一、填空題
1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿足，則 .
【答案】
【解析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，利用共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．
【詳解】解：由，
得，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題．
2．若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】變換，根據(jù)題意得到，解得答案.
【詳解】，，即，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，
解得.
故答案為：.
3．設(shè)函數(shù)，若，則 ．
【答案】
【分析】利用函數(shù)奇偶性即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵O(shè)函數(shù)，，
所以，
，
故答案為：.
4．已知向量則的最大值為 ．
【答案】
【詳解】根據(jù)題意，由于向量則可知=，那么可知當(dāng)取得最大值時(shí)，即可知當(dāng)=-1時(shí)，滿足題意，最大值為3，故可知答案為3.
【解析】向量的數(shù)量積
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
5．已知，若，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】代入計(jì)算得，再利用基本不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>，
因此 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.
故答案為：.
6．?dāng)?shù)列滿足，則 ．
【答案】
【分析】利用遞推公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
【詳解】，兩式相減得，在中令代入得時(shí)
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了遞推公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
7．若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
8．已知直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率均大于0，的傾斜角是的兩倍，是雙曲線的一條漸近線，過(guò)的右焦點(diǎn)作的垂線，垂足為.若恰好在上，則的離心率為 ．
【答案】
【分析】先延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由的傾斜角是的兩倍，可得是與軸夾角的角平分線，所以,進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，然后再求出的坐標(biāo)，結(jié)合的坐標(biāo)即可得到的坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可求出結(jié)果.
【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)榈膬A斜角是的兩倍，所以是與軸夾角的角平分線，
因此，所以,因?yàn)槭请p曲線的一條漸近線，所以可得的方程為：，所以可得,又，所以,
因?yàn)槿羟『迷谏?，所以，整理得?
故,解得，因?yàn)?，所?
即答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，需要熟悉雙曲線的結(jié)構(gòu)特征，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等，屬于基礎(chǔ)題型.
9．如圖，將一個(gè)大等邊三角形分成三個(gè)全等三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形，設(shè).若在大等邊三角形內(nèi)任取一點(diǎn)P，則該點(diǎn)取自小等邊三角形內(nèi)的概率為 .
【答案】
【分析】設(shè)，由正弦定理可得，從而可求的值，再由正弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)所求概率為代入即可求解.
【詳解】解：設(shè)，由題意可得，化簡(jiǎn)得，，
又由正弦定理可得，即，
所以所求概率為，
故答案為：.
10．對(duì)于正整數(shù),記表示的最大奇數(shù)因數(shù)，例如.設(shè).當(dāng)時(shí)， ．
【答案】
【分析】通過(guò)計(jì)算觀察可知與，從而利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和與遞推式即可得解.
【詳解】通過(guò)計(jì)算可得，
所以由此可以發(fā)現(xiàn)與，
則
，
所以.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是如何觀察出規(guī)律“”及“是等差數(shù)列”，這是解答本題的關(guān)鍵和突破口，從而巧妙獲解．
11．已知矩形ABCD中，分別為，的中點(diǎn)．將沿直線翻折至的位置，若為的中點(diǎn)，則 ；為的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中，當(dāng)為正三角形時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是 .
【答案】
【分析】由題意畫出圖形，取中點(diǎn)P，連接PG，PE，則四邊形PECG為平行四邊形，從而可得，計(jì)算即可；當(dāng)為正三角形時(shí)，其邊長(zhǎng)為，進(jìn)一步可得三棱錐的外接球的半徑，由球體表面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：取中點(diǎn)P，連接PG，PE，則PG是的中位線，所以，
又因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，，所以，，
則四邊形PECG為平行四邊形，所以；
因?yàn)?，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，H為AE的中點(diǎn)，所以HF為中位線，所以，
由為直角三角形，所以AD中點(diǎn)F為的外接圓的圓心，且，
設(shè)三棱錐的外接球的球心為O，
由為正三角形，所以，
所以球心O在平面AED下方，且，
所以，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，
則．
連接，在中，由得，
在中有余弦定理得，
即
由解得
所以三棱錐的外接球的表面積是．
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.
