專題17 新定義型二次函數(shù)問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學復習重難點與壓軸題型專項訓練-試卷下載-教習網(wǎng)

?備戰(zhàn)2022年中考復習重難點與壓軸題型專項訓練
專題17 新定義型二次函數(shù)問題
【專題訓練】
一、解答題
1．（2021·安徽九年級學業(yè)考試）如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線C1上，那么我們稱拋物線C1與C2為“互相關聯(lián)”的拋物線．如圖，已知拋物線與是“互相關聯(lián)”的拋物線，點A，B分別是拋物線C1，C2的頂點，拋物線C2經(jīng)過點D（6，－1）.
（1）直接寫出點A，B的坐標和拋物線C2的解析式．
（2）拋物線C2上是否存在點E，使得△ABE是以AB為直角邊的直角三角形?如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

【答案】
（1）由拋物線可得
A（－2，－1）
由拋物線C2:y2＝ax2＋x＋c過點A，D（6，－1）
得；解得
故拋物線C2的解析式為y2＝－x2＋x＋2.
∵y2＝－x2＋x＋2.
＝（x－2）2＋3，
∴點B的坐標為（2，3）.
（2）存在.
設點E的坐標為（m，m2＋m＋2）.
∵A（－2，－1），B（2，3），
∴AB2＝（2＋2）2＋（3＋1）2＝32，
AE2＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，
BE2＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2.
①當點A為直角頂點時，有AB2＋AE2＝BE2，
即32＋（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2
＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2，
解得m1＝－2（不合題意，舍去），m2＝10，
∴E（10，－13）.
②當點B為直角頂點時，有AB2＋BE2＝AE2，
即32＋（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2
＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，
解得m3＝6，m4＝2（不合題意，舍去），
∴E（6，－1）.
綜上所述，當E的坐標為（6，－1）或（10，－13）.
【點睛】
此題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和直角三角形的存在問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質及直接三角形的性質是解題關鍵.
2．（2021·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學九年級月考）定義：在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過平移后，得到一條拋物線，如果這兩條拋物線的頂點和坐標原點能構成一個等腰直角三角形，那么我們稱這兩條拋物線互為等勾股拋物線，也可以說其中一條拋物線是另一條拋物線的等勾股拋物線．

（1）求證：拋物線與拋物線是等勾股拋物線；
（2）若拋物線與拋物線是等勾股拋物線，求的值．
（3）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為A，請你直接寫出該拋物線的等勾股拋物線的解析式．
【答案】
（1），，求得頂點分別為與，
易證，與原點構成的三角形為等腰直角三角形，
故：拋物線與拋物線是等勾股拋物線；
（2）由題可知：拋物線與拋物線是等勾股拋物線，
則，拋物線的頂點為，拋物線的頂點為，
則，，，
①若以為直角頂點，則，
即：，解得，則；
②若以為直角頂點，則，
即：，解得，不符合題意，舍去；
③若以為直角頂點，則,
即：，解得或（舍去），則；
的值為或；
（3）由題意，拋物線的頂點為，，
直線的解析式為，則設直線垂線的解析式為，
①若以點為直角頂點，將代入，解得，則，
如圖，此時拋物線的等勾股拋物線的頂點應在直線上，
設其頂點坐標為，，
則由，得，解得或，
即等勾股拋物線的頂點為，
，

②若以點為直角頂點，則，
如圖，此時拋物線的等勾股拋物線的頂點應在直線上，
設其頂點坐標為，，
則由，得，解得，
即等勾股拋物線的頂點為，
，

③若以點為直角頂點，取的中點，代入中，解得，則，
如圖，此時拋物線的等勾股拋物線的頂點應在直線上，
設其頂點坐標為，，，
則由，得，解得或，
即等勾股拋物線的頂點為，
，

