一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和模長公式計(jì)算可得答案.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，
所以，.
故選：B.
2．設(shè)全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本題首先可以根據(jù)函數(shù)的定義域得出，然后根據(jù)補(bǔ)集的性質(zhì)得出，再然后根據(jù)的值域得出，最后根據(jù)交集的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，解得，，
因?yàn)槿?，所以或?br>因?yàn)?，所以，?br>則，
故選：D.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：表示集合時(shí)，一定要注意集合中元素的含義，例如，集合表示的是函數(shù)的定義域，集合表示的是函數(shù)的值域.
3．已知向量，滿足，且，，則（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的模長的計(jì)算即可求解.
【詳解】，所以，
故選：D
4．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想如下：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如30=7+23，在不超過25的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)恰好含有這組數(shù)的中位數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先確定不超過25的素?cái)?shù)，再確定中位數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率．
【詳解】因?yàn)椴怀^25的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9個(gè)，
這組數(shù)的中位數(shù)為11，所以所求概率．
故選：C
5．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依題意可得在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，參變分離可得，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得到的取值范圍，最后檢驗(yàn)時(shí)不符合題意，即可得解.
【詳解】解：函數(shù)，，
若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，
則在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，
由可得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，
所以，
，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C．
6．已知，，．則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷即可.
【詳解】∵，∴，
又，∴，
∴．
故選：B．
7．已知，，則（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.
【詳解】由得，進(jìn)而可得，所以，
故選：D
8．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，，…，（），則（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由題意可得，所以的一個(gè)零點(diǎn)為0，令，求出的零點(diǎn)，即為零點(diǎn)，代入計(jì)算即可得答案．
【詳解】令，則有，即，
所以有，
令，則，
令，則有，即有，
因?yàn)椋?，則，
即有，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，
所以共有3個(gè)零點(diǎn)，分別為0，，，
所以．
故選：A
二、多選題
9．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則下列選項(xiàng)正確的是（參考數(shù)值：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（ ）
，，）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性及參考數(shù)據(jù)可得答案.
【詳解】∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，
正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，且，，從而A正確，B錯(cuò)誤，
根據(jù)題意可得，，，
∴，故C正確；
與不關(guān)于直線對(duì)稱，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
10．下列說法正確的是（ ）
A．若不等式的解集為或，則
B．若命題p：，，則p的否定為：，
C．在△ABC中，“”是“”的充要條件
D．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為
【答案】AD
【分析】根據(jù)方程的兩根為，2，可判斷A；根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可判斷B；兩邊平方可，根據(jù)充要條件定義可判斷C；轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次函數(shù)可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，不等式解集為或，則方程的兩根為，2，
故，則，，所以，故A正確；
對(duì)于B，全稱命題的否定是特稱命題，量詞任意改成存在，結(jié)論進(jìn)行否定應(yīng)是小于等于，
即p的否定為：，，故B不正確；
對(duì)于C，對(duì)得，又，
所以或，顯然不是充要條件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，則，對(duì)恒成立，
則，解得，故D正確.
故選：AD．
11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的解析式為
B．函數(shù)的解析式為
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A，由圖像可得，，從而可求出得，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)中可求出的值，從而可求出函數(shù)解析式，對(duì)于B，由三角函數(shù)圖像變換規(guī)律求出的解析式，對(duì)于C，由求出的增區(qū)間進(jìn)行判斷即可，對(duì)于D，將代入中驗(yàn)證是否能取得最值.
【詳解】由圖可知，，，所以，解得，故．
因?yàn)閳D像過點(diǎn)，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)位于單調(diào)增區(qū)間上，且，所以，
故．故A項(xiàng)正確；
若其縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，所得到的函數(shù)解析式為，
再向右平移個(gè)單位長度，所得到的函數(shù)解析式．故B項(xiàng)正確；
令，
得，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，
不取最值，故不是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,所以D項(xiàng)不正確．
故選：ABC
12．已知三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在三棱錐P-ABC表面上運(yùn)動(dòng)，且，已知在弧度制下銳角，滿足：，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．過點(diǎn)D作球的截面，截面的面積最小為B．過點(diǎn)D作球的截面，截面的面積最大為
C．點(diǎn)Q的軌跡長為D．點(diǎn)Q的軌跡長為
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A項(xiàng)和B項(xiàng)，先求出三棱錐外接球的半徑，再根據(jù)圖形判斷經(jīng)過球心的截面最大，與半徑垂直的截面最小即得，對(duì)于C項(xiàng)和D項(xiàng)，則先要通過計(jì)算找到角，再根據(jù)軌跡特征確定軌跡形狀，計(jì)算即得.
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A,如圖，三棱錐P-ABC的外接球O即為以AB，AC，AP為鄰邊的長方體的外接球，
∴，∴，取BC的中點(diǎn)，則為△ABC的
外接圓圓心，且平面ABC，當(dāng)OD與過點(diǎn)D的截面垂直時(shí)，截面的面積最小，
∵，此時(shí)截面圓的半徑為，
∴最小截面面積為，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面圓的面積最大為，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C和D，由條件可得
故即，易得，
則點(diǎn)Q的軌跡分別是以點(diǎn)P為圓心，4為半徑的三段弧，其中一段弧圓心角為，兩段弧
圓心角為，點(diǎn)Q的軌跡長即為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確．
故選：ABD．
三、填空題
13．?dāng)?shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位數(shù)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】解：共有10個(gè)數(shù)據(jù)，
由，
所以第70百分位數(shù)為.
故答案為；14.
14．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】作出圖形，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值即可得解.
【詳解】對(duì)于雙曲線，則，，，如下圖所示：
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，
由雙曲線的定義可得，則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.
因此，的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：
（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；
（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解.
15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上有最大值．則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】通過函數(shù)在上單調(diào)遞增，求出的范圍，再根據(jù)在上有最大值可得，進(jìn)而即得.
【詳解】由，可得，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，又函數(shù)在上有最大值，
所以，即，
綜上，.
故答案為：.
16．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)為（i=1，2，3，…，n）．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出它們的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，先作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，
又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，
再作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

