1.（人A必修二P4習(xí)題6.1T3變式）判斷下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因向量共線，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，則是假命題，①不正確；
因模相等的向量，方向不一定相同，即若，則是假命題，②不正確；因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，則是假命題，③不正確；由相等向量的定義可知：若，則是真命題，④正確，所以，正確命題的個(gè)數(shù)是1.故選A
2.（人A必修二P4習(xí)題6.1T4變式）如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與不相等的向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，，.故選D.
3. （人A必修二P22習(xí)題6.2T4變式）化簡(jiǎn)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】.
4. （人A必修二P16練習(xí)T3變式）已知向量，不共線，，，若，則______．
【答案】6
【解析】因?yàn)?，且，所以存在，使得，即?br>因?yàn)?，不共線，所以解得，．
二、考點(diǎn)分類練
(一)平面向量的概念
5．下列關(guān)于零向量的說(shuō)法正確的是（ ）
A．零向量沒(méi)有大小B．零向量沒(méi)有方向
C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量D．零向量與任何向量都共線
【答案】D
【解析】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長(zhǎng)度為零，方向任意，故A、B錯(cuò)誤；
兩個(gè)反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯(cuò)誤；
零向量與任意向量共線，D正確．故選D.
6．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量就是所在的直線平行于所在的直線
B．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量
C．若，則
D．共線向量是在一條直線上的向量
【答案】C
【解析】對(duì)于A：根據(jù)共線向量的定義可知向量就是所在的直線與所在的直線平行或重合，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：若，則，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量，零向量與任意向量共線，故選項(xiàng)D不正確；故選C.
7.（多選）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共線D．
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確，
對(duì)于C，因?yàn)?，所以∥，所以向量共線，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤，
故選BC
(二)向量的線性運(yùn)算
8．（2022屆廣東省揭陽(yáng)市揭東區(qū)高三上學(xué)期期中）如圖所示，矩形中，若，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】已知，，由圖可知，.
故選A.
9.數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；
，C錯(cuò)誤；
，D正確.
故選D.
(三)根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù)
10．（2022屆內(nèi)蒙古包鋼第一中學(xué)高三一模）已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，與共線，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)榕c共線，所以，，所以，因?yàn)橄蛄?，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得，
故選C．
11.（2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學(xué)期三模）在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，因?yàn)?br>所以有，
因此，
因?yàn)?，，?br>所以，故選B
(四)向量共線定理的及應(yīng)用
12．（2022屆重慶市第十一中學(xué)校高三3月月考） 下面四個(gè)命題哪些是平面向量，共線的充要條件（ ）
A．存在一個(gè)實(shí)數(shù)，B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量
C．，方向相同或相反D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，
【答案】D
【解析】當(dāng)為零向量，為非零向量時(shí)，，則AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.
當(dāng)為非零向量且同向時(shí)，，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
根據(jù)共線向量基本定理的推論可知，D選項(xiàng)正確.故選D
13.（2022屆山西省懷仁市第一中學(xué)高三上學(xué)期第月考）在中，，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)N.
（1）證明：點(diǎn)N為的中點(diǎn)；
（2）若，求.
【解析】（1）證明:設(shè)，
點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，
，
.
，M，A三點(diǎn)共線，
，解得，點(diǎn)N為的中點(diǎn).
（2）由（1）知，.
設(shè)，
，B，C三點(diǎn)共線，，解得，
，，
，，.
三、最新模擬練
14．（2022安徽省六安一中、阜陽(yáng)一中、合肥八中等校高三聯(lián)考）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（ ）.
A．B．C．D．且
【答案】A
【解析】由可得、同向，故只有時(shí)、同向，而B(niǎo)CD只能確定、共線，
故選A
15．(2022屆河南省許平汝聯(lián)盟高三下學(xué)期核心模擬)已知向量，不共線，且向量與平行，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】與平行，，向量不共線，
∴存在實(shí)數(shù)k，使得，
，解得
16．(2022屆河南省開(kāi)封市高三三模)在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則下列向量與不相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以,
所以A正確，因?yàn)椋?br>所以，所以B正確，
因?yàn)椋?br>所以，所以C正確，
因?yàn)椋?br>所以D錯(cuò)誤，故選D
17．（2022屆福建省廈門(mén)高三上學(xué)期期中）設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足273，則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【解析】不妨設(shè)，如圖所示，
根據(jù)題意則，
即點(diǎn)O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因?yàn)椋?br>那么，
，
故△ABC的面積與△BOC的面積的比值為.故選D
18.（2022屆湖南省婁底市高三上學(xué)期期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由平行四邊形加法法則可得：，A正確；
由三角形加法法則，B錯(cuò)誤；
，C正確；
，D正確.故選ACD
19.（多選）（2022屆河北省廊坊市高三模擬）已知實(shí)數(shù)、和向量、，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，所以，或，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，所以，，即，D對(duì).
