【A組 在基礎(chǔ)中考查功底】
一、單選題
1．設(shè)是正方形ABCD的中心，則（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
2．設(shè)如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．化簡(jiǎn)以下各式:①；②；③；④，結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如圖所示，、、分別是的邊、、的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
5．在平行四邊形中，，則必有（ ）
A．B．或
C．為矩形D．為正方形
6．如圖，向量，，，則向量（ ）

A．B．C．D．
7．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，且．若，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．已知D是的邊BC上的點(diǎn)，且，則向量（ ）.
A．B．
C．D．
9．如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如果，那么（ ）

A．B．
C．D．
10．在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
11．下列關(guān)于向量的命題正確的是（ ）
A．對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量
B．對(duì)任意向量，，恒成立
C．若且，則
D．在中，C為邊AB上一點(diǎn)，且，則
12．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（ ）
A．共線的兩個(gè)單位向量相等
B．若，，則
C．若，則一定有直線
D．若向量，共線，則點(diǎn)，，，不一定在同一直線上
13．已知M為△ABC的重心，D為邊BC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
14．下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若與共線，則或
C．若為單位向量，則
D．是與非零向量共線的單位向量
15．（多選）平面上點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C滿足關(guān)系：，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．P在CA上，且
B．P在AB上，且
C．P在BC上，且
D．P點(diǎn)為的重心
三、填空題
16．給出以下5個(gè)條件：
①；②；③ 與的方向相反；④ 或；⑤與都是單位向量．其中能使成立的是________(填序號(hào))．
17．已知，為非零不共線向量，向量與共線，則______.
18．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，關(guān)于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共線的有________．（填序號(hào)）
19．在中，，且，則________．
20．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與的方向相反，則__________.
21．在中，是的重心，，則________．
22．已知與是兩個(gè)不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)_________．
23．如圖，在中，為線段上的一點(diǎn)，，且，則______.
四、解答題
24．已知點(diǎn)，，及.
(1)若點(diǎn)P在第一象限，求t的取值范圍；
(2)四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
25．已知向量，不共線，，，．
(1)若，，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)t的值．
26．如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【B組 在綜合中考查能力】
一、單選題
1．下列命題：①若，則；
②若，，則；
③的充要條件是且；
④若，，則；
⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．在等腰梯形中，，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知，為兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．B．如果與平行，那么與相等
C．D．如果與平行，那么或
4．下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．與的方向相反D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得
5．已知，若A、、三點(diǎn)共線，則為（ ）
A．B．C．D．
6．已知點(diǎn)在的內(nèi)部，分別為邊的中點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．1C．D．2
7．在中，，，且CE與AD交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn)是的邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．設(shè)D、E、F分別是的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且，，，則（ ）
A．與反向平行B．與同向平行
C．與反向平行D．與不共線
10．已知所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則直線一定經(jīng)過(guò)的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
二、多選題
11．下列關(guān)于向量的敘述正確的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則
D．若向量與滿足關(guān)系，則與共線
12．下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷正確的是（ ）
A．若，則四邊形ABCD為平行四邊形
B．若，則四邊形ABCD為梯形
C．若，且，則四邊形ABCD為菱形
D．若，且，則四邊形ABCD為正方形
13．如圖，在邊為的正方形中，則（ ）

A．B．
C．D．
14．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．O為線段GH的中點(diǎn)B．
C．D．
三、填空題
15．下列關(guān)于向量的命題，序號(hào)正確的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②對(duì)于非零向量，若，則；
③對(duì)于非零向量，若，則；
④對(duì)于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
16．已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________
17．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則________．
18．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若，則_____
19．點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），對(duì)任意點(diǎn)都有，則的最小值為_(kāi)_____.
