一、重力做功與重力勢(shì)能1．重力做功的特點(diǎn)(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與初、末位置的_________有關(guān)。(2)重力做功不引起物體_________的變化。
2．重力勢(shì)能(1)公式：Ep＝_________。(2)特性：①標(biāo)矢性：重力勢(shì)能是______，但有正、負(fù)，其意義是表示物體的重力勢(shì)能比它在參考平面上大還是小，這與功的正、負(fù)的物理意義不同。②系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是物體和______所組成的“系統(tǒng)”共有的。③相對(duì)性：重力勢(shì)能的大小與____________的選取有關(guān)。重力勢(shì)能的變化是______的，與參考平面的選取______。
3．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能就______；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能就______。(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量。即WG＝Ep1－Ep2＝_________。
二、彈力做功與彈性勢(shì)能1．彈性勢(shì)能定義：發(fā)生____________的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能。2．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系彈力做正功，彈性勢(shì)能______；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能______。即W＝_________。
3．特別提示(1)對(duì)同一彈簧，彈性勢(shì)能的大小由彈簧的形變量決定，彈簧伸長(zhǎng)量和壓縮量相等時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能相等。(2)物體運(yùn)動(dòng)的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)。
三、機(jī)械能守恒定律1．機(jī)械能______和______統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢(shì)能包括______勢(shì)能和______勢(shì)能。2．機(jī)械能守恒定律(1)內(nèi)容：在只有_______________做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相______，而總的機(jī)械能保持______。(2)守恒的條件：只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功。3．守恒條件：只有重力或彈簧的彈力做功。
一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)重力勢(shì)能的大小與零勢(shì)能參考面的選取有關(guān)。(　　)(2)重力勢(shì)能的變化與零勢(shì)能參考面的選取有關(guān)。(　　)(3)克服重力做功，物體的重力勢(shì)能一定增加。(　　)(4)做曲線運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能可能守恒。(　　)(5)物體初、末狀態(tài)的機(jī)械能相等，則物體的機(jī)械能守恒。(　　)(6)只有彈簧彈力對(duì)物體做功，則物體機(jī)械能守恒。(　　)
二、教材習(xí)題衍生1．(機(jī)械能守恒定律的理解及應(yīng)用)一蹦極運(yùn)動(dòng)員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺(tái)下落，到最低點(diǎn)時(shí)距水面還有數(shù)米距離。假定空氣阻力可忽略，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)。下列說法錯(cuò)誤的是(　　)A．運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前重力勢(shì)能始終減小B．蹦極繩張緊后的下落過程中，彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加C．蹦極過程中，運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．蹦極過程中，重力勢(shì)能的改變量與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)
D　[在運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前，運(yùn)動(dòng)員一直向下運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力勢(shì)能的定義可知重力勢(shì)能始終減小，故A正確；蹦極繩張緊后的下落過程中，彈力方向向上，而運(yùn)動(dòng)員向下運(yùn)動(dòng)，所以彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加，故B正確；對(duì)于運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)，蹦極過程中只有重力和彈力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故C正確；重力做功是重力勢(shì)能變化的量度，即WG＝－ΔEp，而蹦極過程中重力做功與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取無關(guān)，所以重力勢(shì)能的改變量與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取無關(guān)，故D錯(cuò)誤。]
2．(動(dòng)能、重力勢(shì)能及機(jī)械能的理解)如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上。若以地面為零勢(shì)能面，而且不計(jì)空氣阻力，則下列說法中正確的是(　　)A．重力對(duì)物體做的功為mghB．物體在海平面上的勢(shì)能為mgh
3.(機(jī)械能守恒定律與圓周運(yùn)動(dòng)問題綜合)一小球以一定的初速度從圖示位置進(jìn)入光滑的軌道，小球先進(jìn)入圓軌道1，再進(jìn)入圓軌道2，圓軌道1的半徑為R，圓軌道2的半徑是軌道1的1.8倍，小球的質(zhì)量為m，若小球恰好能通過軌道2的最高點(diǎn)B，則小球在軌道1上經(jīng)過A處時(shí)對(duì)軌道的壓力為(　　)A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
1．(機(jī)械能守恒判斷)(2023·南通模擬)如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是(　　)　　　　　　　　甲　　　　乙　　　　丙　　　　丁
考點(diǎn)1　機(jī)械能守恒定律的判斷
A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A的機(jī)械能守恒B．乙圖中，物體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機(jī)械能守恒C．丙圖中，不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí)，A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能增加D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的機(jī)械能守恒
