一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.
【詳解】由，即，即，解得，
所以，
又，所以.
故選：C
2．已知，，且，則（ ）
A．B．2C．D．10
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充分條件得到方程組，求出、的值，從而求模.
【詳解】因?yàn)?，即，即?br>因?yàn)?，，所以，解得?br>所以.
故選：A
3．已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A．4B．C．2或D．或4
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線平行得到，求出的值，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)直線與直線重合，不符合題意；
當(dāng)時(shí)直線與直線平行.
故選：B
4．中國(guó)文字博物館薈萃歷代中國(guó)文字樣本精華，用詳盡的資料向世界展示了中華民族一脈相承的文字和輝煌燦爛的文明．該博物館館藏的重要藏品主要分為銅器、碑碣、錢幣、陶器、玉石器、甲骨、竹木、紙質(zhì)、瓷器共九類．小胡同學(xué)去該館任意選取四類重要藏品參觀，則在錢幣、玉石器、甲骨、瓷器這四類中至少參觀其中一類的不同選擇方案的種數(shù)是（ ）
A．224B．121C．96D．84
【答案】B
【分析】利用間接法可求得結(jié)果.
【詳解】從銅器、碑碣、錢幣、陶器、玉石器、甲骨、竹木、紙質(zhì)、瓷器這九類中任取四類重要藏品參觀，
不同的選法種數(shù)為，
其中錢幣、玉石器、甲骨、瓷器這四類都不選的選法種數(shù)為，
因此滿足條件的不同選法種數(shù)為.
故答案為：B.
5．在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，
所以，又，
所以，
所以，又，
因?yàn)?，所以?br>即，
所以，解得，所以.
故選：C
6．執(zhí)行如圖所示的程序，輸出S的值為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)程序執(zhí)行邏輯寫(xiě)出執(zhí)行步驟即可得答案.
【詳解】根據(jù)程序執(zhí)行邏輯，
第一步：且，則；
第二步：且，則；
第三步：且，則；
第四步：且，跳出循環(huán)，輸出；
故選：C
7．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測(cè)得數(shù)據(jù)如下表所示：
根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得該產(chǎn)品的色度和色差的線性回歸方程為，當(dāng)該產(chǎn)品的色差為28時(shí)，估計(jì)該產(chǎn)品的色度為（ ）
A．20.8B．20.6C．21.6D．21.2
【答案】D
【分析】首先求出樣本中心點(diǎn)，即可求出，從而求出回歸直線方程，再代入計(jì)算可得.
【詳解】依題意可得，，
由線性回歸方程為必過(guò)樣本中心點(diǎn)，即，解得，所以，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)該產(chǎn)品的色差為28時(shí)，估計(jì)該產(chǎn)品的色度為.
故選：D
8．設(shè)，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A．3B．C．9D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用余弦定理、橢圓定義求得，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.
【詳解】由題設(shè)，，可得，
，
由，，則，即，
所以的面積.
故選：B
9．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式求出，再由及兩角和的正切公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
所以.
故選：D
10．圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一個(gè)鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱軸，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，由題中條件可得，，在直角三角形中，，，由雙曲線的定義可得，再求出離心率即可.
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，

反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，
由，，可得，.
則，
，
記雙曲線的焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，
在直角三角形中，，，
由雙曲線的定義，可得，所以，
即，
所以離心率.
故選：A
11．已知函數(shù)，若a，b都是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，則使得成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題設(shè)畫(huà)出對(duì)應(yīng)可行域，應(yīng)用幾何概型中面積型求對(duì)應(yīng)概率即可.
【詳解】由題設(shè)，即，又a，b都是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，

