一、單選題
1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得z，即可得，即可得其對應(yīng)的點，即得答案.
【詳解】由題意知，故，
故，其對應(yīng)的點為，在第三象限內(nèi)，
故選：C
2．已知集合，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用不等式的解法，求出集合，，利用集合元素之間的關(guān)系確定充分條件和必要條件．
【詳解】由可得，即，所以，
由可得，解得，所以，
因為集合M是集合N的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A.
3．函數(shù)的大致圖象為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可判斷錯誤，根據(jù)，可排除.
【詳解】依題可知：函數(shù)的定義域為，
定義域關(guān)于原點對稱，又，
故函數(shù)為偶函數(shù)，故錯誤；
又當(dāng)時，，故錯誤，
故選：.
4．已知，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡求值即可．
【詳解】，
所以．
故選：
5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，且，，則（ ）
A．63B．72C．135D．144
【答案】C
【分析】設(shè)出公差，表達(dá)出，代入得到方程，求出公差，從而求出首項，利用求和公式得到答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則．
由，得，解得．
又因為，所以，
所以．
故選：C．
6．如圖，棱長都相等的平行六面體中，，則二面角的余弦值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判斷四面體為正四面體，取的中點，連接，，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得即為二面角的平面角，再由余弦定理計算可得．
【詳解】解：棱長都相等的平行六面體中，，則四面體為正四面體．
連接、，，連接，，設(shè)四面體的棱長為，則，
且，，則為二面角的平面角，
在中，，
故二面角的余弦值為．
故選：A．
7．已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根，構(gòu)造，分和兩種情況，求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)的取值范圍，得到答案.
【詳解】由題意得有兩個不相等的實數(shù)根，
令，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
且，當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
且，
畫出的圖象如下：
要想有兩個不相等的實數(shù)根，則，
故有兩個不相等的實數(shù)根，則.
故選：A
8．設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點，為函數(shù)的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【分析】直接利用，，求出和的表達(dá)式，進一步利用在區(qū)間上有且只有一個極大值點，通過分類討論求出的值，進而可得最大值.
【詳解】由已知得，，，
則，
其中，
因為，
當(dāng)時，
當(dāng)時，，
因為在區(qū)間上有且只有一個極大值點，
所以，
解得，
即，
所以，
當(dāng)時，，此時，此時有兩個極大值點，舍去；
當(dāng)時，，此時，此時有一個極大值點，成立；
所以的最大值為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過條件將和都用整數(shù)表示出來，然后對的值由大到小討論找到符合條件的結(jié)果.
二、多選題
9．在中，下列命題正確的是（ ）
A．
B．若，則為等腰三角形
C．
D．若，則為銳角三角形
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運算法則和向量的夾角公式，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，由向量的線性運算法則，可得，所以A錯誤；
對于B，由，得，即，
所以為等腰三角形，所以B正確；
對于C，因為，所以C正確；
對于D，在中，，則，可得A為銳角，
但不能確定其它角是否是銳角，所以D錯誤．
故選：BC.
10．已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線必過點
B．直線與圓必相交
C．圓心到直線的距離的最大值為1
D．當(dāng)時，直線被圓截得的弦長為
【答案】BC
【分析】利用直線和圓的相關(guān)性質(zhì)求解即可.
【詳解】易知直線必過點，故A錯誤；
點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，故B正確；
圓心到直線的距離，當(dāng)時距離取最大值1，故C正確；
當(dāng)時，直線，則直線被圓截得的弦長為，故D錯誤．
故選：BC
11．如圖，平面四邊形ABCD中，是等邊三角形，且，M是AD的中點．沿BD將翻折，折成三棱錐，翻折過程中下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)平面平面BDC時，三棱錐的外接球的表面積是
B．棱CD上存在一點N，使得平面ABC
C．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角
D．三棱錐的體積最大時，二面角的正切值為
【答案】ABD
【分析】對于A，確定外接球球心位置，求得外接球半徑，即可求得外接球的表面積；對于B，取CD的中點N，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷；對于C，證明平面CME，推出，即可判斷CM與BD所成角不可能為銳角；對于D，確定三棱錐的體積最大時，平面平面BDC，作出二面角的平面角，即可求得其正切值，判斷D.
