一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，集合滿(mǎn)足，則滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化條件為集合是集合的子集，求得集合的子集個(gè)數(shù)即可得解.
【詳解】因?yàn)榧?，集合滿(mǎn)足，
所以集合是集合的子集，
所以滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為.
故選：D.
2. 設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可由共軛復(fù)數(shù)的定義求解坐標(biāo).
【詳解】由可得，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，
故選：D
3. 下列有關(guān)命題說(shuō)法正確的是（ ）
A. 命題“若，則”的否命題為：“若，則”
B. “”是“”的必要不充分條件
C. 若為假命題，則均為假命題
D. 命題“若，則”的逆否命題為假命題
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)否命題即可判斷A，根據(jù)原命題與逆否命題的真假性即可判斷D，根據(jù)必要不充分條件的定義即可判斷B，根據(jù)或命題的真假性即可求解C.
【詳解】對(duì)于A(yíng), 命題“若，則”的否命題為：“若，則”故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，時(shí)，則，但是時(shí)，則或，故“”是“”的充分不必要條件，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C, 若為假命題，則均為假命題，C正確，
對(duì)于D，若，則為真命題，所以其逆否命題為真命題，D錯(cuò)誤，
故選：C
4. 某高中籃球社團(tuán)計(jì)劃招入女生人，男生人，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則該社團(tuán)今年計(jì)劃招入學(xué)生人數(shù)最多為（ ）
A. 12B. 13C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)在y軸上截距最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
【詳解】由實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，畫(huà)出可行域如圖所示離散的點(diǎn)：
將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)在y軸上截距最大時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為13.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.
5. 《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則立夏日影長(zhǎng)為（ ）
A. 1.5尺B. 4.5尺C. 3.5尺D. 2.5尺
【答案】B
【解析】
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可直接求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列為，公差為，
，解得，
∴立夏日影長(zhǎng)為．
故選：B．
6. 已知四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
用表示出，然后再求數(shù)量積．
【詳解】依題意，可知四邊形為直角梯形，，，
，
，
所以.
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是用基底表示出．
7. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圖象可知函數(shù)為奇函數(shù)，且在上不單調(diào)，然后利用排除法分析判斷即可
【詳解】由圖象知函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)是奇函數(shù)，
對(duì)于A(yíng)，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)是偶函數(shù)，不滿(mǎn)足條件，排除A，
對(duì)于D，定義域?yàn)?，因?yàn)?，且?br>所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，不滿(mǎn)足條件，排除D，
對(duì)于C，因?yàn)楹驮谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，不滿(mǎn)足條件，排除C，
對(duì)于B，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
又因?yàn)?，且時(shí)，，故B選項(xiàng)符合題意.
故選：B．
8. 如右圖,“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成,中心重合于點(diǎn)且三組對(duì)邊分別平行.點(diǎn), 是“六芒星”（如圖1）的兩個(gè)頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界）,若, 則的取值范圍

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】
設(shè)，求的最大值，只需考慮圖中個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，討論如下：
①；
②；
③；
④， ，；
⑤；
⑥，的最大值為，根據(jù)其對(duì)稱(chēng)性，可知的最小值為，故的取值范圍是，故選A.
【方法點(diǎn)睛】本題考查平面向量的幾何運(yùn)算、平面向量基本定理的應(yīng)用、新定義問(wèn)題及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決. 本題通過(guò)定義“六芒星”，給出幾何圖形的特殊性質(zhì)，進(jìn)而利用平面向量的幾何運(yùn)算、結(jié)合選擇題的特點(diǎn)進(jìn)行解答
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．
9. 為了了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了20名肥胖者，健身之前他們的體重（單位：千克）情況如圖①，經(jīng)過(guò)四個(gè)月的健身后，他們的體重（單位：千米）情況如圖②.對(duì)比健身前后，關(guān)于調(diào)查的肥胖者，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 他們健身后，體重在內(nèi)的肥胖者增加了2名
B. 他們健身后，體重在內(nèi)的人數(shù)沒(méi)有改變
C. 因?yàn)轶w重在內(nèi)的人數(shù)所占比例沒(méi)有發(fā)生改變，所以說(shuō)明健身對(duì)體重沒(méi)有任何影響
D. 他們健身后，原來(lái)體重在內(nèi)的肥胖者體重都有減少
【答案】ABD
【解析】
【分析】由所給的柱形圖分析減肥前和減肥后體重在各個(gè)區(qū)間人數(shù)的變化，即可得到答案.
