【題型3 利用直徑構造直角三角形轉(zhuǎn)化角】
【題型4 利用特殊數(shù)量關系構造特殊角轉(zhuǎn)化角】
【題型1利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角】
1．（2022秋?白堿灘區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB與CD交于點M，∠C＝45°，∠AMD＝75°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．15°B．25°C．30°D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠B＝45°，
∵∠AMD＝75°，
∴∠D＝75°﹣45°＝30°，
故選：C．
2．（2022秋?安康期末）如圖，AB為⊙O直徑，點D是AB上方圓上一點，若∠AOC＝110°，則∠D度數(shù)是（ ）
A．70°B．35°C．40°D．45°
【答案】B
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠D＝∠BOC＝35°，
故選：B．
3．（2022秋?乳山市期末）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，則∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝54°，
故選：B．
4．（2022秋?許昌期末）如圖，OA，OB是⊙O的半徑，若∠AOB＝50°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
【答案】A
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB都對，
∴∠ACB＝∠AOB＝×50°＝25°．
故選：A．
5．（2023秋?黔西南州期末）如圖，A，B，C是⊙O上的三個點．若∠B＝30°，則∠AOC的度數(shù)為（ ）
A．60°B．50°C．30°D．15°
【答案】A
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
故選：A．
6．（2022秋?衢州期中）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，則∠OBA的度數(shù)是（ ）
A．75°B．70°C．65°D．55°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB都對，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝×（180°﹣70°）＝55°．
故選：D．
7．（2022秋?邯山區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，∠AOC＝130°，則∠D等于（ ）
A．65°B．35°C．25°D．15°
【答案】C
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝50°，
∴∠D＝∠BOC＝25°，
故選：C．
8．（2022?碧江區(qū) 二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠AOB＝50°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．25°B．40°C．50°D．80°
【答案】A
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝50°，
∴∠ACB∠AOB＝×50°＝25°．
故選：A．
9．（2022?南崗區(qū)校級二模）如圖，CD為⊙O的直徑，過點D的弦DE平行于半徑OA，若∠D的度數(shù)是50°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵OA∥DE，
∴∠D＝∠AOD＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°．
故選：D．
10．（2022秋?阜寧縣期中）如圖，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，則∠OBC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．40°C．45°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故選：B．
11．（2022?駐馬店二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ABO＝30°，則∠ACB的大小為（ ）
A．60°B．30°C．45°D．50°
【答案】A
【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝30°；
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°；
∴∠ACB＝∠AOB＝60°；故選A．
12．（2022秋?柯城區(qū)期末）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝36°，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．72°B．54°C．36°D．18°
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×36°＝72°．
故選：A．
13．（2022秋?連云港期中）如圖，在⊙O中，＝，若∠B＝70°，則∠A等于（ ）
A．70°B．40°C．20°D．140°
【答案】B
【解答】解：在⊙O中，
∵＝，
∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故選：B．
14．（2022秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，∠ABC＝50°，則∠ACO等于（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝×（180°﹣100°）＝40°，
故選：D．
15．（2022秋?邳州市期中）如圖，在⊙O中，∠A＝30°，則的度數(shù)為（ ）
A．30°B．15°C．60°D．40°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴的度數(shù)為60°，
故選：C．
【題型2 構造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化】
16．（2022?武威模擬）如圖，點B，D，C是⊙O上的點，∠BDC＝120°，則∠BOC是（ ）
A．120°B．130°C．150°D．160°
【答案】A
【解答】解：在優(yōu)弧BC上取點E，連接BE，CE，如圖所示：
∵∠BDC＝120°，
∴∠E＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝2∠E＝120°．
故選：A．
17．（2023?中山市模擬）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，∠DAC＝20°，弦CD＝CB，則∠ADC＝（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵CD＝CB，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝20°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，
故選：B．
18．（2022秋?盤山縣期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝60°，點E在BC的延長線上，則∠DCE的度數(shù)是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．無法確定
【答案】A
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°，
故選：A．
19．（2022秋?浦北縣期末）如圖，點A，B，C在⊙O上，點D是AB延長線上一點，若∠AOC＝110°，則∠CBD的度數(shù)為（ ）
A．50°B．52.5°C．55°D．62.5°
【答案】C
【解答】解：設點E是優(yōu)弧AC（不與A，C重合）上的一點，連接AE、CE，
∵∠AOC＝110°，
∴∠E＝＝55°，
∴∠CBD＝∠E＝55°．
故選：C．
20．（2022秋?召陵區(qū)期末）如圖，點C是⊙O的劣弧AB上一點，∠AOB＝96°，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．192°B．120°C．132°D．150
【答案】C
【解答】解：如圖做圓周角∠ADB，使D在優(yōu)弧上，
∵∠AOB＝96°，
∴∠D＝∠AOB＝48°，
∵A、D、B、C四點共圓，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝132°，
故選：C．
21．（2022秋?儀征市期中）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ABC＝110°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【解答】解：如圖：
∵∠ABC＝110°，
∴∠1＝2∠ABC＝220°，
∴∠AOC＝360°﹣∠1＝140°，
故選：D．
22．（2022秋?科爾沁區(qū)期末）如圖，A、B、C是⊙O上的點，∠AOB＝130°，則∠ACB的大小為（ ）度．
A．100°B．110°C．115°D．125°
【答案】C
【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AB上取一點D，連接AD，DB．
∵∠ADB＝∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠ADB＝65°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝115°，
故選：C．
23．（2022秋?薩爾圖區(qū)校級期末）如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC＝20°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【解答】解：連接BC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
故選：C．
24．（2023?長嶺縣模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．100°B．128°C．104°D．124°
【答案】C
【解答】解：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
由圓周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故選：C．