綜上，拋物線的等勾股拋物線的解析式有：
，
，
，
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合問題，審清題意，抓住定義，分類討論是解決問題的關鍵．
3．（2021·吉林長春市·九年級其他模擬）定義：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點P的坐標為，點Q的坐標為，且，，若PQ為某個等腰三角形的腰，且該等腰三角形的底邊與y軸垂直，則稱該等腰三角形為點P，Q的“伴隨等腰三角形”．若P，Q為拋物線上的點，它的“伴隨等腰三角形”記為，且底邊，點M，Q均在點P的右側，設點P的橫坐標為m．
（1）若點M在這條拋物線上，求的面積；
（2）設P，Q兩點的縱坐標分別為，，比較與的大小，并求m的取值范圍；
（3）當?shù)走吷系母叩扔诘走呴L的2倍時，求點P的坐標；
（4）若P，Q是拋物線上的兩點，它的“伴隨等腰三角形PQN”以PN為底，且點N，Q均在點P的同側（左側或右側），點Q的橫坐標是點P的橫坐標的2倍，過點P，N分別作垂直于x軸的直線，．設點P的橫坐標為，該拋物線在直線，之間的部分（包括端點）的最高點的縱坐標為，直接寫出與n之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量n的取值范圍．
【答案】
解：（1）將配方，
得，
∴該拋物線對稱軸為直線，
∵點M在這條拋物線上，
∴點P，M關于直線對稱，
∴點Q即為頂點，坐標為（1，4），
∴點P的橫坐標為0，
當時，，即P點坐標為（0，3），
∴點Q到PM的距離為1，
∴；
（2）由題意，得P，Q兩點的坐標分別為
、，
由題可知，
當時，，
解得，
當時，，
解得，
∴當時，，
當時，．
（3）由題可知，當時，Q點的縱坐標比P點的縱坐標大4，
當時，Q點的縱坐標比P點的縱坐標小4，
P，Q兩點的坐標分別為、，
當時，，
解得，
∴點P的坐標為．
當時，
解得，
∴點P的坐標為，
綜上，P的坐標為或；
（4）∵Q的橫坐標是點P的橫坐標的2倍，
∴點Q的橫坐標為，
由等腰三角形可知點N的橫坐標為，
拋物線的對稱軸為直線，
當時，，之間的部分（包括端點）的最高點為頂點，
又∵P、Q兩點的縱坐標不能相同，
∴，即，
∴當，且時，，
當時，P點在y軸左側，此時最高點即為點P，
∴當時，，
當，且點P在y軸右側時，最高點即為點N，
∴當時，，
綜上所述，當時，，
當時，，
當，且時，．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合問題，注意分類討論是解題的關鍵．
4．（2021·江西南昌市·九年級其他模擬）定義：如圖，若兩條拋物線關于直線成軸對稱，當時，取在直線左側的拋物線的部分；當時，取在直線右側的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關于直線的一對兄弟拋物線．例如：拋物線與拋物線就是關于直線(軸)的一對兄弟拋物線．

（1）求拋物線關于直線的“兄弟拋物線”所對應的函數(shù)解析式；
（2）設拋物線交軸于點，交直線于點．
①當直線平行于軸時，求的值；
②當是直角時．求拋物線關于直線的“兄弟拋物線”頂點的橫坐標；
③已知點的坐標分別為，直接寫出拋物線及其關于直線的“兄弟拋物線”與矩形不同的邊有四個公共點時的取值范圍．
【答案】
解：拋物線的頂點坐標為，
關于直線的對稱點的坐標為，
“兄弟拋物線”所對應的二次函數(shù)解析式為；
①拋物線交軸于點，
點，
直線平行于軸，拋物線交直線于點，
點，
，
(舍去)或，
；
②如圖1和圖2，

，點在軸上，
點的坐標是，
把代入中，
得，解得：或，
的頂點橫坐標為，
∴拋物線的頂點橫坐標為或，
則拋物線關于直線的“兄弟拋物線”的頂點橫坐標為或，
“兄弟拋物線”的頂點橫坐標為或；
③如圖3和圖4，

點的坐標分別為，點，拋物線及其關于直線的“兄弟拋物線”與矩形不同的邊有四個公共點，
點在軸下方．
設則．
把代入中，得，
，
如圖，由二次函數(shù)圖象可知：當時，或；

所以m的取值范圍是：或．
【點睛】
本題是新定義試題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、對“兄弟拋物線”的理解與應用以及二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關系，綜合性強、難度較大，屬于中考壓軸題，正確理解題意、熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質、靈活應用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．
5．（2021·吉林長春市·九年級其他模擬）定義：函數(shù)的伴隨函數(shù)是．如：函數(shù)的伴隨函數(shù)是．
（1）函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，求它的伴隨函數(shù)；
（2）函數(shù)的圖像與它的伴隨函數(shù)圖像交于A，B兩點（點A在點B的左側），與伴隨函數(shù)的對稱軸交于點P，它的伴隨函數(shù)圖像交軸于C，D兩點（點C在點D的左側），伴隨函數(shù)的圖像經(jīng)過點(-l，0)．設的面積為S．
①函數(shù)與它的伴隨函數(shù)圖像交于點(________，________)，(________，________)（用含b的代數(shù)式表示）；
②當伴隨函數(shù)的對稱軸在直線右側時，求S與b之間的函數(shù)關系式；
（3）函數(shù)圖像與它的伴隨函數(shù)圖像交于A，B兩點（點A在點B的左側）．與x軸交于點Q，點A關千它的伴隨函數(shù)對稱軸的對稱點為點，當是等腰直角三角形時，直接寫出c的值．
【答案】
解：（1）把（3，0），（0，－3）代入中，
得解得
∴伴隨函數(shù)是.
（2）①解得
或，
伴隨函數(shù)經(jīng)過，
，
函數(shù)與它的伴隨函數(shù)圖象相交于點，
故答案為：，；
②由①知，
伴隨函數(shù)經(jīng)過，
，
函數(shù)的伴隨函數(shù)是
令y=0，得

函數(shù)當時，.
當時，.
當時，.
（3）分兩種情況討論：
當b>0時，，
點A關于對稱軸的對稱點，
①當時，，等腰直角三角形中
；
②當時，，，，；
當b

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