（滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘）
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的
1.已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.，若為實(shí)數(shù)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
3.若非零向量滿(mǎn)足，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件， B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知，則（ ）
A. B. C. D.
5.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則使的最小n是（ ）
A. B. C. D.
6.已知為異面直線，平面平面，直線滿(mǎn)足，則（ ）
A.且
B.且
C.與相交，且交線垂直于
D.與相交，且交線平行于
7.函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過(guò)作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.至少有2個(gè)是符合要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9.下列結(jié)論中，正確的有（ ）
A.數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為5
B.若隨機(jī)變量，則
C.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，則
D.根據(jù)分類(lèi)變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001
10.如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且，是的中點(diǎn).沿將翻折，折成三棱錐，在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.存在某個(gè)位置，使得與所成角為銳角
B.棱上總會(huì)有一點(diǎn)，使得平面
C.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，
D.當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是
11.已知點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，其中為常數(shù)且，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A.函數(shù)的最小正周期為
B.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)
C.函數(shù)在上的最小值為
D.若，則
12.如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A.存在唯一點(diǎn)，使得
B.存在唯一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角取到最小值
C.若，則三棱錐外接球的表面積為
D.若異面直線與所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.
14.已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則的離心率等于__________.
15.在等差數(shù)列中，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，則使成立的正整數(shù)的最大值是__________.
16.已知正四面體的外接球半徑為3，MN為其外接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知
（1）求；
（2）是線段上的點(diǎn)，若，求的面積.
18.已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，且
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19.如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C為圓周上一點(diǎn)，D為線段PC的中點(diǎn)，，.
（1）證明：平面ABD⊥平面PBC；
（2）若G為AD的中點(diǎn)，求二面角P-BC-G的余弦值.
20.已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（2）求函數(shù)的極值.
21.某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項(xiàng)選擇題，每題設(shè)置了四個(gè)選項(xiàng)ABCD，其中至少兩項(xiàng)?至多三項(xiàng)是符合題目要求的.在每題中，如果考生全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.小明同學(xué)參加考試時(shí)遇到一道這樣的多選題，他沒(méi)有能力判斷每個(gè)選項(xiàng)正確與否，只能瞎猜.假設(shè)對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，正確或者錯(cuò)誤的概率均為.
（1）寫(xiě)出正確選項(xiàng)的所有可能情況；如果小明隨便選2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，求出小明這道題能得5分的概率；
（2）從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來(lái)看，小明應(yīng)該只選一個(gè)選項(xiàng)？還是兩個(gè)選項(xiàng)？還是三個(gè)選項(xiàng)？
22.已知橢圓過(guò)和兩點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖所示，記橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.
（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）求四邊形面積的最大值.
參考答案：
1.D
【分析】解分式不等式得到，進(jìn)而根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，因此?br>因此，
2.【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得；
【詳解】解：，
為實(shí)數(shù)，，
，解得.
3.C
【分析】將兩邊平方可得，，再根據(jù)數(shù)量積的定義可知，“”是“”的充要條件.
【詳解】解：因?yàn)榈葍r(jià)于，由數(shù)量積的定義可知，等價(jià)于，
故“”是“”的充要條件.
4.A
【解答】解：，
，則，
，可得.
5.C
【詳解】由二項(xiàng)式定理，，，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知?jiǎng)t單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，故的最小值為7.
6.D
【詳解】試題分析：由平面，直線滿(mǎn)足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D.
考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論.
7.A
【詳解】由圖可知，
由于，所以，
令，得，
由得，
依題意，在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
故當(dāng)取值最小時(shí)，有，
解得，所以的最小值為.
8.C
【詳解】解：如圖，
正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)處，球的半徑，
要使過(guò)的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點(diǎn)，
連接，則，所以，
此時(shí)截面圓的半徑，此時(shí)，截面面積的最小值.
9.BC
【詳解】
解：數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8整理為1，2，4，5，6，8，9，，則數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為第五位數(shù)據(jù)6，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤：
隨機(jī)變量，則，所以選項(xiàng)B正確；
經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，則，所以選項(xiàng)C正確；
根據(jù)分類(lèi)變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率大于0.001，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
10.BC
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)榍遥?br>所以，所以，故要使三棱錐的體積最大，則最大，所以當(dāng)?shù)耐队霸诶馍蠒r(shí)，最大，且，此時(shí)平面，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，所以，故正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以過(guò)作，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，所以，過(guò)點(diǎn)作交于，如圖所示，所以四邊形為矩形，所以，所以在中，，即，
在中，，即，進(jìn)而解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故錯(cuò)誤.
11.BC
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，
所以，即，解得，，
又因?yàn)椋?所以，
.最小正周期為.故錯(cuò)誤.
