一、單選題
1．設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】的元素用來表示，再利用集合間的基本關(guān)系選擇正確答案.
【詳解】因為，所以．
故選：A.
2．已知，則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由復(fù)數(shù)除法求得后，根據(jù)定義可得．
【詳解】，所以虛部為．
故選：C．
3．若，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】將利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的關(guān)系，把正弦和余弦化為正切可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】因為，，
所以．
故選：D．
4．在三棱臺中，截面與底面平行，若，且三棱臺的體積為1，則三棱臺的體積為（ ）
A．5B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】將三棱臺補成三棱錐，根據(jù)面積比轉(zhuǎn)換為邊長比，再由三棱錐和三棱臺的體積比與邊長比的關(guān)系，即可求出三棱錐的體積以及三棱臺的體積，從而可得結(jié)論.
【詳解】將三棱臺補成三棱錐，
因為，所以，
設(shè)，三棱錐的體積為，三棱臺的體積為b，
則所以．
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點睛：將三棱臺補成三棱錐，靈活運用面積比與邊長比的關(guān)系以及體積比與邊長比的關(guān)系是解題關(guān)鍵，本題主要考查三棱臺的體積問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
5．當趨近于時，為一個無理常數(shù)，且運用不等式（當且僅當時等號成立）來研究的單調(diào)性，可得最接近的值為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．9.7875B．10.7875C．8.6331D．11.6331
【答案】A
【分析】作差判斷的單調(diào)性，即可得到，從而得解.
【詳解】因為，
所以單調(diào)遞減，則，
即．
故選：A．
6．設(shè)A，B為兩個事件，已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計算即得.
【詳解】由，得，顯然，
因此，所以．
故選：B
7．直線與函數(shù)的圖象公共點的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的零點即可得解.
【詳解】聯(lián)立與，消去y得，，
令，求導(dǎo)得，
當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，
因此，函數(shù)有唯一零點1，
所以直線與函數(shù)的圖象公共點的個數(shù)為1．
故選：B
8．如圖，將圓柱的下底面圓置于球O的一個水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球O的內(nèi)壁相接（球心O在圓柱內(nèi)部），已知球O的半徑為3，，則圓柱體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.
【詳解】
設(shè)R為圓上任意一點，過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，當點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，所以，
令，所以，
所以，另，解得兩根
所以，
所以在時單調(diào)遞減，
所以．
故選：B．
【點睛】考查運用導(dǎo)數(shù)求最值的方法；先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.
二、多選題
9．8名學生參加跑的成績（單位：s）分別為13.10，12.99，13.01，13.20，13.01，13.20，12.91，13.01，則（ ）
A．極差為0.29B．眾數(shù)為13.01
C．平均數(shù)近似為13.05D．第75百分位數(shù)為13.10
【答案】ABC
【分析】根據(jù)極差，眾數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)的概念逐項分析．
【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：12.91，12.99，13.01，13.01，13.01，13.10，13.20，13.20.
對于A：極差為，故A正確；
對于B：這組數(shù)據(jù)中13.01出現(xiàn)3次，眾數(shù)為13.01，故B正確；
對于C：平均數(shù)為，故C正確；
對于D：因為共有8個數(shù)據(jù)，所以，則第75百分位數(shù)為．所以D錯誤．
故選:ABC．
10．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則a的值可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由題意，函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，
所以，解得，
故選:BC．
11．若滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】令，代入已知條件，再由判別式可求得的范圍，從而可判斷A,B選項，將已知條件變形為，再由均值不等式可得的范圍，再利用代入法并化簡即可判斷C,D選項.
【詳解】令，即，代入可得：
.
所以, 解得 , 所以 A 正確. B 正確；
由 可變形為 ,
因為 , 將代入上式可得：
,
解得 , 所以不正確, D正確.
故選：.
12．定義函數(shù):①對;②當時，，記由構(gòu)成的集合為M，則（ ）
A．函數(shù)
B．函數(shù)
C．若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．若，則對任意給定的正數(shù)s，一定存在某個正數(shù)t，使得當時，
【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定函數(shù)的定義，結(jié)合各選項中的函數(shù)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當時，，則
，則不屬于M，A錯誤；
對于B，，則當時，，
，
由，得，則
即，因此屬于M，B正確；
對于C，由，則對任意都有，且，
，則，，
于是，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；
對于D，對給定的正數(shù)s，若，則取，使得當時，由選項C知，恒有，
若，依題意，對于任意s，都有，且，
于是，同理，隨著n的無限增大，無限趨近于0，
因此存在，則取，使得當時，恒有，D正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)新定義的正確理解，注意合理分析問題及正確計算.
三、填空題
13．若拋物線上一點A的橫坐標為，且A到C的焦點的距離為，則A點的一個縱坐標為 ．（寫出一個符合條件的即可）
【答案】或（寫出一個符合條件的即可）
【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)運算即可得出，根據(jù)點A的橫坐標代入拋物線從而可求出答案.
【詳解】因為準線方程為，所以，
所以，所以，
點A的橫坐標為，
所以A點的縱坐標為．
故答案為：或.（寫出一個符合條件的即可）
14．向量在向量上的投影向量為 ．（寫出坐標）
【答案】
【分析】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案.
【詳解】由，得，，
設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為.
故答案為：.
15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則正數(shù)ω的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先求得函數(shù)的零點，再利用題給條件列出關(guān)于正數(shù)ω的不等式，解之即可求得正數(shù)ω的取值范圍.
【詳解】由，可得，即，
令，則
又在區(qū)間內(nèi)沒有零點，
則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，
又，則正數(shù)ω滿足，
則，則，解之得，
則正數(shù)ω的取值范圍是.
故答案為：
16．橢圓的右焦點為F，若過定點的直線l與C交于A，B兩點，則面積的最大值為 ．
【答案】/
【分析】設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法得到面積的表達式，再利用均值定理即可求得面積的最大值.
【詳解】橢圓的右焦點，令定點，
由題意可設(shè)過定點的直線l的方程為，
不妨令,
由，整理得，
則，
由，可得，
的面積為，
則
，
令，則，
則
又 （當且僅當時等號成立）
則，則，
則，則面積的最大值為.
故答案為：
四、解答題
17．已知正項等差數(shù)列的前n項和為成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式以及等比中項的性質(zhì)，利用基本量法即可求出，從而得出通項公式；
（2）利用第（1）小問求出，再由錯位相減法進行數(shù)列求和即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，
所以,
因為成等比數(shù)列，
所以，
得 或 .
因為此數(shù)列各項均為正，
所以 得 .
（2），
所以 ，
所以 ，
兩個等式相減得, ，
所以 ,
所以 .
18．已知A，B，C，D四點逆時針排列于同一個圓O上，其中的面積為，．
(1)求邊的長；
(2)當圓心O在上時，求．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）由已知，結(jié)合三角形面積公式及余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，結(jié)合圓的性質(zhì)求出即可得解.
【詳解】（1）在中，的面積為，
則，解得，
而，于是，由余弦定理得
.
（2）由（1）知，而線段為圓的直徑，則，
因此，
所以.
五、證明題
19．如圖，平面平面，且．