【詳解】對于A，三棱錐的外接球被平面BCD所截小圓圓心是正的中心，
是等邊三角形，設(shè)E為BD的中點，連接，
則在上，，則，
由于，故外接球被平面ABD所截小圓圓心為點M，
設(shè)球心為O，連，OM，則平面BCD，平面ABD，
由于是等邊三角形，故，而平面平面BDC，
平面平面，平面，故平面ABD，
因為，同理可證平面BCD，為的中點，連接，
故,則平面BCD，
故，，故四邊形為矩形，，
連AO，由于，則，
在中，，
所以三棱錐的外接球的表面積，A正確；
對于B，取CD的中點N，連MN，因M是AD的中點，則，
平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，B正確；
對于C，如圖，因是正三角形，有，而M是AD的中點，
有，而，則，，CE，平面CME，
于是得平面CME，平面CME，所以，
即CM與BD所成角不可能為銳角，C不正確；
因為，要使三棱錐的體積最大，
當(dāng)且僅當(dāng)點C到平面ABD距離最大，即平面平面BDC時，
由選項A知，點C到直線BD的距離為，
由A可知平面ABD，作，垂足為G，連接，
由于平面ABD，故,
而平面，故平面，
平面平面，平面平面，
故為二面角的平面角，
由題意知且，則,
故在中，，故,
即三棱錐的體積最大時，二面角的正切值為，D正確，
故選：ABD．
12．在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（ ）
A．是等方差數(shù)列
B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則
C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列
D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列
【答案】BC
【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義依次分析四個選項可得答案.
【詳解】對于A，因為，，，
，所以不是等方差數(shù)列，故A錯誤；
對于B，因為，，，
所以，，
因為 是等比數(shù)列，所以，所以，
所以，因為，所以，所以，又，所以，故B正確；
對于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
則當(dāng)時，，若為常數(shù)，則必有，此時，則數(shù)列不可能是等方差數(shù)列，故C正確；
對于D，假設(shè)存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，則當(dāng)時，且，
若，則，則，不合題意，
若，則，得，又，
所以為常數(shù)，必有，與假設(shè)矛盾，
故存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列.故D錯誤；
故選：BC
三、填空題
13．當(dāng)時，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的定義與性質(zhì)計算即可.
【詳解】由題意可知或，
當(dāng)時，，此時在第一象限是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；
當(dāng)時，，此時在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；
綜上：.
故答案為：
14．如圖，一個立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為2，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖得：為小蟲爬行的最短路徑；再根據(jù)弧長公式可得；最后根據(jù)底面圓周長等于的長度即可得出答案.
【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線展開成如圖所示的扇形，則為小蟲爬行的最短路徑.
依題意：小蟲爬行的最短路程為.
因為母線長，
所以在中．
則由弧長公式得：．
設(shè)圓錐底面圓的半徑為r.
則，解得
故答案為：
15．已知中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則面積的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)余弦定理求出的表達(dá)式，進而表示出面積的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)最值，即可求得答案.
【詳解】因為，，則，
∴，
∴,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
∴面積的最大值為．
故答案為：
16．已知函數(shù)．若實數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，由可得，求出，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值可得答案．
【詳解】由，得，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因為，
所以，即，
所以，所以，又，
所以，
令，所以，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，
故的最小值為．
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為，并且構(gòu)造函數(shù)，本題考查了學(xué)生的思維能力、運算能力.
四、解答題
17．已知直線，，且直線與垂直.
(1)求的值；
(2)若直線過直線與的交點，且原點到該直線的距離為3，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）代入兩直線垂直公式列式求解即可；
（2）聯(lián)立方程求出交點坐標(biāo)，分類討論，根據(jù)點到直線的距離公式列式計算即可.
【詳解】（1）由直線與垂直，得，即，解得.
（2）由（1）得，直線的方程為，即，
解，得，即點坐標(biāo)為，
①當(dāng)直線的斜率不存在時，其直線方程為，滿足題意；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
因為原點到該直線的距離為3，所以，所以，
則直線的方程為.
綜上所述，直線的方程為或.
18．已知向量，，函數(shù)．
(1)若，求的值；
(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示式算出正切值，再運用二倍角公式轉(zhuǎn)化即得；
（2）先對函數(shù)式進行恒等轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)，由題設(shè)條件求得角，再由銳角三角形推得角范圍，即得的范圍.
【詳解】（1）∵，∴，則；
；
（2）
，
由，得，
∵，∴，∴，即,
因為銳角三角形，可得，解得，
∴，故的取值范圍為．
19．在四棱錐中，側(cè)面PAB為等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，，，，，E為線段AB的中點，過直線CE的平面與線段PA，PD分別交于點M，N．
(1)求證：平面PAB；
(2)若直線PC與平面CEMN的所成角的正弦值為，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意平行關(guān)系可證，再根據(jù)垂直關(guān)系證明平面PAB，即可得結(jié)果；
（2）建系，利用空間向量結(jié)合線面夾角分析求解.
【詳解】（1）因為為等邊三角形，且，則，
又因為E為AB中點，，則，
可知，，
所以四邊形AECD為矩形，故，
且平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，
且平面CEMN，平面平面，所以，
因為E為等邊三角形PAB邊AB的中點，，則，
又因為，，則，
且，，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB，即平面PAB.