D　[題圖甲中重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A的機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)誤；題圖乙中物體B除受重力外，還受到彈力和摩擦力作用，彈力不做功，但摩擦力做負(fù)功，物體B的機(jī)械能不守恒，B錯(cuò)誤；題圖丙中繩子張力對(duì)A做負(fù)功，對(duì)B做正功，代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，C錯(cuò)誤；題圖丁中小球的動(dòng)能不變，勢(shì)能不變，機(jī)械能守恒，D正確。]
2.(含有彈簧的系統(tǒng)機(jī)械能守恒的分析與判斷)如圖所示，一輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，將小球從與懸點(diǎn)O在同一水平面且使彈簧保持原長(zhǎng)的A點(diǎn)無初速度釋放，讓小球自由擺下。不計(jì)空氣阻力。在小球由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過程中，下列說法正確的是(　　)A．小球的機(jī)械能守恒B．小球的機(jī)械能增加C．小球的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和不變D．小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D　[小球由A點(diǎn)下擺到B點(diǎn)的過程中，彈簧被拉長(zhǎng)，彈簧的彈力對(duì)小球做了負(fù)功，所以小球的機(jī)械能減少，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；在此過程中，由于有重力和彈簧的彈力做功，所以小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即小球減少的重力勢(shì)能等于小球獲得的動(dòng)能與彈簧增加的彈性勢(shì)能之和，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。]
3．(系統(tǒng)機(jī)械能守恒的分析與判斷)質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球A和B，中間用輕質(zhì)桿相連，在桿的中點(diǎn)O處有一水平固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，把桿置于水平位置后釋放，在B球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置的過程中(　　)A．B球的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B．A球的重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加，A球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒C．A球、B球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒
B　[B球從水平位置轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)的過程中，重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，A球重力勢(shì)能增加，動(dòng)能增加，A球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能增加。 由于A球、B球和地球組成的系統(tǒng)只有重力做功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能增加，則B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能一定減少，選項(xiàng)B正確。]
(1)利用做功判斷：若單個(gè)物體所受外力只有重力做功則其機(jī)械能守恒；若系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機(jī)械能守恒。(2)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒。(3)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，則機(jī)械能守恒。
考點(diǎn)2　單物體機(jī)械能守恒問題
3．選用技巧在處理單個(gè)物體機(jī)械能守恒問題時(shí)通常應(yīng)用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)不用選取零勢(shì)能面。
(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；(2)通過計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。
得出小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。[答案]　(1)5∶1　(2)見解析
[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.(2022·全國(guó)乙卷)固定于豎直平面內(nèi)的光滑大圓環(huán)上套有一個(gè)小環(huán)。小環(huán)從大圓環(huán)頂端P點(diǎn)由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環(huán)的速率正比于(　　)A．它滑過的弧長(zhǎng)B．它下降的高度C．它到P點(diǎn)的距離D．它與P點(diǎn)的連線掃過的面積
2．取水平地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)。一物塊從某一高度水平拋出，在拋出點(diǎn)其動(dòng)能與重力勢(shì)能恰好相等。如果拋出點(diǎn)足夠高，當(dāng)物塊的動(dòng)能等于重力勢(shì)能的兩倍時(shí)，速度與水平方向的夾角為(　　)
3．(2023·常熟月考)如圖所示，P是水平面上的固定圓弧軌道，從高臺(tái)邊B點(diǎn)以速度v0水平飛出質(zhì)量為m的小球，恰能從左端A點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入。O是圓弧的圓心，θ是OA與豎直方向的夾角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圓弧軌道半徑R＝0.5 m，g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力和所有摩擦，求：(1)A、B兩點(diǎn)的高度差；(2)小球能否到達(dá)最高點(diǎn)C？如能到達(dá)，小球?qū)點(diǎn)的壓力大小為多少？
[答案]　(1)0.8 m　(2)見解析
1．解決多物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒的注意點(diǎn)(1)對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。(3)列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
考點(diǎn)3　多物體機(jī)械能守恒問題
2．幾種實(shí)際情景的分析(1)速率相等情景用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。