【詳解】A.體重在區(qū)間[90，100）內(nèi)的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人數(shù)增加了2個(gè)，A正確；
B.他們健身后，體重在區(qū)間[100，110）內(nèi)的百分比沒(méi)有變，所以人數(shù)沒(méi)有變，B正確；
C.他們健身后，出現(xiàn)了體重在[80，90）內(nèi)的人，健身之前是沒(méi)有這部分體重的，說(shuō)明健身對(duì)體重還是有影響的，故C錯(cuò)誤；
D.因?yàn)閳D2中沒(méi)有體重在區(qū)間[110，120）內(nèi)的比例，所以原來(lái)體重在區(qū)間[110，120）內(nèi)的肥胖者體重都有減少，D正確．
故選：ABD．
10. 設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，則下列選項(xiàng)中成立的是（ ）
A. B. C. D. 與均為的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】結(jié)合等比數(shù)列的定義利用數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)．
【詳解】由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積也為正，公比，
又，
，，B正確；
，，即，A正確；
由得，，所以，而，，因此，C錯(cuò)；
由上知，先增后減，與均為的最大值，D正確．
故選：ABD．
11. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，給出下列關(guān)于的結(jié)論：①它的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；②它的最小正周期為；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④它在上單調(diào)遞增.其中正確的結(jié)論的編號(hào)是
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)圖象的變換得出的解析式，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
令，得，所以不是對(duì)稱(chēng)軸①錯(cuò)誤，②顯然正確，
令，得，取，得，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，③正確，
令，得，
取，得，取，得，所以④錯(cuò)誤.
所以選項(xiàng)BC正確.
故選：BC
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，在解決本類(lèi)題目時(shí)，一般是把當(dāng)成整體.
12. 已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列關(guān)系一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】方法一，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性即可判斷.
方法二，分類(lèi)討論，根據(jù)，，討論即可得到答案.
【詳解】方法一（構(gòu)造函數(shù)法） 由題意，，
設(shè)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，故由，得，故，，A錯(cuò)誤，B正確；
由，得，故，C正確；，
故D不一定正確．
故選:BC．
方法二（分類(lèi)討論法） 由題意，．
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，而，∴，故不成立．
當(dāng)時(shí)，，，不成立．故．∴，，故A錯(cuò)誤，B正確；
，則，，故C正確；，
故D不一定正確．
故選:BC．
三、填空題：本大題共4小題．
13. 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為_(kāi)________.
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)斜率即可.
【詳解】由可得，
于是.
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為.
故答案為：.
14. 已知，，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．
【詳解】，
，解得
【點(diǎn)睛】若，平行或者共線(xiàn)，則．
15. 已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，若則的最小值等于__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可利用不等式的乘“1”法求解最值.
【詳解】由可得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為，
故答案為：
16. 馬爾代夫群島是世界上風(fēng)景最為優(yōu)美的群島之一，如圖所示，為了測(cè)量?jī)勺鶏u之間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東航行2百海里到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上，船再返回到處后，由向西航行百海里到達(dá)處，測(cè)得在的北偏東的方向上，則兩座島之間的距離為_(kāi)______百海里.

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用方位角分別求得三角形中各個(gè)角的大小，在和中，應(yīng)用正弦定理求得的長(zhǎng)，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【詳解】如圖所示設(shè)向北方向，由題意得，,
由題可得，
，
在中，由正弦定理得，可得，
再在中，，所以,
在中，
由余弦定理得，
所以，即兩座島之間的距離為百海里.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6個(gè)大題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線(xiàn)處，并加以解答．
已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若 ，且成等差數(shù)列，判斷的形狀，并說(shuō)明理由.