（2）因為為正三角形，則，
又因為，，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD．
以E為原點，以EC，EB，EP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
可得，，
設(shè)，，則，
設(shè)平面CEMN的法向量為，則，
取，則，可得，
依題意，得，解得或（舍去），
所以，即．
20．某大學(xué)生創(chuàng)客實踐基地，甲、乙兩個團隊生產(chǎn)同種創(chuàng)新產(chǎn)品，現(xiàn)對其生產(chǎn)的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢驗．
(1)為測試其生產(chǎn)水準(zhǔn)，從甲、乙生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽檢15個樣本，評估結(jié)果如圖：
現(xiàn)將“一、二、三等”視為產(chǎn)品質(zhì)量合格，其余為產(chǎn)品質(zhì)量不合格，請完善2×2列聯(lián)表，依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)團隊有關(guān)聯(lián)；
(2)將甲乙生產(chǎn)的產(chǎn)品各自進行包裝，每5個產(chǎn)品包裝為一袋，現(xiàn)從中抽取一袋檢測（假定抽取的這袋產(chǎn)品來自甲生產(chǎn)的概率為，來自乙生產(chǎn)的概率為），求這袋產(chǎn)品中恰有4件合格品的概率（以（1）中各自產(chǎn)品的合格頻率代替各自產(chǎn)品的合格概率）．
附：，．
【答案】(1)表格見解析，有關(guān)聯(lián)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計算得出結(jié)論；
（2）分別用A、B、C表示事件，根據(jù)全概率公式求出，計算即可得解.
【詳解】（1）完善2×2列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)團隊無關(guān)聯(lián)
，
依據(jù)的獨立性檢驗，可以認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)團隊有關(guān)聯(lián)．
（2）記事件A為“一袋中有4個合格品”，事件B為“所抽取的這袋來自甲生產(chǎn)”，事件C為“所抽取的這袋來自乙生產(chǎn)”，故，，
又∵，且B與C互斥
由全概率公式，得
21．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項和為，且，______． 給出以下條件：①是與的等差中項；②，，成等比數(shù)列；③，，成等比數(shù)列．從中任選一個，補充在上面的橫線上，再解答．
(1)求的通項公式；
(2)令是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為．若，，求實數(shù)的取值范圍． （注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）把條件都轉(zhuǎn)化為和的形式運算，求出通項公式；
（2）先用錯位相減法求出，再進行參分轉(zhuǎn)化為恒成立問題，最后應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性的判斷求出最大值.
【詳解】（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，
由是與的等差中項，得，即，
則有，
化簡得，即，
解得，則；
選②，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，
由，，，
有，化簡得，
即，
解得，則；
選③，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，
由，，，
有，化簡得，則，
所以，
所以的通項公式為，
（2）由是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得，
由（1）知，即有，
則，
于是得，
兩式相減得：，
因此，又，
所以不等式，
等價于，又，所以等價于恒成立，
令，則，則時，，即數(shù)列遞增，
當(dāng)時，，即數(shù)列遞減，
所以當(dāng)時，，則，
所以實數(shù)的取值范圍是．
22．若對實數(shù)，函數(shù)、滿足，且，則稱為“平滑函數(shù)”，為該函數(shù)的“平滑點”已知，．
(1)若1是平滑函數(shù)的“平滑點”，
（ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（ⅱ）若過點可作三條不同的直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)t的取值范圍；
(2)判斷是否存在，使得對任意，函數(shù)存在正的“平滑點”，并說明理由．
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)存在，理由見解析
【分析】（1）（?。┣髮?dǎo)列出a，b的方程求解即可； （ⅱ）轉(zhuǎn)化為方程：有3個不同根，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合圖像求解即可；
（2）消參得成立，轉(zhuǎn)化為是否恒成立，構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1）（?。┯桑?，
得，，
因為1是平滑函數(shù)的“平滑點”，則，解得．
（ⅱ）由題意，，
過點作的切線，設(shè)切點，則切線方程：，
故題意等價于方程：有3個不同根，
設(shè)，則，
令，得；令，得或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
又因為，，，
且當(dāng)時，，如圖所示
所以．
（2）題意等價于：是否，使得對，有解，
消去a，得，，由，可得，
故題意等價于是否，使得時，成立，
又∵當(dāng)時，，
故題意等價于當(dāng)時，是否有解，
設(shè)，，則，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，
∴有解，即存在滿足題意的a．
【點睛】方法點睛：定義函數(shù)問題，主要根據(jù)定義理解函數(shù)性質(zhì)特征，結(jié)合函數(shù)求導(dǎo)求解即可.
甲
乙
總和
合格
不合格
總和
15
15
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
甲
乙
總和
合格
12
6
18
不合格
3
9
12
總和
15
15
30

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