精品解析：重慶市黔江中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期9月月考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上.
2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.
4．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直線的斜率，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，而，所以.
故選：A.
2. 下列說法正確的個(gè)數(shù)（）
（1）三點(diǎn)確定一個(gè)平面；（2）一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；（3）兩條直線確定一個(gè)平面；（4）三角形和梯形一定為平面圖形.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)直線與平面的位置關(guān)系,即可判斷四個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對于(1),當(dāng)三個(gè)點(diǎn)在同一直線上時(shí),三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面,所以(1)錯(cuò)誤;
對于(2),當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),不能確定一個(gè)平面,所以(2)不正確;
對于(3),當(dāng)兩條直線異面時(shí),不能確定一個(gè)平面,所以(3)不正確;
對于(4),三角形和梯形一定是平面圖形,所以(4)正確.
綜上可知,正確的為(4)
故選:B
【點(diǎn)睛】本題考查了空間中點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
3. 若直線與直線互相平行，那么的值等于（）
A. 1或0B. C. 0D. 0或
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，由直線平行的判定方法可得，解可得的值，即可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，如果直線與直線互相平行，
則有，
解得或；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般式方程的應(yīng)用，涉及直線平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．
4. 如圖，在長方體中，，，異面直線與所成的角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)得到為異面直線與所成的角，再求大小即可.
【詳解】因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，
于是，又異面直線的夾角為，
所以，即異面直線與所成的角為.
故選：A.
5. 已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于( )
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于的方程，求出方程的解,得到的值.
【詳解】因?yàn)楹偷街本€的距離相等，
由點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離公式，
可得，
化簡得|，
,
解得實(shí)數(shù)或，故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于簡單題.
6. 如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長均為1，粗線畫的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體中最長的棱長為（）
A. B. 4
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用題給條件畫出該幾何體的直觀圖，再分別求得其各個(gè)棱長，進(jìn)而得到該幾何體中最長的棱長.
【詳解】由題意可得該幾何體的直觀圖為四棱錐，如下圖：
其中底面，,
，連接，
由底面，可得均為直角三角形，
則
,
又由可得為直角三角形，
則，
則
則該幾何體中最長的棱長為.
故選：C
7. 某水平放置的平面圖形的斜二側(cè)直觀圖是等腰梯形（如圖所示），將該平面圖形繞其直角腰AB邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓臺，已知，則該圓臺的表面積為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先還原出平面圖形，得圓臺的上下底面半徑與母線長，結(jié)合圓臺的表面積公式即可求解.
【詳解】
作出其平面圖形，則在平面圖形中，
則圓臺的上底面半徑，下底面半徑，母線，
則由圓臺的表面積公式得：
.
故選：D
8. 如圖，將邊長為2的正方體沿對角線折起，得到三棱錐，則下列命題中，錯(cuò)誤的為
A. 直線平面
B.
C. 三棱錐的外接球的半徑為
D. 若為的中點(diǎn)，則平面
【答案】B
【解析】
【分析】通過線線垂直證得線面垂直，進(jìn)而得到A正確；對于B選項(xiàng)先假設(shè)成立，再推出矛盾進(jìn)而得到結(jié)果不正確；C根據(jù)四棱錐的形狀得到球心位置，進(jìn)而得到半徑；由線面平行的判定定理得到線面平行.
【詳解】因?yàn)锳BCD是正方形，故得到,折疊之后得到，,
故得到BD面,進(jìn)而得到A選項(xiàng)正確；
假設(shè)，又因?yàn)镈，進(jìn)而得到面,則,三角形,BC=2=不可能滿足直角關(guān)系，故B錯(cuò)誤.
三棱錐，的外接球的球心在O點(diǎn)處，因?yàn)镺C=OD=OB=O，此時(shí)球的半徑為OC=；故C正確；
若為的中點(diǎn)，則,OE在平面內(nèi)，故得到平面，D正確；
故答案為B.
【點(diǎn)睛】直線與平面垂直概念是利用直線與直線垂直的概念定義的，要注意定義中的“任何一條直線”這個(gè)詞，它與“所有直線”是同義詞，但與“無數(shù)條直線”不同，2.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面.符號語言如下：.
9. 已知圓O：和圓C：，圓心為點(diǎn)C，現(xiàn)給出如下結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（）
①圓O與圓C有四條公切線
②過點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或
③過點(diǎn)C且與圓O相切的直線方程為
④P?Q分別為圓O和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為，最小值為
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系可判定①④，利用截距式可判定②，利用直線與圓的位置關(guān)系判定③.