20．設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為_(kāi)__________．
21．在 中，，，AD，BC的交點(diǎn)為M，過(guò)M作動(dòng)直線l分別交線段OA，OB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，（，），則的最小值為_(kāi)______________．
【C組 在創(chuàng)新中考查思維】
一、單選題
1．在中，角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)分別為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且有，，，，則點(diǎn)分別為的（ ）
A．垂心，重心，外心，內(nèi)心B．垂心，重心，內(nèi)心，外心
C．外心，重心，垂心，內(nèi)心D．外心，垂心，重心，內(nèi)心
2．為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足, ,則射線過(guò)的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
3．中，D為BC中點(diǎn)，，AD交BE于P點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
4．有下列說(shuō)法其中正確的說(shuō)法為
A．若，，則：
B．若，，分別表示，的面積，則；
C．兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向；
D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得
5．在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若存在使，則的取值可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
6．設(shè)經(jīng)過(guò)△的重心的直線與，分別交于，兩點(diǎn).若，，，，則的最小值________________.
【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第22練 平面向量的概念及其線性運(yùn)算（精練）
【A組 在基礎(chǔ)中考查功底】
一、單選題
1．設(shè)是正方形ABCD的中心，則（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及向量的概念，即可得出答案.
【詳解】
對(duì)于A項(xiàng)，，不共線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，顯然不平行，且三點(diǎn)不共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知，，，的長(zhǎng)度相等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，方向相同，方向相同.
又，，，的長(zhǎng)度相等，所以，，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
2．設(shè)如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由相等向量的定義即可得，所以A錯(cuò)誤；由向量的加減法則，結(jié)合三角形法則可知BC錯(cuò)誤，D正確.
【詳解】根據(jù)相等向量的概念可得，即A錯(cuò)誤；
由向量的三角形法則可得，即B錯(cuò)誤；
易知，所以可得，即C錯(cuò)誤；
由向量的減法法則可得，所以D正確；
故選：D
3．化簡(jiǎn)以下各式:①；②；③；④，結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算即可求解.
【詳解】對(duì)于①，,故①正確；
對(duì)于②，,故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，故③正確；
對(duì)于④，,故④正確.
故結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是3.
故選:C.
4．如圖所示，、、分別是的邊、、的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的減法法則結(jié)合相等向量的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?、、分別是的邊、、的中點(diǎn)，則且，
所以，，，
因此，.故選：D.
5．在平行四邊形中，，則必有（ ）
A．B．或
C．為矩形D．為正方形
【答案】C
【分析】根據(jù)零向量的概念分析判斷A、B；根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，即平行四邊形的對(duì)角線相等，則可判斷選項(xiàng)C、D.
【詳解】因?yàn)樵谥?，顯然，則，故A、B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋瑒t，
即平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，故為矩形，故C正確；
因?yàn)闆](méi)有確定是否相等，故無(wú)法確定是否為正方形，故D錯(cuò)誤.
故選：C.

6．如圖，向量，，，則向量（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.
【詳解】依題意，得，
故選：C．
7．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，且．若，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義，化簡(jiǎn)整理即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以有?br>整理可得.
故選：A.
8．已知D是的邊BC上的點(diǎn)，且，則向量（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的加減法以及數(shù)乘的運(yùn)算，可得答案.
【詳解】由題意作圖如下：

由，則，
.
故選：C.
9．如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如果，那么（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用向量的線性運(yùn)算把向量分解成形式即可得答案.
【詳解】∵，
∴，
故選：B．
10．在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】,
所以 ，
故選：A
二、多選題
11．下列關(guān)于向量的命題正確的是（ ）
A．對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量
B．對(duì)任意向量，，恒成立
C．若且，則
D．在中，C為邊AB上一點(diǎn)，且，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念與線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于A：由于是非零向量，則，可得是一個(gè)單位向量，故A正確；
對(duì)于B：根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得：
當(dāng)，共線時(shí)，（，反向）或（，同向），
故；
當(dāng)，不共線時(shí)，由三角形法則可得；
綜上所述：，故B正確；
對(duì)于C：根據(jù)向量相等的定義可得，故C正確；
對(duì)于D：由題意可得，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
12．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（ ）
A．共線的兩個(gè)單位向量相等
B．若，，則
C．若，則一定有直線
D．若向量，共線，則點(diǎn)，，，不一定在同一直線上
【答案】ABC
【分析】根據(jù)共線向量、單位向量的相關(guān)概念與性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】選項(xiàng)A：共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：，不一定有，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：直線與可能重合，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：若向量，共線，則與可能平行，此時(shí)A，B，C，D四點(diǎn)不共線，故D正確.
