2023屆重慶市第一中學校高三上學期9月月考數(shù)學試題 一、單選題1．設集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先分別利用對數(shù)型函數(shù)以及指數(shù)型函數(shù)求值域的方法求出集合，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集運算求解即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.【點睛】本題主要考查了集合間的運算以及對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù).屬于較易題.2．命題“，”的否定是（    ）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由全稱命題的否定為特稱命題，即得.【詳解】由全稱命題的否定可知：“，”的否定是“，”.故選：A.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，對每個選項進行逐一判斷，即可選擇.【詳解】對：容易知是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，故錯誤；對：容易知是偶函數(shù)，當時，，其在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故錯誤；對：容易知是偶函數(shù)，當時，是單調(diào)增函數(shù)，故正確；對：容易知是奇函數(shù)，故錯誤；故選：C.4．根據(jù)分類變量與的觀察數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)下表給出的獨立性檢驗中（    ） A．有的把握認為變量與獨立B．有的把握認為變量與不獨立C．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過D．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過【答案】D【分析】根據(jù)獨立性檢驗的含義進行判斷可得.【詳解】由題意，，所以有的把握認為變量與不獨立，即變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過.故選：D5．已知sin(α＋2β)＝，cos β＝，α，β為銳角，則sin(α＋β)的值為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由余弦二倍角公式確定cos 2β，再結合已知和角的范圍確定cos(α＋2β)，然后由兩角差的正弦公式計算sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]可得結果.【詳解】因為cos β＝，0<β<，所以sin β＝，cos 2β＝2cos2β－1＝－1＝－<0，所以<2β<π.因為sin(α＋2β)＝，α為銳角，所以<α＋2β<π，cos(α＋2β)＝－，所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β＝×－×＝.故選：D.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系式，余弦二倍角公式，兩角差的正弦公式以及湊角法的應用，屬于基礎題.6．已知拋物線，圓，直線與交于A、B兩點，與交于M、N兩點，若，則(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，設，，根據(jù)拋物線焦點弦長公式和韋達定理可求出k，根據(jù)圓的弦長公式即可求．【詳解】由得，，設，，∵，∴，∵過拋物線的焦點(1，0)，故AB為焦點弦，∴，∴，∴，解得，由圓關于x軸對稱可知，k＝1和k＝－1時相同，故不妨取k＝1，l為y＝x－1，即x－y－1＝0，圓心(2，1)到l的距離，∴﹒故選：B．7．甲，乙，丙，丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽（每兩個球隊都要比賽一場），每場比賽的計分方法是﹔勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，全部比賽結束后，四隊的得分為：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，則（    ）A．甲勝乙 B．乙勝丙 C．乙平丁 D．丙平丁【答案】C【分析】甲，乙，丙，丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分為16分，由比賽計分規(guī)則可得出在6場比賽中有2場比賽是平局，丁在3場比賽中有1場是平局，丙在3場比賽中有1場是平局，乙在3場比賽中有2局是平局，由此可得答案.【詳解】解：甲，乙，丙，丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分為6+5+4+1=16分，由比賽計分規(guī)則：勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，所以在6場比賽中有2場比賽是平局，即，丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3場比賽中有1場是平局，丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3場比賽中有1場是平局，而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3場比賽中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，故選：C.8．若，且的解集為，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】當時，由，得到，求導得到單調(diào)遞增，從而求得的范圍，再求得當時，的范圍，再結合題意得到結果即可.【詳解】當時，，由，可得，設，則，則在遞增，所以，即當時，，可得當時，的解集為當時，的解集為，不滿足題意，舍去因為關于的不等式的解集為當時，，滿足當時，，不滿足綜上可得:的取值范圍是故選:B. 二、多選題9．設函數(shù)，給出的四個說法正確的是（    ）A．時有成立B．且時，方程有唯一實根C．的圖象關于點對稱D．方程恰有兩個實根【答案】ABC【分析】根據(jù)奇偶性的定義、對稱性及圖象的變換可判斷AC；根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；取可判斷D.【詳解】對于A，當時，，則，故A正確；對于C，是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，的圖象由向上或向下平移個單位，故的圖象關于點對稱，故C正確；對于B，當且時，，故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，故方程有唯一實根，故B正確；對于D，取，令，解得或,故D錯誤.故選:ABC.10．下列大小關系正確的有（    ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】結合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項A、B，利用作差法可判斷選項C，利用作商法可判斷選項D，進而可得正確答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)可知，當時，因為，所以，選項A不正確；因為，所以，故選項B正確；因為，所以，即所以，所以，故選項C不正確；因為，，所以，所以，故選項D正確，故選：BD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是熟悉指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，記住同一直角坐標系中它們的圖象，當時，另外代數(shù)式比較大小可以用作差法與0比較大小，同號的可以利用作商法與1比較大小，變形的過程很靈活，屬于?？碱}型.11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（    ）A． B．C．在上是增函數(shù) D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以，所以A正確，對于B，因為，，所以B錯誤，對于C，因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以當時，隨的增大，的值在增大，所以在上是增函數(shù)，所以C正確，對于D，因為，所以，所以D正確，故選：ACD12．已知a，，滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A、D利用基本不等式即可判斷，注意等號成立條件；B由，構造且，利用導數(shù)證明不等式；C根據(jù)A、B的分析，應用特殊值法判斷.【詳解】A：由，即，當且僅當時等號成立，正確；B：由，則且，令且，則，遞減，所以，，即成立，正確； C： 當時，，錯誤；D：由，當且僅當時等號成立，正確.故選：ABD 三、填空題13．