1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線段、上的動點(diǎn)，求的最小值．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、，連接，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，求的最小值．
3．如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
4．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)，求的最小值．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)是軸正半軸上的點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別為線段、上的動點(diǎn)，求的最小值．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的定點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為的中點(diǎn)，點(diǎn)、為邊上兩個動點(diǎn)，且，求四邊形的周長最小值．
7．如圖，拋物線過點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時，求的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
8．如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點(diǎn)，連接，，．
（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當(dāng)周長最小時，求的度數(shù)；
（3）如圖③，若四邊形為正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．
9．如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為軸正半軸和拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，連接、、，求四邊形周長最小時點(diǎn)、的坐標(biāo)．
10．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)是線段上方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．求線段的最大值．
11．（1）【問題解決】已知點(diǎn)在內(nèi)，過點(diǎn)分別作關(guān)于、的對稱點(diǎn)、.
①如圖1，若，請直接寫出______；
②如圖2，連接分別交、于、，若，求的度數(shù)；
③在②的條件下，若度（），請直接寫出______度（用含的代數(shù)式表示）.
（2）【拓展延伸】利用“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”這個結(jié)論，解答問題：如圖3，在中，，點(diǎn)是內(nèi)部一定點(diǎn)，，點(diǎn)、分別在邊、上，請你在圖3中畫出使周長最小的點(diǎn)、的位置（不寫畫法），并直接寫出周長的最小值.
評卷人
得分
一、解答題
評卷人
得分
二、作圖題
參考答案：
1．
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CH的長度，CH的長度即為的最小值．
【詳解】解：如解圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴此時最短，即的值最?。?br>∵、、，
∴，．
∴為等腰直角三角形．
∴．
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短、角平分線的性質(zhì)得到CH的長度即為的最小值是解題的關(guān)鍵．
2．
【分析】如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．可得的最小值為AD的長， 在等腰直角三角形ACD中，求出AD的長即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
∵、、，
∴，．
∴為等腰直角三角形．
∴．
∴．
∵，
∴此時的值最小，最小值為的長．
∵，，
∴．
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題考查了本題考查軸對稱-最短問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題是解題的關(guān)鍵．
3．
【分析】作B點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)作于點(diǎn)M，交對稱軸于點(diǎn)，連接，設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)．再通過解直角三角形求出NF的長，進(jìn)而即可找出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，交拋物線對稱軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，交對稱軸于點(diǎn)，連接，設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)．
易得拋物線的對稱軸為直線．
∵直線的解析式為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵，
∴．
∴，
即．
∵、關(guān)于對稱軸對稱，
∴．
∴．
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且時，的值最小，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線對稱軸為直線，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：．
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、軸對稱的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識進(jìn)行解題，注意尋找F點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，此處在直角三角形中利用了角的三角函數(shù)值尋找到點(diǎn)F的位置．
4．（1）；（2），；（3）
【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）由條件可得BE?DE=OE?EM，設(shè)D(a，-x2?x+1)，則可表示BE、DE、OE、EM的長，得到關(guān)于a的方程，解方程可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AE、DE長，則sin∠DAE的值可求；
（3）作D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，交軸于點(diǎn)P，則∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此時FH最小，求出最小值即可．
【詳解】解：（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入得
，解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，
令，得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為．
∵軸，∴，．
∵，∴．
設(shè)，則，
∴，，，，
∴，
解得，（舍去），（舍去），
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，則，
∵，
∴，
∴，
∴，由垂線段最短可知此時長度最小，
∵，∴，
∴，
∴，
∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，垂線段最短，軸對稱的性質(zhì)，以及解直角三角形的知識，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．
5．
【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，當(dāng)時，長度最小，即的值最小，求出即可．
【詳解】解：如解圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，由垂線段最短可知，當(dāng)時，長度最小，即的值最?。?br>∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是等邊三角形．
∴，即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
6．
【分析】點(diǎn)C向右平移2單位到G，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接G，要使四邊形的周長最小，只要CE+FD最小即可．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，向右平移點(diǎn)至點(diǎn)，使，連接，與軸交于點(diǎn)，在上截?。?br>∵，，
∴四邊形為平行四邊形．
∴．
