安徽省六安市舒城中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題1.  設(shè)集合，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的.(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3.  設(shè)函數(shù)，則(    )A. 3 B. 6 C. 9 D. 124.  若，則的最小值為.(    )A. 4 B. 3 C. 2 D. 15.  已知，，，則的大小關(guān)系為.(    )A.  B.  C.  D. 6.  函數(shù)的大致圖象為.(    )A.   B.
C.   D. 7.  若都是銳角，且，，則(    )A.  B.  C. 或 D. 或8.  某工廠2015年生產(chǎn)某產(chǎn)品2萬件，計(jì)劃從2016年開始每年比上一年增產(chǎn)，從哪一年開始這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過6萬件已知，(    )A. 2019年 B. 2020年 C. 2021年 D. 2022年9.  已知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是.(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知函數(shù)，若存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是  (    )A.  B.  C.  D. 11.  定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，，是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，則下列不等式中正確的是.(    )A.  B.
C.  D. 12.  筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形圓，筒車的半徑為2m，筒車的軸心O到水面的距離為1m，筒車每分鐘按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2圈.規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)即時(shí)的位置時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)盛水筒M從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所用時(shí)間為單位：，且此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度為單位：若以筒車的軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖，則h與t的函數(shù)關(guān)系式為.(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，13.  __________.14.  已知，，則__________.15.  設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.16.  已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.17.  已知非空集合，集合，命題，命題若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，p是q的充要條件． 18.  已知函數(shù)是偶函數(shù)．
求實(shí)數(shù)a的值；
關(guān)于x的不等式在R上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．19.  已知函數(shù)求的值;在中，若，求的最大值. 20.  已知函數(shù)定義域?yàn)?/span>，且滿足：①；②當(dāng)時(shí)，有；③對(duì)任意都有判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；解不等式 21.  如圖所示，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為7米的正方形鐵皮，其中ATN是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形鐵皮PQCR，其中P是弧TN上一點(diǎn)．設(shè)，長(zhǎng)方形PQCR的面積為S平方米．求S關(guān)于的函數(shù)解析式；求S的最大值． 22.  我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．求函數(shù)圖像的對(duì)稱中心；請(qǐng)利用函數(shù)的對(duì)稱性求的值．已知函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，若存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本題考查了交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
分別化簡(jiǎn)集合A，B，再求交集，即可得解.【解答】解：由 ，可得，所以集合，因?yàn)?/span>為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，所以集合，則
故選  2.【答案】B 【解析】【分析】本題考查了充要條件的判定方法、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，可得，解得a即可判斷出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，解得，
又因?yàn)椤?/span>”可推導(dǎo)出“”，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的必要條件，又“”不能推導(dǎo)出“”，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的不充分條件，“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的必要不充分條件.
故選  3.【答案】C 【解析】【分析】本題主要考查分段函數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
利用分段函數(shù)，將自變量的值分段代入即可求解.【解答】解：因?yàn)?/span>，，即，所以
故選：  4.【答案】D 【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題．
利用二次函數(shù)求最值即可．【解答】解：，
令，，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，二次函數(shù)的圖像開口向下，即，在對(duì)稱軸上取最大值，所以，因?yàn)?/span>，，在端點(diǎn)處取得最小值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，的最小值為
故選：  5.【答案】A 【解析】【分析】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
關(guān)鍵是理解指數(shù)函數(shù)，與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及，即可得解.【解答】解：，，
故，所以
故選：  6.【答案】A 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)B，C，根據(jù)函數(shù)值可排除選項(xiàng)【解答】解：由題意，得，故函數(shù)為偶函數(shù)，故B， C錯(cuò)誤;
因?yàn)?/span>，，，所以當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：  7.【答案】A 【解析】【分析】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的三角函數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)條件分別求出、，即可求得答案.【解答】解：因?yàn)?/span>都是銳角，且，所以，
又因?yàn)?/span>，則，
所以；
則
故選  8.【答案】D 【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
本題是平均增長(zhǎng)率問題的變式考題，哪一年的年產(chǎn)量超過6萬件，其實(shí)就是求在2015年的基礎(chǔ)上再過多少年的年產(chǎn)量大于6萬件，即求經(jīng)過多少年．【解答】解：設(shè)再過n年這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過6萬件，
根據(jù)題意，得，即，兩邊取對(duì)數(shù)，得，
，即
從2022年開始這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過6萬件．
故選  9.【答案】B 【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合條件建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【解答】解：由，，得，，
即，，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，
在內(nèi)單調(diào)遞減，，即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，不等式組無解，
則的取值范圍是
故本題選：  10.【答案】C 【解析】【分析】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)與零點(diǎn)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
由得，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的實(shí)根，
即函數(shù)的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，
作出直線與函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知，，解得
故選  11.【答案】D 【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等綜合應(yīng)用，屬于中檔題.
由，是鈍角三角形的兩個(gè)銳角可得即，從而有，由滿足函數(shù)為偶函數(shù)即可得，即函數(shù)的周期為2，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得在單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知在單調(diào)遞增，從而可判斷.【解答】解：，是鈍角三角形的兩個(gè)銳角可得，即，