【答案】答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】根據(jù)三個(gè)不同的題設(shè)條件，主要解決方法包括：運(yùn)用二倍角公式消元求解；運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化列出方程求解；對(duì)于公共條件“成等差數(shù)列”，則通過(guò)等差中項(xiàng)和余弦定理代入求解即得.
【詳解】若選擇① ，則，解得：或（舍去），
又因 可得：或，由成等差數(shù)列知，則（*），
當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得， 代入（*）化簡(jiǎn)得：即，此時(shí)為等邊三角形；
當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得， 代入（*）化簡(jiǎn)得：，此時(shí)不存在，
所以是等邊三角形.
若選擇② ,由正弦定理得：，因,則，
化簡(jiǎn)得：，因，故，因，則，
由成等差數(shù)列知，則（*），
由余弦定理可得， 代入（*）化簡(jiǎn)得：即，此時(shí)為等邊三角形.
若選擇③ ，由正弦定理得：，因，化簡(jiǎn)得：，
即,
由得，則,即，
由成等差數(shù)列知，則（*），
由余弦定理可得， 代入（*）化簡(jiǎn)得：即，此時(shí)為等邊三角形.
18. 數(shù)列滿(mǎn)足，，.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).
【解析】
【詳解】試題分析：（1）將的兩邊同除以 ，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；
（2）有（1）求出，利用錯(cuò)位相減法即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.
試題解析：
(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以是以＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.
從而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1
＝.
所以Sn＝.
點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達(dá)式，從而化簡(jiǎn)得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和中，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的一個(gè)難點(diǎn).
19. 某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為30元/件的商品，在市場(chǎng)試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元）與日銷(xiāo)售量y（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系.
（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)畫(huà)出的點(diǎn)猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)解析式；
（2）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P（單位：元），根據(jù)上述關(guān)系，寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)？
【答案】（1）
（2），銷(xiāo)售單價(jià)為40元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)300元
【解析】
【分析】（1）猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
（2），根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得到最值.
【詳解】（1）如圖，猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè).
將代入得,解得.
∴y與x的一次函數(shù)解析式為.
（2），當(dāng)時(shí)，.
∴銷(xiāo)售單價(jià)為40元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)300元.
【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)解析式，函數(shù)圖像，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力.
20. 在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足
（1）求角B的值；
（2）若且，求的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)，可求出角B的值；
（2）根據(jù)條件，可求出角B的值以及角A的范圍，利用正弦定理可得到，將代入，用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合A的范圍即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
在中，，
，
，
，
，
，即，又，
所以，解得或.
【小問(wèn)2詳解】
∵且，∴，
由正弦定理得，所以，.
故，
∵，∴，，
又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是當(dāng)，即時(shí)的最小值為，
當(dāng)，即時(shí)的最大值為.
所以，即的取值范圍.
21. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及前項(xiàng)和；
（2）數(shù)列滿(mǎn)足為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1），；
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式得到關(guān)于的關(guān)系式，解之即可得解；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求得，從而由推得的關(guān)系式，再利用得到關(guān)于的不等式組，從而得解．
【小問(wèn)1詳解】
依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，解得，
，；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
所以
，
若，則，整理得，
又，則，整理得，
解得，又，故，則，
所以存在滿(mǎn)足題意．
22. 已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否存在零點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
（2）若在上存在最小值，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）不存在，理由見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)單調(diào)性，以及極小值，即可得到答案；
（2）求得，令，得到，分和，兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.
小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，可得，
所以，則，
因?yàn)?，令，解得?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
所以函數(shù)在沒(méi)有零點(diǎn).
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)?，可得?br>令，則，
①當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上不存在最小值；
②當(dāng)時(shí)，則，所以，
即在內(nèi)有唯一的解，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又因?yàn)椋?br>所以在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得最小值，即時(shí)，函數(shù)上存在最小值，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍
2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；x
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