12．定義全集的子集的特征函數(shù)，這里表示在全集中的補(bǔ)集，那么對(duì)于集合、，下列所有正確說(shuō)法的序號(hào)是 .
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）（2）（4）
【解析】利用特征函數(shù)的定義知：（1）由，對(duì)與、關(guān)系分類討論，可得（1）正確；利用特征函數(shù)的定義可判斷（2）的正誤；取特殊值情況，利用定義可判斷（3）的正誤；利用集合運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可判斷（4）的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】（1），分類討論：
①當(dāng)，則，此時(shí)；
②當(dāng)，且，即，此時(shí)；
③當(dāng)，且，即時(shí)，，，此時(shí).
綜合有，故（1）正確；
（2），故（2）正確；
（3）假設(shè)，任取，則，則，但，則，故（3）不正確；
（4）
，故（4）正確.
故答案為：（1）（2）（4）.
【點(diǎn)睛】本題考查子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換及應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意特征函數(shù)的定義的靈活運(yùn)用．
二、單選題
13．已知集合，集合，則C的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．8C．7D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到集合，然后求子集個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由題意得，所以集合的子集的個(gè)數(shù)為.
故選：B.
14．在銳角中，若，且，則能取到的值有（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】由得到，再根據(jù)正弦定理將化簡(jiǎn)整理可得，由為銳角三角形得到，根據(jù)正弦定理可得，最后結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公式即可求解.
【詳解】由，
又，
所以，則.
因?yàn)椋?br>根據(jù)正弦定理得，
故，
即，
所以，
即，
根據(jù)正弦定理得，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，即，
解得，
所以
，
因?yàn)椋?br>所以，則，
所以，即.
故選： D.
15．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3
【答案】D
【分析】轉(zhuǎn)化為與的函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)與的函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，
畫出的圖象與，的圖象，如下：
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2或3.
故選：D
16．已知點(diǎn)．若曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則稱為“正三角形”曲線．給定下列三條曲線：
①；②；③．
其中，“正三角形”曲線的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】對(duì)①，曲線為線段，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，可算得，可得等腰頂角大于，即可判斷；
對(duì)②，曲線為圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓在第三象限內(nèi)的四分之一圓弧，A在曲線上，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
由圓的性質(zhì)可得最小值為且為鈍角，即可判斷；
對(duì)③， 易知存在半徑的圓A與曲線相切，當(dāng)時(shí)，交曲線于B，C，可得，連續(xù)變化，則存在r令，即可判斷.
【詳解】對(duì)①，因?yàn)辄c(diǎn)A不在直線上，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，因?yàn)?，即?br>所以存在兩點(diǎn) ，使為正三角形，如圖所示，所以①是“正三角形”型曲線．

對(duì)②，的圖形是圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓在第三象限內(nèi)的四分之一圓弧，A在曲線上，
曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)弧長(zhǎng) ，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為，則最小值為，
由圓的性質(zhì)可知為鈍角，所以②不是“正三角形”型曲線．

③如圖所示，易知存在半徑為的圓A與曲線相切，
當(dāng)，圓A交曲線于B，C，連AB、AC與y軸分別交于M，N，
則當(dāng)時(shí)，，，所以且遠(yuǎn)大于，則，
當(dāng)，連續(xù)變化，即存在r令，此時(shí)為正三角形，故③是“正三角形”型曲線．

故選：C．
三、解答題
17．某烹飪學(xué)院為了弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)的飲食文化，舉辦了一場(chǎng)由在校學(xué)生參加的廚藝大賽，組委會(huì)為了了解本次大賽參賽學(xué)生的成績(jī)情況，從參賽學(xué)生中抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，將所得數(shù)經(jīng)過(guò)分析整理后畫出了評(píng)論分布直方圖和莖葉圖，其中莖葉圖受到污染，請(qǐng)據(jù)此解答下列問(wèn)題：
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)規(guī)定大賽成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生為廚霸，在的學(xué)生為廚神，現(xiàn)從被稱為廚霸、廚神的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人取參加校際之間舉辦的廚藝大賽，求所取2人中至少有1人是廚神的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出樣本容量，從而求出的值和平均數(shù)；
（2）分別求出廚霸與廚神的人數(shù)，求出所取2人至少中有1人是廚神的對(duì)立事件，再結(jié)合古典概型計(jì)算公式，即可得到結(jié)果
【詳解】（1）由題意得:，
．
此次參加廚藝大賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?