【詳解】根據(jù)題意可知，兩圓半徑分別為，，
故兩圓相離，所以有四條公切線，①正確；
，④正確；
顯然過且在兩坐標(biāo)軸的截距相等的直線有（此時(shí)截距為零），
當(dāng)截距不為零時(shí)，可設(shè)，代入點(diǎn)得，故②錯(cuò)誤；
易知是過與圓O相切的直線，此時(shí)斜率不存在，
若切線斜率存在，可設(shè)，
則O點(diǎn)到的距離為，
所以該切線方程為，
綜上過點(diǎn)C且與圓O相切的直線方程，，故③錯(cuò)誤；
故選：C
10. 正四面體是棱長都相等的正三棱錐，若正四面體的棱長為2，則該正四面體的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方體得到正四面體，然后利用兩者的體積關(guān)系求正四面體體積.
【詳解】如圖
正方體中，四面體為正四面體，若其棱長為2，則正方體的棱長為.
所以，
又，
所以.
故選：D
11. 從直線：上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，則四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得當(dāng)點(diǎn)P與圓心的距離最小時(shí)，切線長PC、PD最小，此時(shí)四邊形的面積最小，由距離公式和面積公式求解可得．
【詳解】∵圓的圓心為，半徑，
當(dāng)點(diǎn)P與圓心的距離最小時(shí)，切線長PC、PD最小，此時(shí)四邊形的面積最小，
∴圓心到直線的距離，
∴ ，
∴四邊形的面積.
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程，明確四邊形的面積何時(shí)最小是解決問題的關(guān)鍵，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.
12. 已知三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，球O的半徑為4，△ABC是邊長為6的等邊三角形，記△ABC的外心為O1.若三棱錐P﹣ABC的體積為則PO1＝（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取得等邊三角形的面積，利用正弦定理求得三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱錐的體積求得三棱錐的高，利用勾股定理求得.
【詳解】由題意可得：S△ABC9，O1A＝2，O1O＝2.
設(shè)點(diǎn)P到平面BAC的高為h，由h×9，解得h＝4.
∴點(diǎn)P所在小圓⊙O2（⊙O1與⊙O2所在平面平行）上運(yùn)動(dòng)，OO2＝2.
∴O2P＝2.
∴PO12.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查球的內(nèi)接三棱錐的有關(guān)計(jì)算，考查空間想象能力，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把最簡答案寫在答題卡相應(yīng)位置上.
13. 已知圓C:關(guān)于直線對稱，求圓心C坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】求出的范圍，由直線過圓心可得答案.
【詳解】由已知得，解得或，
圓C:，圓心為，
若圓C關(guān)于直線對稱，則，
解得，符合題意.
故答案為：.
14. 直線：與圓：的位置關(guān)系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】由直線方程可得直線過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解.
【詳解】直線，變形為：，
所以直線過定點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為，
由圓：知圓心，半徑，
所以，
所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以直線與圓相交.
故答案為：相交.
15. 如下圖，將圓柱的側(cè)面沿母線展開，得到一個(gè)長為，寬為4的矩形，由點(diǎn)A拉一根細(xì)繩繞圓柱側(cè)面兩周到達(dá)，線長的最小值為________（線粗忽略不計(jì)）
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)AA1中點(diǎn)為B，側(cè)面展開圖矩形為ACC1A1，CC1中點(diǎn)為B1．得繩長的最小值即為側(cè)面展開圖中的AB1+BC1，再利用勾股定理求解即可
【詳解】設(shè)AA1中點(diǎn)為B，側(cè)面展開圖矩形為ACC1A1，CC1中點(diǎn)為B1．則繩長的最小值即為側(cè)面展開圖中的AB1+BC1．
AB1＝BC1．
∴繩長的最小值為2．
故答案為2
【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，空間想象能力，幾何體的展開與折疊，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化（空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化曲為直）的思想方法．
16. 兩圓相交于和兩點(diǎn)，兩圓圓心都在直線上，則的值為______．
【答案】3
【解析】
【分析】首先由兩圓相交的公共弦垂直過兩圓圓心的直線，可求出；再由兩圓的交點(diǎn)的中點(diǎn)在過兩圓心的直線上，可求出，進(jìn)而求解.
【詳解】由平面幾何性質(zhì)知，兩相交圓圓心的連線與兩圓的公共弦垂直，
且經(jīng)過弦的中點(diǎn)，則，解得，
∵和的中點(diǎn)為在直線，
∴，解得，
∴．
故答案為：3.