故選：ABC.
13．已知M為△ABC的重心，D為邊BC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算、基本定理一一判定即可.
【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得，故A正確；
由題意得M為線段AD的靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，
又，所以，故B正確；
，故C正確；
，，又，所以，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC
14．下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若與共線，則或
C．若為單位向量，則
D．是與非零向量共線的單位向量
【答案】AD
【分析】根據(jù)向量相等與共線，逐一判斷即可.
【詳解】依題意，
對(duì)于A：若，則，故A正確；
對(duì)于B：若與共線，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若為單位向量，則，方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：是與非零向量共線的單位向量，故D正確.
故選：AD.
15．（多選）平面上點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C滿足關(guān)系：，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．P在CA上，且
B．P在AB上，且
C．P在BC上，且
D．P點(diǎn)為的重心
【答案】BCD
【分析】利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論.
【詳解】由，則，即，得，
則有，所以 P在CA上，A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BCD
三、填空題
16．給出以下5個(gè)條件：
①；②；③ 與的方向相反；④ 或；⑤與都是單位向量．其中能使成立的是________(填序號(hào))．
【答案】①③④
【分析】根據(jù)向量共線的定義即可結(jié)合選項(xiàng)求解.
【詳解】相等向量一定是共線向量，①能使成立；
方向相同或相反的向量一定是共線向量，③能使 成立；
或 可知或?yàn)榱阆蛄?，零向量與任一向量平行，④能使成立
，以及與都是單位向量只能得到與的模長(zhǎng)相等，無(wú)法確定兩個(gè)向量的方向，故得不到，
故答案為：①③④
17．已知，為非零不共線向量，向量與共線，則______.
【答案】
【分析】依題意，可以作為平面內(nèi)的一組基，則，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
【詳解】因?yàn)?，為非零不共線向量,所以，可以作為平面內(nèi)的一組基底,
又向量與共線，所以，即，
所以，解得.
故答案為：
18．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，關(guān)于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共線的有________．（填序號(hào)）
【答案】①②③
【分析】根據(jù)向量共線的條件對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】①，共線；
②，共線；
③，共線；
④和無(wú)法表示成，所以不共線.
故答案為：①②③
19．在中，，且，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】，，
即，，．
故答案為：.
20．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與的方向相反，則__________.
【答案】
【分析】根據(jù)向量共線定理可得存在實(shí)數(shù)使，
從而得到關(guān)于，的方程組，進(jìn)而可求出.
【詳解】由題意可知與共線，
所以存在實(shí)數(shù)使，
因?yàn)?，不共線，所以，解得或，
因?yàn)橄蛄颗c的方向相反，即.
故答案為：.
21．在中，是的重心，，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)和向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.
【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，可得，
因?yàn)?是的重心，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可得，
由向量的運(yùn)算法則，可得.
故答案為：
22．已知與是兩個(gè)不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】或
【分析】根據(jù)向量共線運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)榕c是兩個(gè)不共線的向量，
若三點(diǎn)共線，則，即，
可得，解得或.
故答案為：或.
23．如圖，在中，為線段上的一點(diǎn)，，且，則______.
【答案】2
【分析】根據(jù)圖形，利用平面向量的運(yùn)算法則即可.
【詳解】由題意，結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，由，
得，即，所以，.
所以.
故答案為：.
四、解答題
24．已知點(diǎn)，，及.
(1)若點(diǎn)P在第一象限，求t的取值范圍；
(2)四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，利用點(diǎn)P在第一象限，列不等式求得的取值范圍；
（2）利用四邊形是平行四邊形時(shí)，只需要，列方程求出的值，即可判斷四邊形能否為平行四邊形.
【詳解】（1），
由題意得，解得：，即的取值范圍為.
（2）若四邊形是平行四邊形，只需要，即，
由（1）知，，而，
，方程組無(wú)解，故四邊形不能成為平行四邊形.