（2）由題意得廚霸有人，
廚神有人，
從中任取2人，基本事件總數(shù)，
所取2人至少中有1人是廚神的對(duì)立事件是所取2人都是廚霸為，
∴所取2人中至少有1人是廚神的概率.
18．如圖1，四邊形PBCD是等腰梯形，，，，A為PD的中點(diǎn)，將沿AB折起，如圖2，點(diǎn)M是棱PD上的點(diǎn).
(1)若M為PD的中點(diǎn)，證明：平面ABM；
(2)若，試確定M的位置，使二面角M-AB-D的余弦值等于.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)是靠近的三等分點(diǎn).
【分析】（1）證明平面得到，證明，再判斷四邊形為平行四邊形，得到，得到證明.
（2）計(jì)算，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，得到兩平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）四邊形PBCD是等腰梯形，，，，
故，四邊形為菱形.
分別為中點(diǎn)，連接，則，，
，故平面，平面，故，
，是中點(diǎn)，故，
M為PD的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，故，，故，
故四邊形為平行四邊形，故，即，
，故平面ABM.
（2）在中，，，故，
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，，，則，
則，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取得到，，故，
，故，即，即是靠近的三等分點(diǎn).
19．某數(shù)學(xué)建模小組研究擋雨棚（圖1），將它抽象為柱體（圖2），底面與全等且所在平面平行，與各邊表示擋雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向與外墻（所在平面）所成角為（即），擋雨棚有效遮擋的區(qū)域?yàn)榫匦危?、分別在、延長(zhǎng)線上）.
(1)擋雨板（曲面）的面積可以視為曲線段與線段長(zhǎng)的乘積．已知米，米，米，小組成員對(duì)曲線段有兩種假設(shè)，分別為：①其為直線段且；②其為以為圓心的圓弧.請(qǐng)分別計(jì)算這兩種假設(shè)下?lián)跤臧宓拿娣e（精確到0.1平方米）；
(2)小組擬自制部分的支架用于測(cè)試（圖3），其中米，，，其中，求有效遮擋區(qū)域高的最大值.
【答案】(1)①平方米②平方米
(2)0.3米
【分析】（1）分別按照直線段與圓弧計(jì)算BC的長(zhǎng)，代入面積公式即可得解；
（2）根據(jù)正弦定理求出，再由三角恒等變換求最大值即可得解.
【詳解】（1）①其為直線段且時(shí)， 米，
所以在中，，即（米）.
所以（平方米）；
②其為以為圓心的圓弧時(shí)，此時(shí)圓的半徑為（米），
圓心角，所以圓弧的長(zhǎng)，
所以（平方米）
（2）由題意，，，
由正弦定理可得：，
即
，其中，
當(dāng)，即時(shí)，（米）.
即有效遮擋區(qū)域高的最大值為米.
20．設(shè)正整數(shù)m，n滿足，，，，…，為集各的n元子集，且；
（1）若，滿足；
（i）求證：；
（ii）求滿足條件的集合的個(gè)數(shù)；
（2）若中至多有一個(gè)元素，求證：.
【答案】（1）（i）證明見(jiàn)解析；（1）（ii）；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）（i）設(shè)中的個(gè)元素滿足，則得到，得到證明.
（1）（ii）從個(gè)元素中選不相鄰的個(gè)元素，即等價(jià)于將剩余的個(gè)元素排成一排，
形成空，共有種放法，得到答案.