二、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知點(diǎn)A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在直線l：x-2y+2=0上.
（1）求AB邊上的高CE所在直線的方程；
（2）求△ABC的面積.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由題意可知，為的中點(diǎn)，，利用斜率計(jì)算公式、點(diǎn)斜式即可得出．
（2）由得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式即可得出．
【小問1詳解】
解：由題意可知，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，所以?br>所在直線方程為，即．
【小問2詳解】
解：由解得，所以，所以平行于軸，平行于軸，即，
，
．
18. 如圖所示，在正三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到的最短路線為.設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為，求：
（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線的長；
（2）和的長.
【答案】（1）；（2）的長為2，的長為.
【解析】
【分析】（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求出對角線長；
（2）在側(cè)面展開圖中三角形是直角三角形，可以求出線段的長度，進(jìn)而可以求的長度，再由相似比可以求出的長度.
【詳解】（1）由題意，該三棱柱的側(cè)面展開圖是寬為4，長為的矩形，
所以對角線的長為；
（2）將該三棱柱的側(cè)面沿棱展開，如圖所示.
設(shè)的長為，則.
因?yàn)?，，?br>所以(負(fù)值舍去)，即的長為2.
又因?yàn)椋?br>所以，即，
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查求側(cè)面展開圖的對角線長，以及三棱柱中的線段長，熟記三棱柱的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型.
19. 如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連結(jié)，交于，連結(jié)，推導(dǎo)出，由此能證明平面；
（2）設(shè)，以為原點(diǎn)，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．
【小問1詳解】
證明：連結(jié)，交于，連結(jié)，
正三棱柱中，為的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，，
平面，平面，
平面．
【小問2詳解】
設(shè)，以為原點(diǎn)，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,2,，,1,，,2,，
,,，,,，,0,，
設(shè)平面的法向量,,，
則，取，得,,，
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
直線與平面所成角的正弦值為．
20. 如圖，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，且，．
（1）求證：；
（2）求直線BD與AC所成角大?。?br>【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用圓的直徑所對圓周角的性質(zhì)、圓柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理以及線面垂直的性質(zhì)定理即可得出；
（2）利用已知計(jì)算出，的值，再利用（1）的結(jié)論及已知求出的值，用向量的數(shù)量積公式計(jì)算直線BD與AC所成角的余弦，即可得到直線BD與AC所成角的大?。?br>【小問1詳解】
證明：是底面圓的直徑，，；
由圓柱可得：母線底面，底面，；
又，平面，平面，
又平面，．
【小問2詳解】
，，
，
由（1）知母線底面，，，
又，，
，由題知，，
設(shè)直線BD與AC所成角為，則
，
而，所以，故直線BD與AC所成角的大小為.
21. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓方程為：，直線過點(diǎn).
（1）若直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；
（2）若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問：直線與的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）或；（2）直線與的斜率之和為定值.
【解析】
【分析】（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，只有一個(gè)公共點(diǎn)，即直線與圓相切，可得圓心到直線的距離，代入數(shù)據(jù)，即可得答案；
（2）設(shè)出直線的方程及點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，則可得的表達(dá)式，聯(lián)立直線和圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，的值，代入表達(dá)式，即可得證.
【詳解】（1）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為符合題意；
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，由得圓心，半徑.
∵直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴，解得.
∴的方程為，
綜上所述，直線的方程為或.
（2）直線與的斜率之和為定值，
證明：由（1）知直線斜率存在，設(shè)的方程為，
設(shè)，，
則.
聯(lián)立直線與圓的方程：，
消去得，
得，
根據(jù)韋達(dá)定理得，
∴.
∴直線與的斜率之和為定值.
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為需討論斜率是否存在，再進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.
22. 已知圓與圓關(guān)于直線對稱，且點(diǎn)在圓上.
（1）判斷圓與圓的位置關(guān)系；
（2）設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，，三點(diǎn)不共線，為的平分線，且交于.求證:與的面積之比為定值.
【答案】（1）圓與圓相離；（2）為定值.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的對稱關(guān)系及點(diǎn)D坐標(biāo)，求出圓心和半徑即可作答.
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出，再結(jié)合角平分線及三角形面積定理計(jì)算作答.
【詳解】（1）依題意，圓N的圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則圓的半徑，
所以圓的方程為，又，所以圓與圓相離.
（2）設(shè)，有，
則，
，
即有，即是，而，
所以為定值.

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