25．已知向量，不共線，，，．
(1)若，，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量的基本定理列方程組來(lái)求得的值.
（2）根據(jù)三點(diǎn)共線列方程來(lái)求得的值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
而，
所以，解得.
（2），，
由于三點(diǎn)共線，所以，解得.
26．如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用，表示，根據(jù)、、三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系，再利用基本不等式計(jì)算可得；
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>化簡(jiǎn)得；
（2）因?yàn)?，，?br>所以，由圖可知，
又因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，取最小值.
【B組 在綜合中考查能力】
一、單選題
1．下列命題：①若，則；
②若，，則；
③的充要條件是且；
④若，，則；
⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以及充分條件、必要條件的定義可判斷③⑤；取可判斷④.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯(cuò)；
對(duì)于②，若，，則，②對(duì)；
對(duì)于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯(cuò)；
對(duì)于④，取，則、不一定共線，④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，若、、、是不共線的四點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則且，此時(shí)，四邊形為平行四邊形，
當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知，
所以，若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對(duì).
故選：A.
2．在等腰梯形中，，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的共線定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合已知和等腰梯形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)樵诘妊菪沃?，，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以可得：．
故選：B.
3．已知，為兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．B．如果與平行，那么與相等
C．D．如果與平行，那么或
【答案】D
【分析】根據(jù)單位向量的定義及向量相等，再利用向量的摸公式及向量平行的定義即可求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，為兩個(gè)單位向量，當(dāng)兩個(gè)向量方向不相同時(shí)，兩個(gè)向量不相等，所以，故A不正確；
對(duì)于B，如果與平行，則兩個(gè)向量方向相同時(shí)，此時(shí)與相等，方向相反時(shí)，此時(shí)與不相等，故B 不正確；
對(duì)于C，，由于不知道向量與的夾角，所以無(wú)法求出的值；故C不正確；
對(duì)于D，如果與平行，則兩個(gè)向量方向相同或相反，那么或，故D正確.故選：D.
4．下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．與的方向相反D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得
【答案】B
【分析】由向量的定義，加減法則運(yùn)算及共線條件進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：根據(jù)向量的加法、減法運(yùn)算法則，.故B正確；
對(duì)于C：與的方向相同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：根據(jù)向量平行的判定定理，若且時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得.故D錯(cuò)誤.
故選：B.
5．已知，若A、、三點(diǎn)共線，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得t的值，再去求的值
【詳解】由，若A、、三點(diǎn)共線，可得，則
則，，
，則
故選：A
6．已知點(diǎn)在的內(nèi)部，分別為邊的中點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】利用向量的加減法的幾何表示運(yùn)算即可.
【詳解】由題意得
，
所以．
故選：B.
7．在中，，，且CE與AD交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，，利用、分別表示出，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得、，再代入計(jì)算可得.
【詳解】依題意、、三點(diǎn)共線，故，
所以
，
、、三點(diǎn)共線，故，
則
，
所以，解得，
所以，又，所以，所以.
故選：B.
8．已知點(diǎn)是的邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件可推得，進(jìn)而根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出答案.
【詳解】
由題意得：，.
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
故選：D.
9．設(shè)D、E、F分別是的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且，，，則（ ）
A．與反向平行B．與同向平行
C．與反向平行D．與不共線
【答案】A
【分析】將、、用和表示，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及平行的概念判斷可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>，
，
，
所以，
所以與反向平行，故A正確，B錯(cuò)誤；
，
所以與同向平行，故CD錯(cuò)誤.
故選：A
10．已知所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則直線一定經(jīng)過(guò)的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】C
【分析】由題意可得，平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，從而即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)?br>，
根據(jù)平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，
而向量與共線，
點(diǎn)的軌跡過(guò)的內(nèi)心.
故選：．
二、多選題
11．下列關(guān)于向量的敘述正確的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則
D．若向量與滿足關(guān)系，則與共線
【答案】ABD
【分析】由相反向量、單位向量、共線向量的定義以及性質(zhì)判斷即可.