已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sinβ的值為________．【答案】【詳解】2tan(π－α)－3cos＋5＝0化為－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化為tanα－6sinβ＝1，解方程組因而sinβ＝.故填.14．記定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】首先設函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，不等式等價于，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】設，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且，不等式，所以.故答案為：.15．函數(shù)的所有零點之和為__________．【答案】9【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，，作出這兩個函數(shù)的部分圖象，確定兩個圖象的交點個數(shù)，再結合性質(zhì)計算作答.【詳解】由，令，，顯然與的圖象都關于直線對稱，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)，的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為，這6個點兩兩關于直線對稱，有，則，所以函數(shù)的所有零點之和為9.故答案為：916．已知且對任意的恒成立，則的最小值為_____．【答案】1【詳解】設，則由得：，當當時，，當時，，所以當時，有唯一極值，也是最小值，所以由對任意的恒成立，得，可得，因為 ，故成立，令（），，當時，，當時，，所以當時，，所以，故填． 四、解答題17．已知函數(shù)(1)求的對稱軸方程；(2)求在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間【答案】(1)(2)在單調(diào)減，在單調(diào)增 【分析】（1）由三角恒等變換將化簡為的形式，再由對稱軸公式計算即可.（2）由（1）中的解析式令，求得單調(diào)增區(qū)間，再得到減區(qū)間即可.【詳解】(1)令解得所以對稱軸發(fā)方程為(2)由（1）知令，解得，當時，單調(diào)增區(qū)間為又因為區(qū)間為，所以增區(qū)間為，減區(qū)間為18．已知數(shù)列中，，且滿足．設，.（1）求數(shù)列的通項公式的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）將已知遞推公式進行變形可得數(shù)列是等比數(shù)列，進而根據(jù)首項和公比可得其通項公式；（2）根據(jù)及數(shù)列的通項公式，利用累加法可得數(shù)列的通項公式，進而得到數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求得結果.【詳解】（1）∵，，∴.∵，∴，又，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，.（2）∵，∴，∴，∴，∴.19．2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝：若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，比賽結束．已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．(1)若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應該安排乙還是丙與甲進行比賽？(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結束時，勝隊獲獎金3萬元，負隊獲獎金1.5萬元；若平局，兩隊各獲獎金1.8萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設賽事組織預備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學期望的取值范圍．【答案】(1)業(yè)余隊第一場應該安排乙與甲進行比賽(2)的取值范圍為：（單位：萬元）. 【分析】（1）分別求出第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲或丙與甲進行比賽業(yè)余隊獲勝的概率，比較兩者的大小即可得出答案.（2）由已知萬元或萬元，分別求其對應的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范圍.【詳解】(1)第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：;第一場比賽，業(yè)余隊安排丙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：，因為，所以，所以.所以，業(yè)余隊第一場應該安排乙與甲進行比賽.(2)由已知萬元或萬元.由（1）知，業(yè)余隊最優(yōu)決策是第一場應該安排乙與甲進行比賽.此時，業(yè)余隊獲勝的概率為，專業(yè)隊獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為： 的數(shù)學期望為（萬元）而，所以的取值范圍為：（單位：萬元）.20．已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恰有兩個極值點，記極大值和極小值分別為，，求證：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為、，遞減區(qū)間為；(2)證明過程見解析. 【分析】（1）利用函數(shù)的導數(shù)性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)極值的定義，結合導數(shù)的性質(zhì)進行證明即可.【詳解】(1)當時，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，遞減區(qū)間為；(2)，因為函數(shù)恰有兩個極值點，所以方程有兩個不相等的實根，設為且，因為函數(shù)當時圖象關于直線對稱，所以，即，因為，所以， 當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，即，，于是有，因為，所以，所以，而，所以設，，，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最小值，即，因此有，即.【點睛】關鍵點睛：根據(jù)極值的定義，構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵.21．已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上，右頂點為，且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可得，從而可求出，進而可求出離心率，（2）設，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，再由可得或，可得直線經(jīng)過定點，然后表示出面積，求其最大值即可.【詳解】(1)依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.(2)易知直線與的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設，由可得，，所以，，而，即，化簡可得，，化簡得，所以或，所以直線或，因為直線不經(jīng)過點，所以直線經(jīng)過定點.設定點，因為，所以，設，所以，當且僅當即時取等號，即面積的最大值為.22．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），.(1)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）有兩個零點，通過參變分立，轉換成兩個函數(shù)圖像的交點問題.（2）先利用參數(shù)放縮轉變成恒成立，再通過參變分離轉化成最小值問題.【詳解】(1)有兩個零點，關于的方程有兩個相異實根，，有兩個零點即有兩個相異實根.令，則，得，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又當時，，當時，，當時，有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為；(2)，所以原命題等價于對一切恒成立，對一切恒成立，令，令，則在上單增，又，使，即①，當時，，即在遞減當時，，即在遞增，由①知，，函數(shù)在單調(diào)遞增，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】(1)零點問題常用方法為直接討論法和參變分離兩種方法.(2)恒成立問題一般有三種方法：直接討論法，參變分離法，端點效應. 

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