1. 下列方程是關于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
【詳解】解：A、當時，不是一元二次方程，故不合題意；
B、不是整式方程，故不合題意；
C、是一元一次方程，故不合題意；
D、一元二次方程，故符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
2. 已知x＝2是一元二次方程的一個解，則m的值是（ ）
A. 6B. －6C. 0D. 0或－6
【答案】B
【解析】
【分析】由2是一元二次方程x2 +x+ m = 0的一個解，將x= 2代入方程得到關于m的方程，求出方程的解，即可得到m的值．
【詳解】解：∵2是一元二次方程x2+x+m=0的一個解，
∴將x = 2代入方程得： 4+ 2+m= 0，
解得： m= -6．
故選：B．
【點睛】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解，即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
3. 一元二次方程，配方后可變形為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】移項后，兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方可得．
【詳解】解：移項得：x2-8x=1，
配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，
故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程－配方法，熟練掌握解一元二次方程的常用方法和根據(jù)不同方程靈活選擇方法是解題的關鍵．
4. 一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可判斷．
【詳解】解：關于的一元二次方程有實數(shù)根，
，且，
，且，
解得且，
故選：．
【點睛】此題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，熟練掌握一元二次方程的定義及根的判別式是解題的關鍵．
5. 某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，設蔬菜產量的年平均增長率為x，則可列方程為（ ）
A. 80（1+x）2=100B. 100（1﹣x）2=80C. 80（1+2x）=100D. 80（1+x2）=100
【答案】A
【解析】
【分析】利用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），設平均每次增長的百分率為x，根據(jù)“從80噸增加到100噸”，即可得出方程．
【詳解】由題意知，蔬菜產量的年平均增長率為x，
根據(jù)2016年蔬菜產量為80噸，則2017年蔬菜產量為80（1+x）噸，
2018年蔬菜產量為80（1+x）（1+x）噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，
即： 80（1+x）2=100，
故選A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用（增長率問題）．解題的關鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年的產量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準等量關系式，列出方程．
6. 如果函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值是（ ）
A. ±1B. -1C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，函數(shù)中含x的項的最高次為2次，且其項系數(shù)不為零，據(jù)此即可作答．
【詳解】根據(jù)題意有：，
解得m=-1，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義：一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．
7. 將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為（ ）.
A ；B. ；
C. ；D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線圖像的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可確定平移后的拋物線解析式.
【詳解】解：將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為，
故選B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，熟練掌握其平移規(guī)律是解題的關鍵.
8. 由二次函數(shù)可知（ ）
A. 其圖象的開口向下B. 其圖象的對稱軸為
C. 其最大值為D. 當時，隨的增大而減小
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式進行逐項判斷即可．
【詳解】解：，
拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，
函數(shù)有最小值，當時，隨的增大而減小，
故選：D．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在中，對稱軸為，頂點坐標為．
9. 已知點A（1，），B（2，），C（?3，）都在二次函數(shù)的圖象上，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性判斷即可．
【詳解】二次函數(shù)，
∴拋物線開口向下，對稱軸是y軸，當x＞0時，y隨x的增大而減小，
∵點A（1，），B（2，），C（?3，）都在二次函數(shù)的圖象上，
∴點C（?3，）關于對稱軸的對稱點是C（3，），
∵1＜2＜3，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質，能熟記二次函數(shù)的性質是解此題的關鍵．
10. 如圖，的圖象上可以看出，當時，的取值范圍是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖形得出和時的函數(shù)值，再確定出拋物線的最低點的函數(shù)值，即可．
【詳解】解：由圖象可知時，，
當時，，
而拋物線的對稱軸為時，，
故選：．
【點睛】此題是二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，主要從圖象上看到關鍵的信息，解本題的關鍵是自變量的范圍內包括對稱軸，要特別注意．
