TOC \ "1-2" \p " " \h \z \u
\l "_Tc151414104" 類型一 數(shù)式規(guī)律
\l "_Tc151414105" 題型01 記數(shù)類規(guī)律
\l "_Tc151414106" 題型02 乘方類規(guī)律
\l "_Tc151414107" 題型03 表格類規(guī)律
\l "_Tc151414108" 題型04 數(shù)陣類規(guī)律
\l "_Tc151414109" 題型05 個(gè)位數(shù)字規(guī)律
\l "_Tc151414110" 題型06 新定義運(yùn)算規(guī)律
\l "_Tc151414111" 類型二 圖形規(guī)律
\l "_Tc151414112" 題型01 圖形固定累加型
\l "_Tc151414113" 題型02 圖形漸變累加型
\l "_Tc151414114" 題型03 圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加
\l "_Tc151414115" 題型04 圖形循環(huán)規(guī)律
\l "_Tc151414116"
類型一 數(shù)式規(guī)律
題型01 記數(shù)類規(guī)律
【例1】（2023岳陽市二模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次是23、1、87、119、1411、1713…按此規(guī)律，這列數(shù)中第100個(gè)數(shù)是( )
A．299199B．299201C．301201D．303203
【答案】B
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，是不變的，變的是數(shù)字，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律，代入具體的數(shù)就可求解．
【詳解】解：由23、1、87、119、1411、1713……可得第n個(gè)數(shù)為3n-12n+1．
∵n=100，
∴第100個(gè)數(shù)為：299201
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的觀察和推理能力，通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的聯(lián)系，找出一般的規(guī)律，解決具體的問題；關(guān)鍵是找出一般的規(guī)律．
【變式1-1】（2023·山東日照·日照市新營(yíng)中學(xué)?？家荒＃┯^察下列各式：a1=1，a2=25，a3=14，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為an，且滿足則1an+1an+2=2an+1，則a2023=
【答案】13034
【分析】由題意可得an=23n-1+2，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：a1=1，a2=25，a3=14，
∵1a2+1a4=2a3，
∴125+1a4=214，即52+1a4=8，
∴a4=211，
∵1a3+1a5=2a4，
∴114+1a5=2211，即4+1a5=11，
∴a5=17，
同理可求a6=217，
∴a1=22,a2=25,a3=28,a4=211,a5=214,a6=217，…
∴an=23n-1+2，
∴a2023=232023-1+2=26068=13034，
故答案為：13034．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有一列數(shù)1，x2，7，x4，x5，…，xn，從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．
（1）則x6為 ；
（2）若xm=52，則m= ．
【答案】 16 18
【分析】（1）根據(jù)從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)直接計(jì)算即可；
（2）根據(jù)（1）中計(jì)算的前幾個(gè)數(shù)找到規(guī)律xn=3n-2，根據(jù)xm=52列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，
∴x2=12(1+7)=4，
∴7=12(x2+x4)=12(4+x4)，解得x4=10，
∴x4=12(7+x5)，即10=12(7+x5)，解得x5=13，
∴x5=12(x4+x6)，即13=12(10+x6)，解得x6=16，
故答案為：16；
（2）解：根據(jù)前面幾項(xiàng)x1=1,x2=4,x3=7,x4=10,x5=13,x6=16,?，可知規(guī)律為xn=3n-2，
∴xm=3m-2=52，即3m=54，解得m=18，
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)計(jì)算及數(shù)字規(guī)律的尋找，準(zhǔn)確理解題意，并根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023六安市模擬）判斷下面各式是否成立
（1）223=223 （2）338=338 （3）4415=4415
探究：①你判斷完上面各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：5524=_____
②用含有n的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明n的取值范圍，并給出證明
【答案】都正確①5524②n+nn2-1=nnn2-1(n≥2)，證明見解析．
【分析】（1）①利用已知即可得出命題正確，同理即可得出其他正確性，猜想可得出5524=5524；
②利用①的方法，可以得出規(guī)律，并加以證明即可．
【詳解】解：①上面三題都正確，
223=223，
223=83=223；
338=338，
338=278=338；
4415=4415，
4415=6415=4415；
∴5524=5524；
②上面規(guī)律：n+nn2-1=nnn2-1n≥2，
證明：n+nn2-1=n3n2-1=nnn2-1.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-4】（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：
第1個(gè)等式：1+1+12-12=2
第2個(gè)等式：2+13+14-112=52
第3個(gè)等式：3+15+16-130=103
第4個(gè)等式：4+17+18-156=174…，
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第5個(gè)等式：__________；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：__________（用含n的等式表示），并證明．
【答案】(1)5+19+110-190=265；
(2)n+12n-1+12n-12n(2n-1)=n2+1n，證明見解析．
【分析】將所給等式，豎列排放，觀察各式子的分母之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)：等式左邊第一個(gè)分母比第二個(gè)分母小1，第三個(gè)分母是前兩個(gè)分母的乘積，等式的右邊分母是序數(shù)，分子是分母的平方再加1.
