一、單選題
1．已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】解一元二次不等式，求出集合M，根據(jù)其元素個(gè)數(shù)即可求得答案.
【詳解】由題意得集合，
故的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，
故選：D
2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（），則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】求出虛數(shù)的表達(dá)式，即可得出的值.
【詳解】由題意，，
在中，
∵z為純虛數(shù)，
∴，解得：，
∴，，
故選：C．
3．已知向量，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由向量垂直的判斷方法分析“”和“”的關(guān)系，由此分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，向量，，
則，有，則有，
反之，若，則，
則，解可得或1，不一定成立；
故“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
4．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若 ，， 的面積為 ，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理以及三角形面積公式即可求解.
【詳解】由余弦定理得,又，所以，
又，故，
故選：C
5．若圓錐高為，體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用圓錐的體積公式及側(cè)面積公式求解即可.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，體積為，
由題意，，得，則，
則該圓錐的側(cè)面積為.
故選：C.
6．袋中裝有標(biāo)號(hào)為且大小相同的個(gè)小球，從袋子中一次性摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩個(gè)號(hào)碼的和不是的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)，若有人參與摸球，則恰好人獲獎(jiǎng)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型和對(duì)立事件概率公式可求得一個(gè)人摸球能夠獲獎(jiǎng)的概率，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】從袋子中一次性摸出兩個(gè)球，共有種情況，
其中兩個(gè)號(hào)碼的和為的倍數(shù)的有，，，，，共種情況，
一個(gè)人摸球，能夠獲獎(jiǎng)的概率為，
人參與摸球，恰好人獲獎(jiǎng)的概率.
故選：D.
7．為了貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．15次B．16次C．17次D．18次
【答案】B
【分析】利用，的值求出t，可得，依題意列出不等式，解不等式即可求得答案.
【詳解】由題意知，
當(dāng)時(shí)，，故，，
故，
由得，即，
則，而，故，
故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要16次，
故選：B
8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知和都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為和的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖形，找到交點(diǎn)規(guī)律即可找出第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)，而m的取值范圍就在第10個(gè)零點(diǎn)和第11個(gè)零點(diǎn)之間.
【詳解】由得是一個(gè)周期為2的奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，因此，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以 ，，
且的周期為，且，，，，
求的零點(diǎn)，即是與的交點(diǎn)，如圖：

為與在區(qū)間的交點(diǎn)圖形，因?yàn)榕c均為周期為2的周期函數(shù)，
因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點(diǎn)周期為，
若在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，
第11個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，因此.
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題，往往可以轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，而圖象的刻畫需結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性等來處理.
二、多選題
9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義以及函數(shù)的單調(diào)性一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，定義域?yàn)椋?br>，即函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，A正確；
對(duì)于B，定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于C，設(shè)，定義域?yàn)镽，
則，函數(shù)為偶函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，C正確；
對(duì)于D，定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，D錯(cuò)誤，
故選：AC
10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．將函數(shù)的圖象向由右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象
【答案】ABC
【分析】借助圖象周期求出、再由定點(diǎn)結(jié)合范圍求出，得出解析式后結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)可得A、B、C，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可得D.
【詳解】由題意可得，故，則，
，即，
解得，又，即，故A正確；
即，當(dāng)時(shí)，有，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，故C正確；
將函數(shù)的圖象向由右平移個(gè)單位得到，
故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．已知，，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值4
【答案】ABD
【分析】對(duì)A選項(xiàng)：借助基本不等式即可得；
對(duì)B選項(xiàng)：由，結(jié)合A即可得；
對(duì)C選項(xiàng)：借助，兩者相乘結(jié)合基本不等式即可得；
對(duì)D選項(xiàng)：消元后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究最值即可得.
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，故A正確；
對(duì)B選項(xiàng)：，由A中知，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)C選項(xiàng)：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)：由，即，則，
令，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即有最大值，即的最大值為，
此時(shí)、，故D正確.
故選：ABD.
12．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．函數(shù)在時(shí)，取得極小值；
B．對(duì)于，恒成立；
C．若，則；
D．若對(duì)于恒成立，則的最大值為．
【答案】BCD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究在上單調(diào)性及最值即可判斷A、B的正誤；構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即知C的正誤；構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合分類討論的方法研究上、恒成立時(shí)a的取值范圍，即可判斷正誤.
【詳解】，
∴上，即上單調(diào)遞減，則，
∴A錯(cuò)誤，B正確；
令，則在上，即單調(diào)遞減，
∴時(shí)，有，C正確；
，則等價(jià)于，
令，則，，
∴當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，故；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，故；
當(dāng)時(shí)，存在使，
∴此時(shí)，上，則單調(diào)遞增，；
上，則單調(diào)遞減，
∴要使在上恒成立，則，得.
綜上，時(shí)，上恒成立，
∴若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，D正確.
故選：BCD.
三、單空題
13．已知向量，滿足，，與的夾角為，則 ．
【答案】/
【分析】將平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.
【詳解】由題意得
，
故，
故答案為：
四、填空題
14．已知為銳角，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的正切公式求得正確答案.
【詳解】由于為銳角，所以，
，
所以.
故答案為：
15．若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合點(diǎn)為直線與曲線的公共點(diǎn)，可得出關(guān)于、的方程組，即可解得的值.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，則，
因?yàn)辄c(diǎn)為直線與曲線的公共點(diǎn)，則，
所以，，即，可得，故.
故答案為：.
16．已知數(shù)列滿足：對(duì)于任意有，且，若，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則 ．
【答案】
【分析】對(duì)求導(dǎo)，可證得是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求出，再由并項(xiàng)求和法求出.
【詳解】因?yàn)?，則，
由，，可得，，
所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，，，
所以，
所以
．
故答案為:.
五、問答題
17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系可得，進(jìn)而得到是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求解；
（2）結(jié)合（1）可得，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1）由，，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以.
又因?yàn)椋?br>所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以.
（2）由（1）知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，
于是，
所以.
六、證明題
18．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接、，即可證明四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接、，
因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以且，
又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：因?yàn)?，底面，所以兩兩互相垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，
以分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，
即，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
七、問答題
19．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若的中點(diǎn)為且，，請(qǐng)寫出與的關(guān)系式，并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理及兩角和得正弦公式即可求得，結(jié)合角的范圍可知；
（2）依題意在中由正弦定理可得，即可得，利用輔助角公式可知，結(jié)合角的范圍及三角函數(shù)單調(diào)性可得的最大值為.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br>即可得，
所以，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）如下圖所示：