如上圖，陰影部分為可行域，面積為，
而a，b都是區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)面積為，
所以使得成立的概率是.
故選：C
12．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，則答案可求.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>令，所以，則，
，
所以，
即恒為遞增函數(shù)，
則，即，所以，
綜上：，
故選：A.
二、填空題
13． ．
【答案】
【分析】構(gòu)造項(xiàng)后即可輕易看出該式符合二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，利用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)后即可求解.
【詳解】
.
故答案為：.
14．過(guò)點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為
【答案】或
【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.
【詳解】圓：即，圓心為，半徑，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線恰好與圓相切；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，即，則，
解得，所求切線方程為，
綜上可得過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為或.
故答案為：或
15．若點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出、、，設(shè)右焦點(diǎn)為，再由雙曲線的定義計(jì)算可得.
【詳解】雙曲線，則，，所以，設(shè)右焦點(diǎn)為，
圓，圓心為，半徑，
圓，圓心為，半徑，
且恰為雙曲線的左焦點(diǎn)，，
又點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線（在之間）時(shí)取等號(hào).
故答案為：
16．已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，直線，直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，記，的面積分別為，，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形面積公式及或得，再應(yīng)用相交弦長(zhǎng)公式列方程，即可求.
【詳解】由，即，則，
由圖知：當(dāng)位置變化時(shí)，或，
故，
所以，而直線、斜率存在且不為，
故，
，
所以，即或，
當(dāng)，化簡(jiǎn)得.
當(dāng)時(shí)，，顯然，無(wú)解.
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是由面積公式得到，再由弦長(zhǎng)公式得到.
三、解答題
17．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到，再由正弦定理將邊化角，即可得到，最后由輔助角公式計(jì)算可得；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理求出、，最后由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，則.
（2）因?yàn)?，由正弦定理可得，又，由?br>所以，解得或（舍去），
所以，所以.
18．“雙十一”即指每年的11月11日，是指由電子商務(wù)為代表的，在全中國(guó)范圍內(nèi)興起的大型購(gòu)物促銷狂歡日．自從2009年國(guó)慶節(jié)和中秋節(jié)一起雙節(jié)同過(guò)開(kāi)始，每年的11月11號(hào)，以天貓、京東、蘇寧易購(gòu)為代表的大型電子商務(wù)網(wǎng)站一般會(huì)利用這一天來(lái)進(jìn)行一些大規(guī)模的打折促銷活動(dòng)，以提高銷售額度，逐漸成為中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)最大規(guī)模的商業(yè)促銷狂歡活動(dòng)．某電商為了解消費(fèi)者的下一部手機(jī)是否會(huì)選購(gòu)某一品牌手機(jī)，隨機(jī)抽取了400位客戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)的男性有160人，準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)的女性有80人，不準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)的女性有80人．
(1)完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為是否準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)與性別有關(guān)？
(2)從準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)的客戶中按性別用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人給優(yōu)惠券，設(shè)隨機(jī)變量X為抽取的3人中女性的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，．
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為是否準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)與性別有關(guān)；
(2)分布列見(jiàn)解析，期望為1.
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)完善列聯(lián)表，根據(jù)卡方公式求卡方值，結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得到結(jié)論；
（2）由題意抽取的6人中，男性有4人，女性有2人，且抽取的3人中女性的人數(shù)可能值為，求出對(duì)應(yīng)概率即得分布列，再求期望.
【詳解】（1）由題設(shè)，列聯(lián)表如下，
，
所以有99.9%的把握認(rèn)為是否準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)與性別有關(guān).
（2）由（1）及題設(shè)，抽取的6人中，男性有4人，女性有2人，
抽取的3人中女性的人數(shù)可能值為，且，，，
分布列如下：
所以數(shù)學(xué)期望.
19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列及等比數(shù)列定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，討論、求前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）當(dāng)，則；
當(dāng)，則，
所以，而，則是首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，
所以，且也滿足，
綜上，.
（2）由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
.
所以.
20．如圖，在四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，．
(1)求證：平面平面ABCD；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，即可得到，再由勾股定理逆定理證明，即可得到平面，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的菱形，所以為、的中點(diǎn)且，
又，，所以，，
，同理可得，
所以，
所以，所以，即，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
21．已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率為，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)（不同于A，B兩點(diǎn)），且面積的最大值為．
(1)求C的方程；
(2)若點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AP交直線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)O且與直線BG垂直的直線記為l，直線BP交y軸于點(diǎn)E，直線BP交直線l于點(diǎn)F，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，.
【分析】（1）根據(jù)離心率及焦點(diǎn)三角形性質(zhì)、橢圓參數(shù)關(guān)系求參數(shù)，即可得方程；
（2）設(shè)，且，求得，再根據(jù)已知可得直線，而直線，進(jìn)而求出坐標(biāo)，過(guò)作軸，利用等比例關(guān)系求即可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意，故.
（2）由（1）及題設(shè)知：，直線的斜率存在且不為0，
設(shè)，則，即，
所以，又過(guò)點(diǎn)O且與直線BG垂直的直線記為l，則，
故直線，而直線，則，
聯(lián)立，而，可得，
所以，故，過(guò)作軸，如圖，
所以為定值.
22．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）首先求出的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，則，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間：和，則可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到極大值，結(jié)合條件和基本不等式即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，所以，
所以在處的切線方程為.
（2）函數(shù)，則，
若在區(qū)間內(nèi)恒成立，
即在區(qū)間內(nèi)恒成立，
令，，則.
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，
所以，
又，所以當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞增，則不存在極大值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，.
由，令，，則，
顯然在上單調(diào)遞增，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又，，，
其中的證明如下：
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
則，
故存在，使得，存在，使得，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即，則.
由，得，，
由，得，
故，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
色差
21
23
25
27
色度
15
18
19
20
準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)
不準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)
合計(jì)
男性
女性
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)
不準(zhǔn)備購(gòu)買該品牌手機(jī)
合計(jì)
男性
160
80
240
女性
80
80
160
合計(jì)
240
160
400
0
1
2

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