高三數(shù)學(xué)
2023.12
本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)、座號(hào)填涂在相應(yīng)位置.
2．選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，繪圖時(shí)，可用2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚.
3．請按照題號(hào)在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.保持卡面清潔，不折疊、不破損.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
4. 將半徑為3，圓心角為的扇形卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
5. 設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
6. 設(shè)函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)的最大值為2，則在上的最小值為（ ）
A. B.
C D.
7. 記非常數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：是等比數(shù)列；乙：（，1，且），則（ ）
A. 甲是乙的充要條件B. 甲是乙的充分不必要條件
C. 甲是乙的必要不充分條件D. 甲是乙的既不充分也不必要條件
8. 已知，，，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知一組數(shù)據(jù)，，…，是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則所剩下的數(shù)據(jù)的（ ）
A. 平均數(shù)不變B. 中位數(shù)不變C. 標(biāo)準(zhǔn)差不變D. 極差不變
10. 根據(jù)《中華人民共和國噪聲污染防治法》，城市噪音分為工業(yè)生產(chǎn)噪音，建筑施工噪音、交通運(yùn)輸噪音和生活環(huán)境噪音等四大類.根據(jù)不同類型的噪音，又進(jìn)一步細(xì)化了限制標(biāo)準(zhǔn).通常我們以分貝（dB）為單位來表示聲音大小的等級(jí)，30～40分貝為安靜環(huán)境，超過50分貝將對(duì)人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會(huì)嚴(yán)重影響聽力且會(huì)引起神經(jīng)衰弱等疾病.如果強(qiáng)度為v的聲音對(duì)應(yīng)的分貝數(shù)為（dB），那么滿足：.對(duì)幾項(xiàng)生活環(huán)境的分貝數(shù)要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商業(yè)、工業(yè)混合區(qū)：50～60dB，安靜住宅區(qū)、療養(yǎng)院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商業(yè)混合區(qū)、安靜住宅區(qū)測得聲音的實(shí)際強(qiáng)度分別為，，，則（ ）
A.
B.
C. 若聲音強(qiáng)度由降到，需降為原來的
D. 若要使分貝數(shù)由40提高到60，則聲音強(qiáng)度需變?yōu)樵瓉淼?00倍
11. 已知是定義在 上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 奇函數(shù)
C. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.
12. 已知正四棱錐的側(cè)棱長是x，正四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，若該球的體積為，當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積可以是（ ）
A. B. C. D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 2024年第6屆U23亞洲杯將在卡塔爾舉行．現(xiàn)將甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6個(gè)項(xiàng)目中參加志愿活動(dòng)，且每名志愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的志愿活動(dòng)，則有且只有3人分到同一項(xiàng)目中的情況有__________種．（用數(shù)字作答）
14. 若將上底面半徑為2，下底面半徑為4圓臺(tái)型木塊，削成體積最大的球，則該球的表面積為__________．
15. 設(shè)函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．
16. 函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．
（1）求內(nèi)角B的大小；
（2）若面積為，，，求線段BM的長．
18. 某班級(jí)為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理的興趣，組織了一次答題比賽活動(dòng)，規(guī)定每位學(xué)生共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供學(xué)生任意選擇，甲方案：只選數(shù)學(xué)問題；乙方案：第一次選數(shù)學(xué)問題，以后按如下規(guī)則選題，若本次回答正確，則下一次選數(shù)學(xué)問題，若回答錯(cuò)誤，則下一次選物理問題．?dāng)?shù)學(xué)問題中的每個(gè)問題回答正確得50分，否則得0分；物理問題中的每個(gè)問題回答正確得30分，否則得0分．已知A同學(xué)能正確回答數(shù)學(xué)問題的概率為，能正確回答物理問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答順序無關(guān)．
（1）求A同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的概率；
（2）A同學(xué)選擇哪種方案參加比賽更加合理，并說明理由．
19. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，設(shè)，．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值最大．
20. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，；數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項(xiàng)為10，，的等比中項(xiàng)為8．
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，為的前n項(xiàng)和，若能成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
21. 某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會(huì)開出粉紅色或黃色的花．這種植物第1代開粉紅色花和黃色花的概率都是，從第2代開始，若上一代開粉紅色的花，則這一代開粉紅色的花的概率是，開黃色花的概率是；若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為，開黃色花的概率為．設(shè)第n代開粉紅色花的概率為．
（1）求第2代開黃色花的概率；
（2）證明：．
22. 設(shè)（其中）．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
普高大聯(lián)考 試卷類型：A
山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測評(píng)12月聯(lián)考試題
高三數(shù)學(xué)
2023.12
本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)、座號(hào)填涂在相應(yīng)位置.