【詳解】解：A向量的相反向量是，正確：
B.模為1的向量是單位向量，其方向是任意的，正確：
C.若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則，不正確，因?yàn)榕c可能方向相反；
D.若向量與滿足關(guān)系，∴，則與共線，正確.
故選：ABD
12．下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷正確的是（ ）
A．若，則四邊形ABCD為平行四邊形
B．若，則四邊形ABCD為梯形
C．若，且，則四邊形ABCD為菱形
D．若，且，則四邊形ABCD為正方形
【答案】ABC
【分析】由向量平行與相等的關(guān)系確定四邊形的邊的關(guān)系得結(jié)論．
【詳解】，則且，四邊形ABCD是平行四邊形，A正確；
，則且，四邊形ABCD是梯形，B正確；
若，四邊形ABCD是平行四邊形，又，即，則四邊形ABCD為菱形，C正確；
若，四邊形ABCD是平行四邊形，，即，則四邊形ABCD為菱形，D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
13．如圖，在邊為的正方形中，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng)；利用平面向量的加法、減法法則以及向量的模長(zhǎng)可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，
對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
所以，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
所以，，D錯(cuò).
故選：BC.
14．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．O為線段GH的中點(diǎn)B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，由條件結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及線性運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得到結(jié)果.
【詳解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，有，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由G是三角形ABC的重心可得，
所以，
故B項(xiàng)正確；
過(guò)三角形ABC的外心O分別作AB，AC的垂線，垂足為D，E，
如圖，易知D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
則
，
故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)镚是三角形ABC的重心，所以有，
故，
即，
又，有，故D項(xiàng)正確.
故選：BD.
三、填空題
15．下列關(guān)于向量的命題，序號(hào)正確的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②對(duì)于非零向量，若，則；
③對(duì)于非零向量，若，則；
④對(duì)于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
【答案】①③
【分析】根據(jù)平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據(jù)相等向量和相反向量的定義可判斷③.
【詳解】因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，所以①正確；
對(duì)于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；
對(duì)于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.
故選：①③
16．已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________
【答案】或
【分析】利用向量共線的充要條件以及一元二次方程求解.
【詳解】已知向量、不共線，，所以，
若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使，即，
所以，即，解得或.
故答案為：或.
17．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則________．
【答案】
【分析】利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義求出的坐標(biāo)，把A，B，C三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)向量相等可得答案.
【詳解】由題意可得 ，
∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴，
∴，
故有，解得，或，
故答案為：．
18．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若，則_____
【答案】
【分析】由可得，即可得答案.
【詳解】.
則三點(diǎn)共線，且在BA的反向延長(zhǎng)線上，如下圖所示，則.
故答案為：
19．點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），對(duì)任意點(diǎn)都有，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】9
【分析】由點(diǎn)是線段上一點(diǎn)及向量共線的推論得，由基本不等式“1”的妙用求最值即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），
所以，,
所以，
又，
所以，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：9
20．設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而分析運(yùn)算即可.
【詳解】在取點(diǎn)，使得，則，
可知：點(diǎn)為的中點(diǎn)，
可得，即，
所以與的面積之比為.
故答案為：.
21．在 中，，，AD，BC的交點(diǎn)為M，過(guò)M作動(dòng)直線l分別交線段OA，OB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，（，），則的最小值為_(kāi)______________．
【答案】
【分析】以 為基底，求出 的表達(dá)式，再利用基本不等式求解.
【詳解】如圖：
由A，M，D三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)t，使得，
由B，M，C三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)m，使得，
所以，解得，所以，
因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)x，使得，
所以，解得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)；
故答案為：
【C組 在創(chuàng)新中考查思維】
一、單選題
1．在中，角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)分別為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且有，，，，則點(diǎn)分別為的（ ）
A．垂心，重心，外心，內(nèi)心B．垂心，重心，內(nèi)心，外心
C．外心，重心，垂心，內(nèi)心D．外心，垂心，重心，內(nèi)心
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形垂心，重心，外心，內(nèi)心的定義和性質(zhì)結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算和共線定理，分別推導(dǎo)即可.