(2)角速度相等情景桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。
(3)關(guān)聯(lián)速度情景兩物體速度的關(guān)聯(lián)實(shí)質(zhì)：沿繩(或沿桿)方向的分速度大小相等。
[典例]　(多物體機(jī)械能守恒問題)如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上?，F(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)。開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開地面。求：(1)斜面的傾角α；(2)A球獲得的最大速度vm。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]?1.如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)P套在豎直桿上，P通過不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過輕小定滑輪與質(zhì)量也為m的物塊Q相連。O點(diǎn)為桿上與定滑輪等高的點(diǎn)，桿上A點(diǎn)和B點(diǎn)分別在O點(diǎn)的上方和下方且到O點(diǎn)距離相等，OA＝OB＝h。將小環(huán)P從A點(diǎn)由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，已知繩始終繃緊，在小環(huán)P下降過程中，下列說法正確的是(　　)
A．小環(huán)從A到O的過程中，物塊Q的動(dòng)能不斷增大B．小環(huán)從A到B的過程中，物塊Q的機(jī)械能先減小再增大C．小環(huán)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，小環(huán)的動(dòng)能為mghD．小環(huán)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，小環(huán)的動(dòng)能小于mgh
B　[當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，速度方向向下，與繩垂直，沿繩方向速度為零，所以此時(shí)物塊的速度為0，所以物塊的速度為先增大再減小，A錯(cuò)誤；機(jī)械能的變化取決于除重力以外的其余外力做的功，也就是繩子拉力做的功，小環(huán)從A到B的過程中，物塊先下降再升高，繩子拉力先做負(fù)功再做正功，機(jī)械能先減小后增大，B正確；
(1)此時(shí)小球?qū)p桿的作用力F；(2)此過程中輕繩對(duì)輕桿做的功W；(3)小物塊的質(zhì)量M。
3.如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k＝200 N/m的輕質(zhì)彈簧一端連接固定擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m＝4 kg 的物體A，一輕細(xì)繩通過定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連，細(xì)繩與斜面平行，斜面足夠長(zhǎng)。用手托住物體B使繩子剛好沒有拉力，然后由靜止釋放。求：(1)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)細(xì)繩上的拉力大??；(2)物體A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)時(shí)獲得最大速度；(3)物體A的最大速度的大小。
[解析]　(1)恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)對(duì)B有mg－FT＝ma對(duì)A有FT－mgsin 30°＝ma解得FT＝30 N。
[答案]　(1)30 N　(2)0.2 m　(3)1 m/s
4.(2022·江蘇南京、鹽城市一模)如圖所示，質(zhì)量M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長(zhǎng)為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)。圖中AO水平，BO間連線長(zhǎng)度恰好與彈簧原長(zhǎng)相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°。現(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說法正確的有(　　)
1．在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律處理實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運(yùn)動(dòng)過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再視為質(zhì)點(diǎn)來處理。2．物體雖然不能視為質(zhì)點(diǎn)來處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢(shì)能的變化列式求解。
考點(diǎn)4　用機(jī)械能守恒定律解決非質(zhì)點(diǎn)問題
[典例]　如圖所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長(zhǎng)的光滑斜面，斜面體固定不動(dòng)。AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連。一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻柔軟鏈條開始時(shí)靜置在ABC面上，其一端D至B的距離為L(zhǎng)－a。現(xiàn)自由釋放鏈條，則：(1)鏈條下滑過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。簡(jiǎn)述理由；(2)鏈條的D端滑到B點(diǎn)時(shí)，鏈條的速率為多大。
[解析]　(1)鏈條在下滑過程中機(jī)械能守恒，因?yàn)樾泵鍮C和水平面AB均光滑，鏈條下滑時(shí)只有重力做功，符合機(jī)械能守恒的條件。(2)設(shè)鏈條質(zhì)量為m，可以認(rèn)為始、末狀態(tài)的重力勢(shì)能變化是由L－a段下降引起的，如圖所示。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]?1.如圖所示，粗細(xì)均勻，兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，開始時(shí)兩邊液面高度差為h，管中液柱總長(zhǎng)度為4h，后來讓液體自由流動(dòng)，當(dāng)兩液面高度相等時(shí)，右側(cè)液面下降的速度為(　　)
2.如圖所示，總長(zhǎng)為l的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個(gè)光滑的輕小滑輪，開始時(shí)底端對(duì)齊，當(dāng)略有擾動(dòng)時(shí)其一端下落，鐵鏈開始滑動(dòng)，當(dāng)鐵鏈脫離滑輪瞬間，鐵鏈速度為(　　)
3.如圖所示，傾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m、粗細(xì)均勻、質(zhì)量分布均勻的軟繩置于斜面上，其上端與斜面頂端齊平。用細(xì)線將物塊與軟繩連接，物塊由靜止釋放后向下運(yùn)動(dòng)，直到軟繩剛好全部離開斜面(此時(shí)物塊未到達(dá)地面)，在此過程中(　　)

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