滿足，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
函數(shù)為偶函數(shù)即，，即函數(shù)的周期為2，
又函數(shù)在上是減函數(shù)，則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得在單調(diào)遞增，
根據(jù)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知在單調(diào)遞增，
故選  12.【答案】A 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)解析式的求解、函數(shù)的應(yīng)用，主要考查了三角函數(shù)解析式的理解和應(yīng)用，屬于中檔題．
根據(jù)題意得到以OP為終邊的角為，得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，從而得到點(diǎn)P距水面的高度hm表示為時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以是以Ox為始邊，為終邊的角，
由OP在ts內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，
可知以Ox為始邊，以OP為終邊的角為，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)P距水面的高度hm表示為時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系是，
故選：  13.【答案】6 【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【解答】解：

故答案為：  14.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
把給出的兩個(gè)等式平方進(jìn)行相應(yīng)的變形后相加計(jì)算可得，從而求解出的值.【解答】解：，，，，即，①②將①+②得，
故答案為：  15.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．
由題意可得恒成立，再由絕對(duì)值的意義可得的最小值為3，從而得到【解答】解：函數(shù)，若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．而表示實(shí)數(shù)x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離與它到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為3，故有
故答案為：  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立與存在性問題，屬于中檔題.
由題意得，當(dāng)時(shí)，  ，記，當(dāng)，，記，根據(jù)，得，解得m的范圍，同理討論和討論即可求出結(jié)果.【解答】解：由題意，函數(shù) ， ，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)， ，記，
當(dāng)，在上是增函數(shù)，，
記
由對(duì)任意，總存在，使成立，
所以，則，解得，
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，
，記
由對(duì)任意，總存在 ，使 成立，
所以，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，又不滿足題意.
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是
故答案為：  17.【答案】解：因?yàn)椴坏仁?/span>化為，解得，所以，
因?yàn)?/span>p是q的充分不必要條件，則，
不等式化為，
由，由集合A是非空集合，得且，
①當(dāng)或時(shí)，，則，
因?yàn)?/span>，所以，解得，故有；
②當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)?/span>，所以，解得，故有，
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為；
若p是q的充要條件，則，所以，和1時(shí)方程的兩根.
所以由韋達(dá)定理得，解得 【解析】本題考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，考查了充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題．
利用一元二次不等式和分式不等式的解法，求出集合A，B，利用集合之間的關(guān)系，列不等式組，即可得；
利用集合相等，列方程組，即可得.
 18.【答案】解：函數(shù) 是R上的偶函數(shù)，即，
對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
 對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即 對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足題意.
關(guān)于x的不等式 在R上恒成立，即在R上恒成立，
令，
由題意及知函數(shù)為偶函數(shù)，
故也為R上的偶函數(shù)，只需證明當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
，即 ，，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍是  【解析】本題主要考查不等式恒成立問題，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解a的值；
將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，令，利用基本不等式求出，即可求解b的取值范圍．
 19.【答案】解：
所以，
因?yàn)?/span>，所以，
由，，得，得，
所以，
因?yàn)?/span>，所以，
所以，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為 【解析】本題考查三角函數(shù)的最值，三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題.
化簡(jiǎn)式子求出，代入計(jì)算即可.
先求出A的值，再化簡(jiǎn)即可得到最大值.
 20.【答案】解：由題意，設(shè)，則，從而，故在上單調(diào)遞增.取得，，即，，又不等式可化為不等式并且在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得；故不等式的解是 【解析】本題主要考查抽象函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間以及不等式求解，屬于中檔題.
由題意，設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可以得到，即證得在上單調(diào)遞增；
根據(jù)題設(shè)條件，取，可將原不等式化為不等式組，解之可得答案.
 21.【答案】解：延長(zhǎng)RP交AB于E，延長(zhǎng)QP交AD于F，
 由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，由，可得，，，，故S關(guān)于的函數(shù)解析式為令，可得，即，又由，可得，故，關(guān)于t的表達(dá)式為，又由，又，又，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以，函數(shù)值先減小后增大.
所以在端點(diǎn)處取最大值，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，又
可知當(dāng)時(shí)，S取最大值，最大值為平方米． 【解析】本題考查三角函數(shù)最值問題，換元后新函數(shù)的定義域一同改變，屬于中檔題．
由題意可得，，將用表示，易得到S關(guān)于的函數(shù)解析式．由可知S是關(guān)于的三角函數(shù)，通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求解最值，注意換元后定義域也一同變換．
 22.【答案】解：設(shè)函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為，
設(shè)，則為奇函數(shù)，
且，故，
即，即，
整理得，
故解得
所以函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為
由知函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為，
故，
所以且，
所以
在上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，
則，化簡(jiǎn)得
即方程有兩個(gè)大于2的不等實(shí)根，
令，，則，有兩個(gè)大于0的不等實(shí)根，
，解得 【解析】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，根據(jù)題意可得，求解即可；
根據(jù)可得，即可求出答案；
依題意，在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，得，即方程有兩個(gè)大于2的不等實(shí)根，令，則，有兩個(gè)大于0的不等實(shí)根，求解即可.
 

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