【詳解】由，得，
即，
則，
所以，則，同理可得，，
即是三邊上高的交點(diǎn)，則為的垂心；
由，得，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，，三點(diǎn)共線，
所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，
即是三邊中線的交點(diǎn)，故為的重心；
由，得，即，
又是的中點(diǎn)，所以在的垂直平分線上，
同理可得，在，的垂直平分線上，
即是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故是的外心；
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，則設(shè)（），
且，，
代入，得，
即①，
又因?yàn)榕c共線，與、不共線，
則只能當(dāng)且時(shí)，①成立，
即，則,
由正弦定理得：，
又，則，
即，又，所以，
則是的角平分線，即點(diǎn)在的角平分線上，
同理可得，在，的垂直平分線上，
即是內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故是的內(nèi)心；
故選：A.
2．為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足, ,則射線過(guò)的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】將變形為，因?yàn)楹偷哪ｉL(zhǎng)都是1，根據(jù)平行四邊形法則可得，過(guò)三角形的內(nèi)心.
【詳解】

因?yàn)楹头謩e是和的單位向量
所以是以和為鄰邊的平行四邊形的角平分線對(duì)應(yīng)的向量
所以的方向與的角平分線重合
即射線過(guò)的內(nèi)心
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的平行四邊形法則、單位向量的性質(zhì)以及三角形四心的性質(zhì)，屬于中檔題.
3．中，D為BC中點(diǎn)，，AD交BE于P點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)D為BC中點(diǎn)，得到，因?yàn)槿c(diǎn)共線，推導(dǎo)出，則，結(jié)合，得到，從而得到，又，求出.
【詳解】因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，
即，整理得：，
令，則，則，
其中，
因?yàn)椋裕?br>故，
因?yàn)椋?br>所以，又，
解得：
故選：C.
二、多選題
4．有下列說(shuō)法其中正確的說(shuō)法為
A．若，，則：
B．若，，分別表示，的面積，則；
C．兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向；
D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得
【答案】BC
【解析】A選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如，推不出，B選項(xiàng)利用向量可確定O點(diǎn)位置，可知O到AC的距離等于B到AC距離的,故正確，C選項(xiàng)兩邊平方根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)可知夾角為，結(jié)論正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如.
【詳解】A選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如，推不出，B選項(xiàng),設(shè)AC的中點(diǎn)為M, BC的中點(diǎn)為D, 因?yàn)?，所?即,所以O(shè)是MD的三等分點(diǎn)，可知O到AC的距離等于D到AC距離的,而B(niǎo)到AC的距離等于D到AC距離的2倍，故可知O到AC的距離等于B到AC距離的，根據(jù)三角形面積公式可知正確，C選項(xiàng)兩邊平方可得 ，所以，即夾角為，結(jié)論正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如. 故選B C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量共線，向量的夾角，向量的數(shù)量積，向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.
5．在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若存在使，則的取值可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】令且，根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的位置、數(shù)量關(guān)系用表示，進(jìn)而得到m與關(guān)系，最后求范圍和數(shù)量關(guān)系，即可得答案.
【詳解】令且，而，
又，則，
所以，則，且，
故A、C滿足，B、D不滿足.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用平面向量基本定理得到與的線性關(guān)系為關(guān)鍵.
三、填空題
6．設(shè)經(jīng)過(guò)△的重心的直線與，分別交于，兩點(diǎn).若，，，，則的最小值________________.
【答案】；
【解析】應(yīng)用向量減法在幾何中的應(yīng)用有，，結(jié)合三點(diǎn)共線知，即可得，結(jié)合基本不等式求的最小值即可
【詳解】設(shè)，，又為△的重心
∴在△中，
∵，，有，
∴，
又P，Q，G三點(diǎn)共線，知存在實(shí)數(shù)，使得
，可得，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了向量線性運(yùn)算及共線定理的應(yīng)用，利用基本不等式求最值；首先根據(jù)向量減法的三角形法則將相關(guān)線段以向量的形式表示它們之間的關(guān)系，再由三點(diǎn)共線定理得到方程組并得到相關(guān)參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，最后結(jié)合基本不等式求最值

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