.向右平移個(gè)單位得函數(shù)，
所以關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故正確.
.當(dāng)，時(shí)，，，
所以，所以，
所以函數(shù)在上的最小值為.故正確.
.因?yàn)椋?br>當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，即時(shí)，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，則，故錯(cuò)誤.
12.BCD
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：正方形中，有，
正方體中有平面，平面，，
又，平面，平面，
只要平面，就有，在線段上，有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)：平面，直線與平面所成的角為，，取到最小值時(shí)，最大，
此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：若，則為中點(diǎn)，為等腰直角三角形，外接圓半徑為，三棱錐外接球的球心到平面的距離為，則外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，則有，，
有，化簡(jiǎn)得，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
所以的軌跡是拋物線的一部分，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
13.
由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上.
求導(dǎo)得：，所以.
故切線方程為.
14.
【解析】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，
所以：
因?yàn)?，由余弦定理可得?br>整理可行，所以，即.
15.9
【分析】由題意可得且，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得結(jié)論.
【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，
又，，，
又，，
則使成立的正整數(shù)的最大值是9.
故答案為：9
16.
【詳解】
設(shè)正四面體外接球球心為O，
正四面體的外接球半徑為3，
設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為，一個(gè)面的面積為，高為，則，
所以，顯然，所以，即.
.
17.【詳解】（1）由正弦定理可得，
則有，化簡(jiǎn)可得，可得，
因?yàn)椋?br>（2）設(shè)，由題意可得，
在中，，則，
所以，可得，
又因?yàn)?，可得?br>則，
所以.
18.（1）數(shù)列{an}中，，（，且）①
，且②
①÷②可得：，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
則，
則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
也符合該式，則；
（2）有（1）的結(jié)論，，
則；
則，③；
則，④；
③-④可得：
變形可得：
19.（1）因?yàn)閳AO所在的平面，即平面，
而平面，則，
又是圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，有，
又，則平面，而平面，
則，
因?yàn)?，所?又，
所以，而為線段的中點(diǎn)，所以.
又，所以平面，
而平面，故平面平面.
（2）解：以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)，則，.
設(shè)平面的法向量，
則令，得.
由（1）知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角為，易知為銳角，則，
即二面角的余弦值為.
20.（1）解：當(dāng)時(shí)，
則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，
所以，即函數(shù)在區(qū)間上的值域.
（2）解：因?yàn)椋?，則，
當(dāng)時(shí)，所以在定義域上單調(diào)遞增，不存在極值；
當(dāng)時(shí)令，解得或，又，
所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極大值，，
在處取得極小值，，
當(dāng)時(shí)令，解得或，又，
所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極大值，，
在處取得極小值，，
綜上可得：當(dāng)時(shí)無(wú)極值，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，.
21.（1）依題意，對(duì)于這道多選題，可能的正確答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有種，它們等可能，
記事件A為“小明這道題隨便選2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)能得5分”，而正確答案只有1個(gè)，則有，
所以小明這道題能得5分的概率.
（2）如果小明只選一個(gè)選項(xiàng)，那么他這道題的得分X的所有可能取值為0和2，
小明選了一項(xiàng)，若有兩項(xiàng)符合要求，則與所選項(xiàng)組成兩項(xiàng)的結(jié)果有，若有三項(xiàng)符合要求，則與所選項(xiàng)組成三項(xiàng)的結(jié)果有，
于是有，，
則有X的分布列為：
X的數(shù)學(xué)期望為，
如果小明只選兩個(gè)選項(xiàng)，那么他這道題的得分Y的所有可能取值為0，2，5，
的事件是小明所選兩項(xiàng)恰好符合要求，只有1個(gè)結(jié)果，若有三項(xiàng)符合要求，則與所選項(xiàng)組成三項(xiàng)的結(jié)果有，
，，，
則有Y的分布列為：
Y的數(shù)學(xué)期望為，
如果小明只選三個(gè)選項(xiàng)，那么他這道題的得分Z的所有可能取值為0和5，且
，，
故Z的分布列為
Z的數(shù)學(xué)期望為，
因?yàn)椋詮倪@道題得分的數(shù)學(xué)期望來(lái)看，小明應(yīng)該只選一個(gè)選項(xiàng).
22.（1）依題意將和兩點(diǎn)代入橢圓可得
，解得；
所以橢圓方程為
（2）（i）易知，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，不妨設(shè)，；
根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且；
所以直線的方程為，的方程為；
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達(dá)定理可得，解得，則；
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達(dá)定理可得，解得，則；
則，
；
所以；
即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）易知四邊形的面積為，
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
所以，可得，
由對(duì)稱(chēng)性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，0
2
0
2
5
0
5

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