【詳解】（1）第5個(gè)等式為：5+19+110-190=265，
故答案為：5+19+110-190=265．
（2）猜想第n個(gè)等式為：n+12n-1+12n-12n(2n-1)=n2+1n．
證明：∵左邊=n+12n-1+12n-12n(2n-1)
=n+2n+(2n-1)-12n(2n-1)
=n+4n-22n(2n-1)
=n+2(2n-1)2n(2n-1)
=n+1n
=n2+1n，
右邊=n2+1n，
左邊=右邊，
∴等式成立．
故答案為：n+12n-1+12n-12n(2n-1)=n2+1n．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，以及分式的加減法，根據(jù)等式中各數(shù)字的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式1-5】（2023·安徽宣城·校聯(lián)考一模）先觀察下列各式：
1=1；
1+3=4=2；
1+3+5=9=3；
1+3+5+7=16=4
(1)計(jì)算：1+3+5+7+9 ；
(2)已知n為正整數(shù)，通過觀察并歸納，
請(qǐng)寫出： 1+3+5+7+9+11+...+2n-1＝ ；
(3)應(yīng)用上述結(jié)論，請(qǐng)計(jì)算4+12+20+28+36+44+...+204的值．
【答案】(1)6
(2)n
(3)52
【分析】（1）先求出1+3+5+7+9的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可；
（2）觀察可知左邊根式里面都是奇數(shù)，等式右邊的結(jié)果是等式左邊根號(hào)里面最后一個(gè)數(shù)加1后的一半，據(jù)此規(guī)律求解即可；
（3）把根號(hào)里面的數(shù)字提取公因數(shù)4，然后根據(jù)（2）的規(guī)律求解即可．
【詳解】（1）解：1+3+5+7+9=25=5，
故答案為：5
（2）解：∵1=1，
1+3=4=2，
1+3+5=9=3，
1+3+5+7=16=4
……
∴可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律1+3+5+7+9+11+...+2n-1=n
（3）解：4+12+20+28+36+44++204
=4×1+3+5+7+9+……+51
=4×1+3+5+7+9+……+2×26-1
=4×262
=52．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與實(shí)數(shù)相關(guān)的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
題型02 乘方類規(guī)律
【例2】（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：x、-2x2、4x3、-8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．-256x9B．256x9C．-512x9D．512x9
【答案】B
【分析】根據(jù)已知的式子可以得到系數(shù)是以-2為底的冪，指數(shù)是式子的序號(hào)減1，x的指數(shù)是式子的序號(hào)．
【詳解】解：第9個(gè)單項(xiàng)式是-29-1x9=256x9．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號(hào)、次數(shù)與式子的序號(hào)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）為了求1+2+22+?+22023的值，可令S=1+2+22+?+22023，則2S=2+22+23+?+22024，因此2S-S=22024-1，所以1+2+22+?+22023=22024-1，仿照以上推理計(jì)算出1+3+32+?+32023的值是（ ）
A．1-320242B．3-320242C．32024-12D．3-2024-32
【答案】C
【分析】令S=1+3+32+?+32023，則3S=3+32+33+?+32024，再將第二個(gè)等式與第一個(gè)等式左右兩邊相減求出3S-S的值即可求解．
【詳解】解：令S=1+3+32+?+32023①，
∴3S=3+32+33+?+32024②，
②減①，得：3S-S=32024-1，
∴S=32024-12，
即1+3+32+?+32023=32024-12．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022隨州市一模）我們知道，一元二次方程x2=﹣1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于﹣1，若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)i，使其滿足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一個(gè)根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，從而對(duì)任意正整數(shù)n，我們可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值為（ ）
A．0B．1C．﹣1D．i
【答案】D
【詳解】試題解析：由題意得，i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=-1
故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0
∵20174=504…1
∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2017=i
故選：D
【變式2-3】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）找規(guī)律數(shù)：0，6，16，30，48，…，則第n個(gè)為 （用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】2(n2-1)
【分析】現(xiàn)將這列數(shù)除以2，再利用平方差公式尋找規(guī)律即可求解
【詳解】解：將原數(shù)列，每個(gè)數(shù)除以2，得到新數(shù)列，為：0，3，8，15，24，…，
可以發(fā)現(xiàn)：
0=1-1=12-1，
3=4-1=22-1，
8=9-1=32-1，
15=16-1=42-1，