由圖象可得：，，，…，，則，
若，得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題
17．半徑為的圓內(nèi)接，，為銳角．
(1)求的大??；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理計(jì)算可得；
（2）由角平分線的性質(zhì)得到，再由等面積法求出，最后由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）由正弦定理，又角為銳角，所以．
（2）∵為的平分線，，
設(shè)點(diǎn)到和的距離為，則，即，
∴，
又∵，
∴，則有，
∴或（舍去），所以，
∴．
18．已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中條件可求得，即可求得通項(xiàng)公式；
（2）把通項(xiàng)公式分成兩組，其中一組并項(xiàng)求和，另一組公式求和，即可.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，
令，得，所以．①
令，得，所以．②
解①②得，
所以．
（2）由（1）中條件，
數(shù)列，
則其前項(xiàng)和：
.
五、證明題
19．如圖①，在等腰梯形中，,分別為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體．在圖②中：

(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)折疊前后垂直的關(guān)系不變可得，由線面垂直的判定定理可得平面，由線面垂直性質(zhì)可得；
（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可知以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量求法可得平面與平面夾角的余弦值為.
【詳解】（1）由題意知在等腰梯形中，，
又分別為的中點(diǎn)，所以，
即折疊后，
，所以平面，
又平面，
所以．
（2）∵平面平面，平面平面，且，
所以平面，平面,
，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
易知，
所以，
則
設(shè)平面的法向量，
則，取，則，得；

設(shè)平面的法向量
則，取，則，可得，
，由圖易知平面與平面夾角為銳角，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
六、解答題
20．某梯級(jí)共20級(jí)，某人上梯級(jí)（從0級(jí)梯級(jí)開始向上走）每步可跨一級(jí)或兩級(jí)，每步上一級(jí)的概率為，上兩級(jí)的概率為，設(shè)他上到第n級(jí)的概率為．
(1)求他上到第10級(jí)的概率（結(jié)果用指數(shù)形式表示）；
(2)若他上到第5級(jí)時(shí)，求他所用的步數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析；期望為
【分析】（1）求出，且（），從而變形后得到通項(xiàng)公式，求出答案；
（2）先在（1）的基礎(chǔ)上求出此人上到第5級(jí)的概率，再求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由條件知，，
且（）．
所以，
設(shè)，故，
令，解得，
所以，
又，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知此人上到第5級(jí)的概率為，
X的可能取值為3，4，5，
其中時(shí)，此人1次選擇跨一級(jí)，2次選擇跨兩級(jí)，由條件概率可得，
，
時(shí)，此人1次選擇跨兩級(jí)，3次選擇跨一級(jí)，由條件概率可得，
，
時(shí)，此人5次選擇跨一級(jí)，由條件概率可得，
，
所以X的分布列為
所以．
21．已知橢圓的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.
【解析】（1）利用，列出方程可得，再由離心率即可求出，得出橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，借助于韋達(dá)定理，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】(1)，，
又，，即，
則可得，又，，
故所求橢圓方程為；
(2)設(shè)直線，代入，有.
設(shè)，則，
若軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則，，
，
由題意知，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立，
即對(duì)成立.
，解得，
在軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
七、證明題
22．已知函數(shù)，，
(1)若在存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）由題意，得到函數(shù)，求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)，要證極小值，即證導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，且在零點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于零，零點(diǎn)右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于零，對(duì)于導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，可得答案；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得到，易發(fā)現(xiàn)，因此要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1），，
設(shè)，則，
時(shí)，，單調(diào)遞增，在存在極小值點(diǎn)，
要滿足題意，則，解得，
所以的取值范圍是.
（2），
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，令，解得，
則當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；
由，則函數(shù)為一條連續(xù)不斷的曲線，
要滿足題意則需，即，此時(shí).
易發(fā)現(xiàn)，
因此要證，即證，即證，即證，
設(shè)，則證，即證，
設(shè)，則，
在上遞減，所以，
即得證，則得證.
【點(diǎn)睛】1.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號(hào)不同；若在內(nèi)有極值，那么在內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值.
2.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
X
3
4
5
P

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2023屆廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)高三8月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

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