25．（2023?岳麓區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知點C為的中點，若∠A＝50°，則∠CBD的度數(shù)為（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵點C為的中點，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣130°）＝25°，
故選：D．
26．（2023?白山四模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC＝130°，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．65°
【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝130°，
∴∠B＝50°，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
故選：B．
27．（2023?子洲縣校級三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ABC＝118°，則∠AOC的度數(shù)為（ ）
A．162°B．152°C．124°D．118°
【答案】C
【解答】解：∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣118°＝62°，
∴∠AOC＝2∠D＝124°，
故選：C．
28．（2023?伊通縣四模）如圖，點A，B，C，D是⊙O上的點，AD是⊙O的直徑，若∠BCD＝110°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．50°D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝20°，
∴∠ADB＝∠ACB＝20°．
故選：B．
29．（2023?端州區(qū)校級二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，BC＝CD，連接AC．若∠DAB＝40°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】A
【解答】解：如圖，連接AC．
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×40°＝20°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°．
故選：A．
30．（2023?長春一模）如圖，四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O，∠AOB＝122°，則∠ACB等于（ ）
A．131°B．119°C．122°D．58°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝122°，
∴∠D＝∠AOB＝61°，
∵四邊形ADBC為⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．
故選：B．
【題型3 利用直徑構造直角三角形轉(zhuǎn)化角】
31．（2021秋?永順縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝∠C＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝50°．
故選：B．
32．（2022秋?道里區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，連接AD、AC、BC，若∠CAB＝65°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．65°B．40°C．25°D．35°
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∴∠D＝∠B＝25°．
故選：C．
33．（2022秋?西湖區(qū)期中）如圖，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直徑．若∠D＝36°，則∠BCA的度數(shù)是（ ）
A．72°B．54°C．45°D．36°
【答案】B
【解答】解：∠B＝∠D＝36°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝90°﹣∠B＝54°，
故選：B．
34．（2023?海州區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙O上的點，且點D在上．若∠D＝130°．則∠CAB的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝130°，
∴∠B＝50°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°．
故選：B．
35．（2023?四平模擬）如圖，已知AB為⊙O的直徑，∠ABD＝25°，則∠BCD等于（ ）
A．80°B．70°C．65°D．50°
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝25°，
∴∠ACD＝25°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣25°＝65°，
故選：C．
36．（2023?淮陰區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．36°B．46°C．54°D．42°
【答案】A
【解答】解：∵∠ADC＝54°，
∴∠ABC＝∠ADC＝54°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣54°＝36°，
故選：A．
37．（2023?蘭山區(qū)校級模擬）如圖，已知BC是⊙O的直徑，點A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，則∠ADC的大小為（ ）
A．68°B．62°C．58°D．52°
【答案】C
【解答】解：∵BC是直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝58°，
∴∠D＝∠B＝58°，
故選：C．
38．（2023?寧鄉(xiāng)市模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，D是弧AC的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，⊙O半徑為3，則AC的長為（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】B
【解答】解：連接OD交AC于F，如圖，
∵D是弧AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直徑，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD＝1，
在Rt△OAF中，AF＝＝2，
∴AC＝2AF＝4．
故選：B．
39．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，連接AD，AC，AB，若∠COD＝130°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．10°B．25°C．35°D．50°
【答案】B
【解答】解：∵∠COD＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°，
∵＝，
∴∠BAC＝∠BOC＝×50°＝25°，
故選：B．
40．（2023?新泰市三模）如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠D＝34°，則∠OAC等于（ ）
A．68°B．58°C．72°D．56°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝34°，
∴∠AOC＝68°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣68°）＝56°，
故選：D．
41．（2023?高新區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，BF∥OC，若AB＝10，BC＝2，則CF＝（ ）
A．4B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：連OF、AC．
∵BF∥OC，
∴∠A＝∠BFC＝∠FCO．
∵OF＝OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A＝∠FCO＝∠OFC，
∴△OAC≌△OFC（AAS），
∴CF＝AC＝＝4，
故選：C．
42．（2023?泰安）如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【解答】解：如圖，連接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴優(yōu)弧所對的圓心角為2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故選：A．
43．（2023?新泰市二模）如圖，AB是⊙O直徑，C，D是圓上的點，若∠D＝20°，則∠BAC的值是（ ）
A．20°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠D＝20°，
∴∠B＝20°，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
故選：C．
【題型4 利用特殊數(shù)量關系構造特殊角轉(zhuǎn)化角】
44.（石家莊模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑r＝5，AC＝5，則∠B的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【解答】解：∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°．
Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝5．
根據(jù)勾股定理，得：CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝30°，
∴∠B＝∠D＝90°﹣30°＝60°；
故選：D．
45.（2022秋?無為市期中）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點P是優(yōu)弧AMB上一點，則∠APB的度數(shù)為（ ）
A．45°B．30°C．75°D．60°
【答案】D
【解答】解：連接OA，OB，過O作OD⊥AB于D，延長OD交⊙O于C，則∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，
∴OD＝CD＝OC＝OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，
∴∠APB＝AOB＝60°，
故選：D．

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