依題意，
則在中，由知，
又，利用正弦定理得，
所以，，
又，所以，，
所以
，
因?yàn)?，所以，根?jù)三角函數(shù)單調(diào)性可知，
所以，
即的最大值為.
20． 設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.
【答案】（I），；
（II）
【分析】（I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯(cuò)位相減法求和，最后求得結(jié)果.
【詳解】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
依題意，得，解得，
故，，
所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；
（II）
，
記 ①
則 ②
②①得，，
所以
.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.
21．中國國家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）為，反映出中國制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快．以新能源汽車、機(jī)器人、增材制造、醫(yī)療設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展．已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
(1)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差s近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，記質(zhì)量差服從正態(tài)分布，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則，，．
(2)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和（，且）件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為．
①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；
②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值．
【答案】(1)
(2)①；②時(shí)，最大值為.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件的平均數(shù)，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差，可得出和，得出，結(jié)合正品的條件，即可求出該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率的結(jié)果；
（2）①由題意，結(jié)合組合的定義可知，從件正品中任選兩個(gè)，有種選法，其中等級(jí)相同有種選法，通過古典概型的概率求法，即可求出箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為，最后利用排列數(shù)的運(yùn)算即可得出結(jié)果；
②根據(jù)二項(xiàng)分布的概率求法求出，化簡(jiǎn)得出關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，得出當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而可求出時(shí)，最大值為.
【詳解】（1）由題意，估計(jì)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件的平均數(shù)為：
，即，
，所以，
則優(yōu)等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，
一等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，
所以正品為質(zhì)量差在和內(nèi)，即，
所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：；
（2）①從件正品中任選兩個(gè)，有種選法，其中等級(jí)相同有種選法，
∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為：.
②由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率為，則5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為
，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.
此時(shí)，解得：，
∴時(shí)，5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率最大，最大值為.
22．已知函數(shù)．
(1)求的最小值；
(2)若對(duì)，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求解最值即可；
（2）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而結(jié)合的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為研究恒成立，再求函數(shù)最小值即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得極小值，，該極小值也是最小值.
所以的最小值為.
（2）因?yàn)閷?duì)，，恒成立，
所以，即恒成立，
令，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
恒成立，
當(dāng)時(shí)，由得，即恒成立，
設(shè)，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
所以要使恒成立，只需，解得，
因?yàn)椋詫?shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)同構(gòu)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)求解即可.

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