（1）若釋放點距B點的長度l＝0.7m，求滑塊到最低點C時軌道對其支持力FN的大?。?br>（2）設釋放點距B點的長度為lx，求滑塊第1次經F點時的速度v與lx之間的關系式；
（3）若滑塊最終靜止在軌道FG的中點，求釋放點距B點長度lx的值.
答案 （1）7N （2）v＝12lx－9.6（m/s）（0.85m≤lx≤3m） （3）1315m或95m或4115m
解析 （1）滑塊從釋放點到C的過程中只有重力做功，機械能守恒，則mglsin37°＋mgR（1－cs37°）＝12mvC2
在C點根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg＝mvC2R
代入數(shù)據(jù)解得FN＝7N.
（2）要使滑塊到達F點，則滑塊必過圓弧軌道DEF的最高點，有
mglxsin37°－mg（3Rcs37°＋R）＝12mv02≥0
即lx≥0.85m
滑塊運動到F點的過程中，由機械能守恒定律有
mglxsin37°－4mgRcs37°＝12mv2
解得v＝12lx－9.6（m/s）（0.85m≤lx≤3m）.
（3）設最終摩擦力做的功為滑塊第一次到達FG中點時的n倍，由動能定理得
mglxsin37°－mglFG2sin37°－nμmglFG2cs37°＝0
lFG＝4Rtan37°
解得lx＝7n+615m
將0.85m≤lx≤3m代入上式可得2728≤n≤397
由運動過程可知，n只能取1、3、5
①當n＝1時，lx＝1315m
②當n＝3時，lx＝95m
③當n＝5時，lx＝4115m.
2.[往復運動問題/2020全國Ⅱ]如圖，一豎直圓管質量為M，下端距水平地面的高度為H，頂端塞有一質量為m的小球.圓管由靜止自由下落，與地面發(fā)生多次彈性碰撞，且每次碰撞時間均極短；在運動過程中，管始終保持豎直.已知M＝4m，球和管之間的滑動摩擦力大小為4mg，g為重力加速度的大小，不計空氣阻力.
（1）求管第一次與地面碰撞后的瞬間，管和球各自的加速度大?。?br>（2）管第一次落地彈起后，在上升過程中球沒有從管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地彈起的上升過程中，球仍沒有從管中滑出，求圓管長度應滿足的條件.
答案 （1）2g 3g （2）1325H （3）L≥152125H
解析 （1）管第一次落地彈起的瞬間，小球仍然向下運動.設此時管的加速度大小為a1，方向向下；球的加速度大小為a2，方向向上；球與管之間的摩擦力大小為f，由牛頓第二定律有Ma1＝Mg＋f ①
ma2＝f－mg ②
聯(lián)立①②式并代入題給數(shù)據(jù)，得a1＝2g，a2＝3g ③.
（2）管第一次碰地前與球的速度大小相同.由運動學公式，碰地前瞬間它們的速度大小均為v0＝2gH ④
方向均向下.管彈起的瞬間，管的速度反向，球的速度方向依然向下.
設自彈起時經過時間t1，管與小球的速度剛好相同.取向上為正方向，由運動學公式有v0－a1t1＝－v0＋a2t1 ⑤
聯(lián)立③④⑤式得t1＝252Hg ⑥
設此時管下端的高度為h1，速度為v.由運動學公式可得h1＝v0t1－12a1t12 ⑦
v＝v0－a1t1 ⑧
由③④⑥⑧式可判斷此時v＞0.此后，管與小球將以加速度g減速上升h2，到達最高點.由運動學公式有
h2＝v22g ⑨
設管第一次落地彈起后上升的最大高度為H1，則
H1＝h1＋h2 ⑩
聯(lián)立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得H1＝1325H ?.
（3）設第一次彈起過程中球相對管的位移為x1.在管開始下落到上升H1這一過程中，由動能定理有
Mg（H－H1）＋mg（H－H1＋x1）－4mgx1＝0 ?
聯(lián)立??式并代入題給數(shù)據(jù)得x1＝45H ?
同理可推得，管與球從再次下落到第二次彈起至最高點的過程中，球與管的相對位移x2＝45H1 ?
設圓管長度為L.管第二次落地彈起后的上升過程中，球不會滑出管外的條件是x1＋x2≤L ?
聯(lián)立????式得L應滿足的條件為L≥152125H ?.

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