2．選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，繪圖時(shí)，可用2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚.
3．請按照題號(hào)在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.保持卡面清潔，不折疊、不破損.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合，結(jié)合集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由集合，
又因?yàn)?，可?
故選：C.
2. 若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，所以.
故選：A.
3. 已知，，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將平方求出，利用夾角公式即可求出與的夾角.
【詳解】∵，
∴，即，
，故，
∴，
又∵，
∴．
故選：C
4. 將半徑為3，圓心角為的扇形卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圓錐的底面半徑和高，從而求得圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，
扇形的弧長為，則，母線，
所以圓錐的高，
所以圓錐的體積.
故選：B
5. 設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，則（且），然后分和兩種情況結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】令，則（且），
當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)遞增，因?yàn)閰^(qū)間單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．
當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)遞減，因?yàn)閰^(qū)間單調(diào)遞減，
所以需要在區(qū)間單調(diào)遞增，則，顯然不滿足要求，
綜上，
故選：B．
6. 設(shè)函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)的最大值為2，則在上的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依題意可得，利用余弦函數(shù)性質(zhì)可求出的最小值.
【詳解】∵的最大值為2，∴．
∴，，∴，
∴，即，的最小值為．
故選：D.
7. 記非常數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：是等比數(shù)列；乙：（，1，且），則（ ）
A. 甲是乙的充要條件B. 甲是乙的充分不必要條件
C. 甲是乙的必要不充分條件D. 甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】當(dāng)甲成立時(shí)利用等比數(shù)列求和公式可得乙成立，當(dāng)乙成立時(shí)利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系可知甲成立，從而可得結(jié)果.
【詳解】若，則（），
∴，，．
∵，1，
∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．
若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．
又，∴，∴，
此時(shí)，1，，所以甲是乙的充要條件．
故選：A．
8. 已知，，，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先對(duì)已知等式化簡結(jié)合可求出，則可求出，然后對(duì)變形化簡可得，從而可求出的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，，所以?br>由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知一組數(shù)據(jù)，，…，是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則所剩下的數(shù)據(jù)的（ ）
A. 平均數(shù)不變B. 中位數(shù)不變C. 標(biāo)準(zhǔn)差不變D. 極差不變
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷A，由中位數(shù)的概念可判斷B，由標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式可判斷C，根據(jù)極差定義可判斷D.
【詳解】設(shè)，，…，的平均數(shù)為，
可知，故A正確．
新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故B正確．
原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為
，
且新數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為，故C錯(cuò)誤．
因?yàn)樽畲笾岛妥钚≈挡蛔?，故極差不變，故D正確．
故答案為：ABD．
10. 根據(jù)《中華人民共和國噪聲污染防治法》，城市噪音分為工業(yè)生產(chǎn)噪音，建筑施工噪音、交通運(yùn)輸噪音和生活環(huán)境噪音等四大類.根據(jù)不同類型的噪音，又進(jìn)一步細(xì)化了限制標(biāo)準(zhǔn).通常我們以分貝（dB）為單位來表示聲音大小的等級(jí)，30～40分貝為安靜環(huán)境，超過50分貝將對(duì)人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會(huì)嚴(yán)重影響聽力且會(huì)引起神經(jīng)衰弱等疾病.如果強(qiáng)度為v的聲音對(duì)應(yīng)的分貝數(shù)為（dB），那么滿足：.對(duì)幾項(xiàng)生活環(huán)境的分貝數(shù)要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商業(yè)、工業(yè)混合區(qū)：50～60dB，安靜住宅區(qū)、療養(yǎng)院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商業(yè)混合區(qū)、安靜住宅區(qū)測得聲音的實(shí)際強(qiáng)度分別為，，，則（ ）
A.
B.
C. 若聲音強(qiáng)度由降到，需降為原來的
D. 若要使分貝數(shù)由40提高到60，則聲音強(qiáng)度需變?yōu)樵瓉淼?00倍
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題目分貝數(shù)函數(shù)求出，，，即可判斷ABC，再分別求出40分貝數(shù)和60分貝數(shù)對(duì)應(yīng)的聲音強(qiáng)度即可判斷D.