11. 在同一坐標系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+b的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷 a、b 的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤．
【詳解】A、由一次函數(shù) y＝ax+b 的圖象可得：a＞0，此時二次函數(shù) y＝ax2+b 的圖象應該開口向上，故 A 錯誤；
B、由一次函數(shù) y＝ax+b 的圖象可得：a＜0，b＞0，此時二次函數(shù) y＝ax2+b 的圖象應該開口向下，頂點的縱坐標大于零，故 B 正確；
C、由一次函數(shù) y＝ax+b 的圖象可得：a＜0，b＜0，此時二次函數(shù) y＝ax2+b 的圖象應該開口向下，故 C 錯誤；
D、由一次函數(shù) y＝ax+b 的圖象可得：a＜0，b＞0，此時二次函數(shù) y＝ax2+b 的圖象應該開口向下，故 D 錯誤；
故選B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，應該熟記一次函數(shù) y＝kx+b 在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
12. 若二次函數(shù)，在時，隨的增大而減小，則的取值范圍（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用二次函數(shù)的性質求出拋物線的對稱軸為直線，則當時，的值隨值的增大而減小，由于時，的值隨值的增大而減小，于是得到．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，
，
拋物線開口向上，
當時，的值隨值的增大而減小，
而時，的值隨值的增大而減小，
，
故選：．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質，熟知二次函數(shù)的增減性是解答此題的關鍵．
二、填空題（共6小題，每題3分，共18分）
13. 把一元二次方程化為一般形式為______．
【答案】
【解析】
【分析】先展開完全平方式、再移項，變成一般形式即可．
【詳解】解：，
即
即
故答案為：
【點睛】考查了一元二次方程一般形式．一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0（a≠0）
14. 已知的兩個根為、，則的值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用根與系數(shù)的關系，可得出，，將其代入中，即可求出結論．
【詳解】解：，是方程的兩個實數(shù)根，
，，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之和等于，兩根之積等于是解題的關鍵．
15. 要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，共比賽36場，設比賽組織者應邀請個隊參賽，則滿足的關系式為_________．
【答案】
【解析】
【分析】設比賽組織者應邀請隊參賽，則每個隊參加場比賽，則共有場比賽，可以列出一個一元二次方程．
【詳解】解：設比賽組織者應邀請隊參賽，
則由題意可列方程為：．
故答案為：；
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關鍵是得到比賽總場數(shù)的等量關系，注意2隊之間的比賽只有1場，最后的總場數(shù)應除以2．
16. 已知二次函數(shù)，當x1時，y隨x的增大而______；當x=1時，y有最小值等于_______．
【答案】 ①. 減小 ②. 增大 ③. 1
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)中，開口方向向上，對稱軸為直線，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，，
∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，開口方向向上，
當x1時，y隨x的增大而增大；
當x=1時，y有最小值等于1．
故答案為：減??；增大；1．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質在自變量的所有取值中：①當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，函數(shù)有最小值；②當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，函數(shù)有最大值；如果在規(guī)定的取值中，要看圖象和增減性來判斷是解題關鍵．
17. 已知四個二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么，，，的大小關系是_____________．（請用“＞”連接排序）
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次函數(shù)的圖象開口大小與a的關系進而得出答案．
【詳解】解：如圖所示：根據(jù)圖像可知的圖像和的圖像的開口向上，且的圖像的開口小于的圖像的開口，則.
根據(jù)圖像可知的圖像和的圖像的開口向下，且的圖像的開口大于的圖像的開口，則.
所以．
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質，掌握二次項系數(shù)與圖像的關系是解題的關鍵．
18. 對于實數(shù)，定義運算“*”：，例如：．若是一元二次方程的兩個根，則_________．
【答案】或
【解析】
【分析】因式分解得：，進而求得，或，，接下來結合新定義求解即可．
【詳解】解：，即，
或，
所以，或，，
或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了新定義題型和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法和理解新定義的運算法則是解題的關鍵．
三、解答題（共7小題，共66分）
19. 用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）先移項得到，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小問1詳解】
解：；
，
，
所以，；
【小問2詳解】
，
，
，
或，
所以，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程公式法、因式分解法，掌握求根公式和因式分解的方法是解題的關鍵．
20. 為何值時，關于的二次方程．
（1）有兩個不等的實數(shù)根？
（2）有兩個相等的實數(shù)根？
（3）無實數(shù)根？
【答案】（1）且
（2）k=1 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=（-6）2-4k?9＞0，然后解不等式可得到k的取值范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=（-6）2-4k?9=0，然后解不等式和方程可得到k的取值；