24=25-1=52-1，
．．．
依次類推，可知新數(shù)列的第n個(gè)數(shù)為：n2-1，
則原數(shù)列的第n個(gè)數(shù)為：2(n2-1)，
故答案為：2(n2-1)．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用平方差公式找到數(shù)字的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2-4】觀察等式：1=1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……猜想1+3+5+7+???+2019= .
【答案】10102.
【分析】觀察給出的等式得到：從1開始的連續(xù)2個(gè)奇數(shù)和是22，連續(xù)3個(gè)奇數(shù)和是32，連續(xù)4個(gè)，5個(gè)奇數(shù)和分別為42，52…根據(jù)規(guī)律即可猜想從1開始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和，據(jù)此可解.
【詳解】解：∵從1開始的連續(xù)2個(gè)奇數(shù)和是22，連續(xù)3個(gè)奇數(shù)和是32，連續(xù)4個(gè)，5個(gè)奇數(shù)和分別為42，52…；
∴從1開始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2；
∴2n-1=2019；
∴n=1010；
∴1+3+5+7…+2019=10102；
故答案是：10102.
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律型題的掌握，關(guān)鍵是要對(duì)給出的等式進(jìn)行仔細(xì)觀察分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解題．
題型03 表格類規(guī)律
【例3】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分將每個(gè)菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對(duì)的兩對(duì)數(shù)分別相乘，再相減，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48．
（1）請(qǐng)證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；
（2）若用一個(gè)如圖所示菱形框，再框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435，求出這5個(gè)數(shù)的最大數(shù)；
（3）小明說：他用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120．直接判斷他的說法是否正確．（不必?cái)⑹隼碛桑?br>【答案】（1）見解析；（2）29；（3）他的說法不正確
【分析】（1）設(shè)中間的數(shù)為a，則另外4個(gè)數(shù)分別為（a?7），（a?1），（a＋1），（a＋7），利用（a?1）（a＋1）?（a?7）（a＋7）＝48可證出結(jié)論；
（2）設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x，則最小數(shù)為（x?14），根據(jù)兩數(shù)之積為435，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為y，則最小數(shù)為（y?14），根據(jù)兩數(shù)之積為120，可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值，由該值在第一列可得出小明的說法不正確．
【詳解】（1）證明：設(shè)中間的數(shù)為a，
∴a-1a+1-a-7a+7=a2-1-a2-49
=a2-1-a2+49=48．
（2）解：設(shè)這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x，
由題意，得xx-14=435，
解方程，得x1=29，x2=-15（不合題意，舍去）．
答：這5個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是29．
（3）他的說法不正確．
解：設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為y，則最小數(shù)為（y?14），
依題意，得：y（y?14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝?6（不合題意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合題意，
∴小明的說法不正確．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及菱形的性質(zhì)，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】觀察表格，回答問題：
(1)表格中x=________，y=________；
(2)從表格中探究a與a數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問題：
①已知10≈3.16，則1000≈________；
②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代數(shù)式表示b，則b=________；
(3)試比較a與a的大小．
當(dāng)________時(shí)，a>a；當(dāng)________時(shí)，a=a；當(dāng)________時(shí)，a

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類型一 新定義型-2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難題型突破

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2021中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專練：規(guī)律探究問題

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