【詳解】由題意可知，，即，得，
，即，得，
，即，得，
則，所以，與大小關(guān)系不確定，由此可知A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，C錯(cuò)誤；
當(dāng)聲音強(qiáng)度的等級(jí)為60dB時(shí)，有，即，得，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度.
當(dāng)聲音強(qiáng)度等級(jí)為40dB時(shí)，有，
即，得，此時(shí)對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度，
所以60dB的聲音與40dB的聲音強(qiáng)度之比，D正確.
故選：AD
11. 已知是定義在 上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 為奇函數(shù)
C. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，可判定A正確；令，得到，可判定C正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，推得，得到的周期為，令，求得，結(jié)合函數(shù)的周期性，求得，可判定D正確．
【詳解】由對(duì)于任意都滿足，
令，則，所以A正確；
令，可得，即，
所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以C正確，B錯(cuò)誤；
又由為偶函數(shù)知關(guān)于直線對(duì)稱，即，
可得，則，所以，
所以函數(shù)的周期為，令，則，
可得，
，
所以，所以D正確．
故選：ACD．
12. 已知正四棱錐的側(cè)棱長是x，正四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，若該球的體積為，當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及外接球的性質(zhì)分析可得，結(jié)合體積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性和最值，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑為．
設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，
則，即，
又因?yàn)?，即，整理得?br>可得，
令，則，
因?yàn)?，?br>令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取到最大值；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以正四棱錐體積．
因?yàn)椋?br>所以正四棱錐的體積可以是，.
故選：BD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 2024年第6屆U23亞洲杯將在卡塔爾舉行．現(xiàn)將甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6個(gè)項(xiàng)目中參加志愿活動(dòng)，且每名志愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的志愿活動(dòng)，則有且只有3人分到同一項(xiàng)目中的情況有__________種．（用數(shù)字作答）
【答案】120
【解析】
【分析】分三步完成，第一步從四名志愿者中選取三名志愿者，第二步從6個(gè)項(xiàng)目中選取2個(gè)項(xiàng)目，第三步把志愿者分配到兩個(gè)項(xiàng)目中，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案..
【詳解】可分三步完成，
第一步，從四名志愿者中選取三名志愿者，有種選法；
第二步，從6個(gè)項(xiàng)目中選取2個(gè)項(xiàng)目有種不同的選法；
第三步，把志愿者分配到兩個(gè)項(xiàng)目中有種分配方法；
故共有（種）不同的分配方法．
故答案為：120.
14. 若將上底面半徑為2，下底面半徑為4的圓臺(tái)型木塊，削成體積最大的球，則該球的表面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】球的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)該球?yàn)閳A臺(tái)的內(nèi)切球，利用圓臺(tái)軸截面與球的截面大圓關(guān)系求出球半徑即可.
【詳解】依題意，削成的球體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)該球?yàn)閳A臺(tái)的內(nèi)切球，設(shè)球半徑為，
過圓臺(tái)軸的截面截球所得大圓是圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓，則梯形的高為，
由圓的外切四邊形性質(zhì)可知，等腰梯形的腰長為，
因此，解得，
所以球的表面積.
故答案為：
15. 設(shè)函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題知，又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>當(dāng)或，或時(shí)，，
要滿足函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得．
故答案為：.
16. 函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為______．
【答案】15
【解析】
【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱求解．
【詳解】解：令，．
顯然與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱．
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖所示：
由圖象知：它們的圖象有6個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為，，，，，，
這6個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，則．
∴函數(shù)所有零點(diǎn)之和為15．
故答案為：15
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．
（1）求內(nèi)角B的大?。?br>（2）若的面積為，，，求線段BM的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合正弦定理邊角互化，正弦的和角公式即可求出，進(jìn)而得答案；
（2）結(jié)合（1），根據(jù)面積公式得，進(jìn)而得，進(jìn)而由余弦定理得，為直角三角形，再結(jié)合題意，借助勾股定理求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理邊化角得，
所以
因?yàn)?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
因?yàn)榈拿娣e為，，
所以，所以．
因，所以，，
所以，
所以，即為直角三角形，
因?yàn)?，所以?br>所以．
18. 某班級(jí)為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理的興趣，組織了一次答題比賽活動(dòng)，規(guī)定每位學(xué)生共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供學(xué)生任意選擇，甲方案：只選數(shù)學(xué)問題；乙方案：第一次選數(shù)學(xué)問題，以后按如下規(guī)則選題，若本次回答正確，則下一次選數(shù)學(xué)問題，若回答錯(cuò)誤，則下一次選物理問題．?dāng)?shù)學(xué)問題中的每個(gè)問題回答正確得50分，否則得0分；物理問題中的每個(gè)問題回答正確得30分，否則得0分．已知A同學(xué)能正確回答數(shù)學(xué)問題的概率為，能正確回答物理問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答順序無關(guān)．
（1）求A同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的概率；
（2）A同學(xué)選擇哪種方案參加比賽更加合理，并說明理由．
【答案】（1）
（2）選擇乙方案參加比賽更加合理，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，即可求解；
（2）若采用甲方案，則其得分X的可能取值為0，50，100，150，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，求得；若采用乙方案，則其得分Y的可能取值為0，30，50，80，100，150，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，求得，結(jié)合，即可求解.