故選ABD.
20.（多選）（2022屆福建省華安縣第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，由正八邊形可得，則，A正確；
對(duì)于B，連接交于，由可得，由向量的平行四邊形法則可得，
又，則，B正確；
對(duì)于C， ，，
易得，又，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由余弦定理可得，又，
則，D正確.故選ABD.
21.（2022屆林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下測(cè)試）半徑為4的圓O上有三點(diǎn)A、B、C，滿足，點(diǎn)P是圓O內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】如圖，與交于點(diǎn)，由得：，
四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，，
由圖知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，∴.故答案為
22.（2022屆遼寧省鞍山市高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，存在非零實(shí)數(shù)，使得，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以是的重心?br>因?yàn)?，所以?br>所以, 所以點(diǎn)在的角平分線上，
因?yàn)椤螦CB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，所以點(diǎn)為的內(nèi)心.
所以點(diǎn)，即，
又，所以與軸平行，又，
所以,
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
當(dāng)是橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，所以不能取到橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)；
當(dāng)是橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)，與已知存在非零實(shí)數(shù)，使得矛盾，所以不能取到橢圓的短軸的端點(diǎn).
又橢圓的焦距為2，所以橢圓的方程為.
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
四、高考真題練
23．（2022新高考全國(guó)卷 = 1 \* ROMAN I）在中,點(diǎn)D在邊AB上,．記,則
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因點(diǎn)D在邊AB上,且,所以,即,
所以=．故選B．
24．(2018高考全國(guó)卷Ⅰ)在中,為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，，故選A．
25.(2015高考全國(guó)卷1)設(shè)D為 QUOTE \* MERGEFORMAT ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題知=，故選A．
五、綜合提升練
26．（2022屆湖北省武漢市高三5月全仿真模擬）如圖，在等腰△中，已知分別是邊的點(diǎn)，且，其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在等腰△中，，則，
∵分別是邊的點(diǎn)，
∴，，而，
∴兩邊平方得：，而，
∴，又，即，
∴當(dāng)時(shí)，最小值為，即的最小值為.故選C
27．（多選）已知集合E是由平面向量組成的集合，若對(duì)任意，，均有，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】設(shè)，，，則C為線段AB上一點(diǎn)，
因此一個(gè)集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點(diǎn)的連線上的點(diǎn)仍在該區(qū)域內(nèi)，
四個(gè)選項(xiàng)所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：
A B
C D
觀察選項(xiàng)A，B，C，D所對(duì)圖形知，B不符合題意，ACD符合題意.故選ACD
28.（2022屆全國(guó)“星云”大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過(guò)點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則__________；與周長(zhǎng)之比的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】 3
【解析】連接AG并延長(zhǎng)，交BC于F，如圖所示
由題意得，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
所以，
又G為重心，所以，
所以，即，
因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線，
所以，即.
設(shè)的邊長(zhǎng)為1，設(shè)與周長(zhǎng)之比，
則，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由題意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因?yàn)?，所以?br>令，則，
令，則，
所以在上為增函數(shù)，
所以，
所以與周長(zhǎng)之比的取值范圍為
29.已知，是非零不共線的向量，設(shè)，定義點(diǎn)集，當(dāng)，時(shí)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____.
【答案】.
【解析】由，
可得，，共線，
由，
可得，
即有，
則為的平分線，
由角平分線的性質(zhì)定理可得，
即的軌跡為圓心在上的圓，
由，可得，
由，可得，
可得，
由函數(shù)在上遞增，可得，
即有，
即，由題意可得，
故的最小值為．
30．已知O是線段外一點(diǎn)，若，．
（1）設(shè)點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)，、及的重心依次為、、，試用向量、表示；
（2）如果在線段上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【解析】（1）如圖：
因?yàn)辄c(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)，所以，同理可得：，；
（2）層次1：
設(shè)是的二等分點(diǎn)，則；；
設(shè)、、是的四等分點(diǎn)，則；
設(shè)是的n等分點(diǎn)，則．
層次2：設(shè)是的n等分點(diǎn)，
；
層次3：設(shè)是的n等分點(diǎn)，
則；
證明如下：
．

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