（3）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=（-6）2-4k?9＜0，然后解不等式可得到k的取值范圍．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得且，
解得且；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得且，
解得；
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意得且，
解得．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac，熟練掌握方程根與根的判別式△的關系是解題的關鍵．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．
21. 某商店經銷一批季節(jié)性小家電，每臺成本元，經市場預測，定價為元時，可銷售臺，定價每增加1元，銷售量將減少臺．
（1）如果每臺家電定價增加2元，則商店每天可銷售的臺數(shù)是多少？
（2）商店銷售該家電獲利元，同時讓顧客也得到實惠，那么每臺家電定價應為多少元？
【答案】（1）160臺；（2）54元
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)題意確定增加的價格與減少的數(shù)量之間的關系求解即可；
（2）可設每臺定價增加元，然后結合題意確定對應數(shù)量，從而建立一元二次方程求解，并結合題意取適當?shù)闹导纯桑?br>【詳解】解：（1）若每臺家電定價增加2元，則每天銷量減少20臺，
即：180-20=160（臺），
∴每天銷量為160臺；
（2）設每臺定價增加為元，則每天銷量為臺，
由題意，，
整理得：，
解得：或，
∵要讓顧客得到實惠，
∴不合題意，舍去，
∴52+2=54（元），
∴每臺定價為54元．
【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，理解題意，找準等量關系，準確建立方程并求解是解題關鍵．
22. 已知拋物線的對稱軸是軸，且該函數(shù)的最大值是3，過點，求該拋物線解析式．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意設，把代入求出的值，即可確定出解析式．
【詳解】解：根據(jù)題意設，把代入得：，即，
則拋物線解析式為．
【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解決本題的關鍵．
23. 已知拋物線．
（1）寫出這個二次函數(shù)圖象開口方向、頂點坐標、對稱軸；
（2）判斷點是否在此拋物線上；
（3）求出此拋物線上縱坐標為的點的坐標．
【答案】（1）開口方向向下，頂點坐標為，對稱軸為直線
（2）不在此拋物線上 （3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)解析式是頂點式直接寫出開口方向、頂點坐標、對稱軸即可．
（2）把點代入解析式，即可判斷；
（3）把代入解析式，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∴二次函數(shù)圖象的開口方向向下，頂點坐標為，對稱軸為直線．
【小問2詳解】
解：把代入，得
∴點不在此拋物線上；
【小問3詳解】
解：把代入，得
，
解得：，，
∴拋物線上縱坐標為的點的坐標或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質，函數(shù)解析式與圖象上的點之間的關系：點在圖象上，則點的坐標滿足函數(shù)解析式；反之，不在函數(shù)圖象上則點的坐標不滿足函數(shù)解析式．
24. 如圖，學校為美化環(huán)境，在靠墻的一側設計了一塊矩形花圃ABCD，其中，墻長19m，花圃三邊外圍用籬笆圍起，共用籬笆30 m．
（1）若花圃的面積為100 ，求花圃一邊AB的長；
（2）花圃的面積能達到120 嗎? 說明理由．
【答案】（1）10米 （2）不能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）設的長為米，由花圃的面積為，列出方程可求解；
（2）設的長為米，由花圃的面積為，列出方程可求解．
【小問1詳解】
解：設的長為米，
由題意可得：，
解得：，，
，即：x≥5.5，
，
∴的長為10米；
【小問2詳解】
花圃的面積不能達到．理由如下：
設的長為米，
由題意可得：，
化簡得，
△，
方程無解，
花圃的面積不能達到．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找到正確的數(shù)量關系是解題的關鍵．
25. 如圖，已知拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．
（1）求點A、點B、點C的坐標．
（2）設拋物線的頂點為M，判斷的形狀．
（3）在拋物線是否存在一點P，使面積為8，若存在，直接寫出點P的坐標；不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）是直角三角形
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．解方程即可解決問題；
（2）根據(jù)題意可得拋物線的頂點為，連接，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)勾股定理逆定理即可解決問題；
（3）設，根據(jù)△PAB面積為8，，分2種情況列出方程求解即可解決問題．
【小問1詳解】
解：拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．
∵，
令，則，
∴，
令，
則，
解得，
∴；
【小問2詳解】
解：∵拋物線的頂點為，
如圖，連接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
過點M作軸于點D，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
【小問3詳解】
解：存在．
設，
當點P在x軸的上方時，
∵面積為8，，
∴，
整理得，
解得，
∴．
當點P在x軸的下方時，
∵面積為8，，
∴，
整理得，
解得，，
當時，．
當時，．
∴或．
綜上可知，P點坐標為或或．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質，坐標與圖形的性質，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定，三角形的面積，一元二次方程的解法，解決本題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質．

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