【小問1詳解】
解：張同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的情況為至少答對(duì)兩道試題，
所以其概率為．
【小問2詳解】
解：張同學(xué)選擇乙方案參加比賽更加合理．理由如下：
若采用甲方案，則其得分X的可能取值為0，50，100，150，
，，，．
所以的概率分布列為
所以X的數(shù)學(xué)期望為．
若采用乙方案，則其得分Y的可能取值為0，30，50，80，100，150，
所以，，，，，．
所以Y的概率分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為．
因?yàn)?，所以張同學(xué)選擇乙方案參加比賽更加合理.
19. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，設(shè)，．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值最大．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得，即可證得；
（2）由平面，得到平面的法向量為，再求得的法向量，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)橹比庵?，底面?br>又因?yàn)榈酌?，所以?br>因?yàn)?，且，所以AB⊥BF，
又因?yàn)?，且平面，所以平面?br>所以，，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，，，，
又由，則，所以，，
因?yàn)?，所以，即?br>【小問2詳解】
解：因?yàn)槠矫?，可得平面的一個(gè)法向量為，
由，，
設(shè)平面的法向量，則，
取，可得，，所以，
設(shè)平面與平面DEF所成二面角的平面角為，
則，
當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為，此時(shí)．
20. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，；數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項(xiàng)為10，，的等比中項(xiàng)為8．
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，為的前n項(xiàng)和，若能成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的關(guān)系式即可求得是等差數(shù)列，可得；再利用等比數(shù)列定義即可求得，可得；
（2）采用分組求和并利用等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得，不等式能成立等價(jià)于，利用單調(diào)性可求得.
【小問1詳解】
由可得，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
∴，
即．∵，
∴（），
即可得是等差數(shù)列．
由，得，∴，
即．
由題意得，即，解得或．
∵是遞增的等比數(shù)列，
∴，所以，得，
∴．
所以和的通項(xiàng)公式為，．
【小問2詳解】
由（1）得：
．
能成立，等價(jià)于能成立，
化簡得能成立，即．
設(shè)，則
，
∴是遞減數(shù)列，故的最大值為．
∴，
因此的最大值為．
21. 某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會(huì)開出粉紅色或黃色的花．這種植物第1代開粉紅色花和黃色花的概率都是，從第2代開始，若上一代開粉紅色的花，則這一代開粉紅色的花的概率是，開黃色花的概率是；若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為，開黃色花的概率為．設(shè)第n代開粉紅色花的概率為．
（1）求第2代開黃色花的概率；
（2）證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由條件概率公式以及概率的加法公式計(jì)算可得第2代開黃色花的概率為；
（2）由題意可求得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即；
裂項(xiàng)可得，求和即可得.
【小問1詳解】
設(shè)事件表示第i代開粉紅色花，事件表示第i代開黃色花，
由題意可得，
所以第2代開黃色花的概率為．
【小問2詳解】
由題可知，，即．
設(shè)（），
則，，解得，
即，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
可得，即；
因此，
由累加法可得：
．
所以可得.
22. 設(shè)（其中）．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，，三種情況，求出單調(diào)性；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，并且存在，滿足，故當(dāng)時(shí)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，不合要求，得到答案.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
令得，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，恒成立，故單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
將代入中，
，
化簡得，不等式兩邊同減去得，
，
可化為，
令，則，
易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
令，，
故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，，，
故存在，滿足，
當(dāng)時(shí)，，，可得原不等式成立；
當(dāng)時(shí)，由于存在，滿足，
從而使得，
而，于是不恒成立．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題難點(diǎn)是兩邊同減去得，，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.
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