（2）根據(jù)題意知，沒(méi)有相同的二元集合，中所有的二元集合個(gè)數(shù)為，
的二元集合個(gè)數(shù)為，故，得到證明.
【詳解】（1）（i）設(shè)中的個(gè)元素滿足，，滿足，
故，故.
（1）（ii）從個(gè)元素中選不相鄰的個(gè)元素，即等價(jià)于將剩余的個(gè)元素排成一排，
形成空，共有種放法，故共有個(gè)集合.
（2）根據(jù)題意知，沒(méi)有相同的二元集合，中所有的二元集合個(gè)數(shù)為，
的二元集合個(gè)數(shù)為，故，即.
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的證明問(wèn)題，集合的個(gè)數(shù)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
21．已知，曲線、的方程分別為和，與在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)．
(1)若，求的值；
(2)若，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在曲線上，求的最小值；
(3)已知點(diǎn)、在曲線上，點(diǎn)、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，設(shè)的最大值為，的最大值為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）聯(lián)立兩曲線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)以及兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值；
（2）分析可知，曲線、關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在曲線上，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，設(shè)點(diǎn)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)、，求、關(guān)于的等式，結(jié)合可求出的取值范圍.
【詳解】（1）解：聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，
所以，，解得.
（2）解：由可得，
所以，函數(shù)的反函數(shù)為，
即，
所以，曲線、關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在曲線上，
所以，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，
當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，
設(shè)點(diǎn)，則，
即，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值.
（3）解：設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)、，
其中，，
，其中，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，即，
此時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，
函數(shù)在上為增函數(shù)，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取最大值，即，
所以，，所以，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：拋物線定義的兩種應(yīng)用：
（1）實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線的定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題；
（2）解決最值問(wèn)題，在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問(wèn)題.
22．已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，其中F、D為非零實(shí)數(shù)，則稱為函數(shù)的“篤志點(diǎn)”.
①已知函數(shù)，且函數(shù)有且只有3個(gè)“篤志點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②定義在R上的函數(shù)滿足：存在唯一實(shí)數(shù)m，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，使得恒成立或恒成立.對(duì)于有序?qū)崝?shù)對(duì)，討論函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
(2)
(3)①；②答案見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.
（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，確定，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.
（3）①考慮，，三種情況，代入數(shù)據(jù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)根的分布得到范圍；②確定，比較與的大小關(guān)系，得到，得到答案.
【詳解】（1），
，
當(dāng)時(shí)，，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，故，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上所述：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知.
（2），，
取，得到或，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，
恒成立，
，，故，
設(shè)，，
，
設(shè)，則恒成立，
故在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，；
當(dāng)時(shí)，存在，使得，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
故，不成立；
綜上所述：.
（3）①有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，，故，解得，不符合；
當(dāng)時(shí)，，故，即，
令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，
故當(dāng)時(shí)，在有1個(gè)“篤志點(diǎn)”；
當(dāng)時(shí)，，故，
則，由于至多有兩個(gè)根，
結(jié)合前面分析的取值范圍為的子集，
令，其中，
，當(dāng)時(shí)，，
的圖象的對(duì)稱軸為，
故在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
綜上所述：
函數(shù)有且只有3 個(gè)“篤志點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
② 定義在上的函數(shù)滿足：
存在唯一實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得恒成立，
故，，
因?yàn)?，所以?br>即，
比較與的大小關(guān)系，
若存在，使得，即，
則有成立，
故對(duì)于有序?qū)崝?shù)對(duì)，函數(shù)“篤志點(diǎn)” 個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
同理，對(duì)于定義在上的函數(shù)滿足：
存在唯一實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得恒成立，
故，，
因?yàn)椋裕?br>即，可得到同樣的結(jié)論；綜上所述：若存在，使得，
則函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
否則，函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義問(wèn)題，利用導(dǎo)航求參數(shù)范圍，函數(shù)的最值極值，零點(diǎn)問(wèn)題和恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類討論的方法是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.

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