(1)求證：平面平面;
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可證得平面平面;
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求得二面角的正弦值.
【詳解】（1）分別取的中點，連接，
則為的中位線，則，，
又，，則，
則四邊形為平行四邊形，則，
平面平面，平面平面，
平面，，可得平面，
又平面，則，則，
又中，，則,
又平面，則平面，
又，則平面，
又平面，則平面平面.
（2）當時，由，可得為等邊三角形，
在平面內(nèi)，過點B作，垂足為B，
又由（1）可得平面，則兩兩垂直，
以B為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖：
則,
則
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則，則；
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則，則；
則，
設(shè)二面角的大小為，則，
又，則

則二面角的正弦值為．
六、解答題
20．某公司建有1000個銷售群，在某產(chǎn)品的銷售旺季，所有群銷售件數(shù)X服從正態(tài)分布，其中，公司把銷售件數(shù)不小于596的群稱為“A級群”，銷售件數(shù)在內(nèi)的群為“B級群”，銷售件數(shù)小于266的群為“C級群”．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)該公司決定對每個“A級群”獎勵1000元，每個“B級群”獎勵500元，每個“C級群”獎勵200元，那么公司大約需要準備多少獎金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）
附：若，，則，，．
【答案】(1)
(2)464100
【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，分和兩種情況求解可得；
（2）根據(jù)原則求出和，然后求出各級群個數(shù)，即可求出所需獎金.
【詳解】（1）由正態(tài)分布的對稱性可知，若，
當，即時，因為，
所以有，得；
當，即時，要使，
則有，解得（舍去）.
綜上，a的取值范圍為.
（2）因為
所以，
，
所以A級群有個，B級群有個，
C級群有個，
所以，公司大約需要準備獎金元.
21．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，且左焦點到一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過的直線與交于、兩點，且，若點滿足，證明：在一條定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意，設(shè)雙曲線的標準方程為，根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出雙曲線的方程；
（2）設(shè)點、、，利用向量的線性運算可得出，，將等式相乘，結(jié)合平方差公式可得出的值，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：因為雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線的標準方程為，
則雙曲線的漸近線方程為，即，
雙曲線的左焦點到一條漸近線的距離為，
又因為雙曲線的漸近線方程為，即，可得，
因此，雙曲線的方程為.
（2）解：設(shè)點、、，
因為，則，所以，，
因為，則，所以，，
所以，，，
所以，，即，
因此，點在直線上.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考察點在定直線上，解題的關(guān)鍵在于設(shè)出所求點的坐標為，根據(jù)向量的線性運算得出關(guān)于、的線性關(guān)系式，進而證得結(jié)論成立.
七、證明題
22．已知函數(shù)．
(1)當時，比較與的大??；
(2)若函數(shù)，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造，，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后可得；
（2）構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性得，再利用單調(diào)性得，問題轉(zhuǎn)化為證明，然后再構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)進行證明．
【詳解】（1）設(shè)，，
, 所以在上是增函數(shù)，
又，所以時，即，
綜上，時，；
（2）設(shè)，
時，，，則恒成立，
因此由得，同理，
又，所以，
，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，
要證，只要證，也只要證，
又，則，
設(shè)，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，
所以，所以，從而得證．
【點睛】方法點睛：高中數(shù)學中不等式的證明，常常通過構(gòu)造函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得子網(wǎng)函數(shù)值的大小，為此需要求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，在此過程中可能需要多次求導(dǎo)（當然需要多次構(gòu)造函數(shù)）才能得出最終結(jié)論．

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