∵四邊形的周長為，，的長為定值，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r，四邊形的周長最小
∵點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
∴．∴．
∴此時得到的點(diǎn)，使四邊形的周長最小，
∵四邊形為矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，．
∵為的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∵點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴的最小值為．
∴四邊形的周長最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對學(xué)生提出了較高的要求．
7．（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，，B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，因此拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，，當(dāng)時，有最大值為2，此時，作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，與對稱軸交于點(diǎn)P．，此時最小；
（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，由，，可得，因為，，所以，可知外接圓的圓心為H，于是設(shè)，則，或，求得符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，
，
∴B的坐標(biāo)為，
將，代入，
解得，，
∴拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，
，
∴當(dāng)時，有最大值為2，
此時，
作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，與對稱軸交于點(diǎn)P．
，此時最小，
∵，
∴，
，
即的最小值為；
（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，
∵拋物線的解析式，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
可知外接圓的圓心為H，
∴
設(shè)，
則，
或
∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
8．（1）見解析；（2）；（3）．
【分析】（1）延長到點(diǎn)G,使，連接，首先證明，則有，，然后利用角度之間的關(guān)系得出，進(jìn)而可證明，則，則結(jié)論可證；
（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)有，，當(dāng)點(diǎn)、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值，然后利用求解即可；
（3）旋轉(zhuǎn)至的位置，首先證明，則有，最后利用求解即可．
【詳解】（1）證明：如解圖①，延長到點(diǎn)，使，連接，
在和中，
．
，，
，，
．
，
在和中，
．
，；
（2）解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
由對稱的性質(zhì)可得，，
此時的周長為．
當(dāng)點(diǎn)、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值．
，
．
，，
；
（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn)至的位置，
，
，．
在和中，
．
．
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．當(dāng)四邊形周長最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，交對稱軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．求出直線的解析為，進(jìn)一步可得出結(jié)論．
【詳解】如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，交對稱軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．由對稱知，，
此時四邊形的周長為．
此時四邊形的周長最小，最小值為．
，，
拋物線對稱軸為直線．
．
為的中點(diǎn)，．
．
設(shè)直線的解析式為．
將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入可得解得
直線的解析為．
令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)四邊形周長最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，四邊形與二次函數(shù)的結(jié)合，線段的和差最值與二次函數(shù)的結(jié)合，將不共線的線段轉(zhuǎn)化為共線為解題關(guān)鍵．
10．
【分析】先令y=0求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再令x=0求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上表示出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)也為m，根據(jù)點(diǎn)D在直線BC上表示出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可以用含m的代數(shù)式表示出線段PD的長，最后利用二次函數(shù)的最值即可得出答案.
【詳解】解：與軸交于、兩點(diǎn)，
令，即．
解得，．
點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
、．
與軸交于點(diǎn)，
．
易得直線的解析式為．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
，
當(dāng)時，長取得最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)D的坐標(biāo)，用含m的式子表示出PD的長，將線段的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解決此題的關(guān)鍵.
11．（1）【問題解決】①；②；③；（2）【拓展延伸】如圖，見解析；周長最小值為8．
【分析】（1）①連接OP，由點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)，可得，，再由+=2（+）=2,即可求得∠AOB的度數(shù)；②由，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得；由軸對稱的性質(zhì)得，，，再由三角形外角的性質(zhì)可得，，所以，即可求得；由軸對稱的性質(zhì)可得，由四邊形的內(nèi)角和為360°即可求得； ③類比②的方法即可解答；（2）作點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對稱點(diǎn)，再作點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn) ，連結(jié)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，此時的周長最小，最小為的長，由①的方法求得∠A=60°，A=A，再由“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可判定△A是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得=AP=8，由此即可得周長最小值為8．
【詳解】（1）①連接OP，
∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)，
∴，，
∴+=2（+）=2,
故答案為50°；
②如圖2，
∵，
∴，
由軸對稱的性質(zhì)得，，，
∵，，
∴，
∴，
由軸對稱的性質(zhì)得，，
∴；
③.
如圖2，
∵，
∴，
由軸對稱的性質(zhì)得，，，
∵，，
∴，
∴，
由軸對稱的性質(zhì)得，，
∴=；
故答案為；
（2）如圖所示，的周長最小，周長最小值為8．
①畫點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對稱點(diǎn)，
②畫點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn) ，
③連結(jié)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，
此時的周長最小，周長最小值為8．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱作圖及最短路徑問題，熟練線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

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