)軸不垂直，則直線AP和AQ的斜率之積為定值－b2a2）
（2）若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)（1，32）和（2，22），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24+y2=1 .
解析解法一當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1 （a＞b＞0）.∵橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)（1，32）和（2，22），∴1a2＋34b2=1，2a2＋12b2=1，解得a=2，b=1.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2＝1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）.∵橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)（1，32）和（2，22），∴34a2＋1b2=1，12a2＋2b2=1，解得a=1，b=2，與a＞b矛盾，故舍去.
綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2＝1.
解法二設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1 （m＞0，n＞0，m≠n）.
∵橢圓過（1，32）和（2，22）兩點(diǎn)，∴m＋3n4=1，2m＋n2=1，解得m＝14，n=1.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2＝1.
命題點(diǎn)3 橢圓的幾何性質(zhì)
角度1 離心率
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]設(shè)橢圓C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝3e1，則a＝（ A ）
A.233B.2C.3D.6
解析解法一（直接求解法）由已知得e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因?yàn)閑2＝3e1，所以32＝3×a2－1a，得a＝233.故選A.
解法二（選項(xiàng)代入驗(yàn)證法）若a＝233，則e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，所以e2＝3e1，所以a＝233符合題意，由于是單選題，故選A.
（2）[2022全國卷甲]橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AP，AQ的斜率之積為14，則C的離心率為（ A ）
A.32B.22C.12D.13
解析解法一設(shè)P（m，n）（n≠0），則Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14 ①.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2（a2－m2），代入①式，得b2a2＝14，所以e＝1－b2a2＝32.故選A.
解法二設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為B，則直線BP與直線AQ關(guān)于y軸對(duì)稱，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－14＝e2－1，所以e＝32.故選A.
（3）[2021全國卷乙]設(shè)B是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足｜PB｜≤2b，則C的離心率的取值范圍是（ C ）
A.[22，1）B.[12，1）C.（0，22]D.（0，12]
解析依題意，得B（0，b），設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（x0，y0），則｜y0｜≤b，由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，則｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝x02＋y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因?yàn)楫?dāng)y0＝－b時(shí)，｜PB｜2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，所以離心率e＝ca≤22，故選C.
方法技巧
1.求橢圓離心率的方法
（1）直接利用公式求離心率.e＝ca＝1－（ba）2.
（2）由橢圓的定義求離心率.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜.
（3）構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式求離心率.可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
注意將余弦定理與橢圓的定義結(jié)合列方程，是常見的構(gòu)造關(guān)于a，b，c的齊次式的方法.
2.求橢圓離心率范圍時(shí)，要注意對(duì)幾何圖形的臨界情況的應(yīng)用.
訓(xùn)練3 （1）已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，且△ABF是等腰三角形，則橢圓C的離心率為（ B ）
A.5－12B.3－12C.3－1D.5－1
解析由題意知｜AB｜＞｜BF｜，｜AF｜＞｜BF｜，故｜AB｜＝｜AF｜，即a2＋b2＝a＋c，所以2a2－c2＝a2＋2ac＋c2，即2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝3－12（負(fù)值舍去），故選B.
（2）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn).若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為（ D ）
A.1－32B.2－3C.3－12D.3－1
解析由題意可得，｜PF2｜∶｜PF1｜∶｜F1F2｜＝1∶3∶2.因?yàn)椋麱1F2｜＝2c，所以｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，由橢圓的定義得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，故橢圓C的離心率e＝ca＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝23+1＝3－1.故選D.
角度2 與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問題
例4 （1）[2021全國卷乙]設(shè)B是橢圓C：x25＋y2＝1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則｜PB｜的最大值為（ A ）
A.52B.6C.5D.2
解析設(shè)點(diǎn)P（x，y），則根據(jù)點(diǎn)P在橢圓x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知點(diǎn)B（0，1），所以｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝254－（2y＋12）2（｜y｜≤1）.當(dāng)2y＋12＝0，即y＝－14時(shí)，｜PB｜2取得最大值254，所以｜PB｜max＝52.故選A.
（2）設(shè)A，B是橢圓C：x23＋y2m＝1長軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是（ A ）
A.（0，1]∪[9，＋∞）B.（0，3]∪[9，＋∞）
C.（0，1]∪[4，＋∞）D.（0，3]∪[4，＋∞）
解析依題意得3m≥tan∠AMB2，0

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