1．已知集合，則______．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則______．
3．在的展開式中，的系數(shù)為______．
4．雙曲線的兩條漸近線的夾角為______．
5．已知向量，且，則______．
6．函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則______．
7．已知隨機(jī)變量的分布為，且，若，則實(shí)數(shù)______．
8．正方體的棱長(zhǎng)為2，P為棱的中點(diǎn)，以為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是______．
9．已知集合，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
10．已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束，則恰好檢測(cè)四次停止的概率為______．
11．如圖，已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上兩點(diǎn)，滿足，且，則橢圓的離心率為______．
12．已知都是平面向量，且，若，則的最小值為______．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）
13．“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
14．已知是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．若平行于同一平面，則與可能異面
B．若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線
C．若不平行，則與不可能垂直于同一平面
D．若垂直于同一平面，則與可能相交
15．在中，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有，則為（ ）
A．等腰三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．銳角三角形
16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17．（本小題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)．
18．（本題滿分14分，第1小題滿分2分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）
黃山原名“夥山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說(shuō)軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”．黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國(guó)最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一．明代旅行家、地理學(xué)家徐霞客兩游黃山，贊嘆說(shuō)：“登黃山天下無(wú)山，觀止矣！”又留“五岳歸來(lái)不看山，黃山歸來(lái)不看岳”的美譽(yù)，為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；
（2）估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的40%分位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；
（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在，的兩組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流。求選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人的概率．
19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
已知函數(shù)的表達(dá)式（為實(shí)數(shù)）．
（1）函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，若不等式在上有解，求的取值范圍．
20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）
如圖，已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，是其頂點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn)．
（1）求的面積；
（2）若，點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線的斜率分別為，記以為直徑的圓的面積分別為的面積為，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的最大值．
21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）
已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若的極大值為，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，存在使得，求的取值范圍．
松江二中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）
1．【答案】
【解析】易知．
2．【答案】
【解析】．
3．【答案】
【解析】．
4．【答案】
【解析】?jī)蓷l漸近線分別為，夾角為．
5．【答案】
【解析】．
6．【答案】12
【解析】
7．【答案】
【解析】．
8．【答案】
【解析】由題意知，為等腰三角形，且，所以以為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是以為中心軸，
和分別為母線且同底的兩個(gè)圓錐構(gòu)成的幾何體，
可得圓錐的底面半徑為，所以．
9．【答案】
【解析】，即
因?yàn)?，所以，所?br>因?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為
10．【答案】
【解析】由題意可知，2次檢測(cè)結(jié)束的概率為，
3次檢測(cè)結(jié)束的概率為，
則恰好檢測(cè)四次停止的概率為．
11．【答案】
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，
如圖，延長(zhǎng)，與橢圓交于點(diǎn)，連接，由，所以根據(jù)對(duì)稱性可知，，
設(shè)，則，從而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以離心率．
12．【答案】
【解析】如圖設(shè)，
點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，，
所以在射線上，所以，
作的關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)，則，且，
所以，（當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)），的最小值為．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）
13．【答案】A
【解析】“直線與直線垂直”等價(jià)于，故選A．
14．【答案】B
【解析】在內(nèi)與和的交線平行的直線與平行，故B錯(cuò)誤．
15．【答案】B
【解析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接（如圖所示），則
，
同理，
因?yàn)椋裕?br>即，所以對(duì)于邊上任意一點(diǎn)都有，因此，
又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
所以，所以，即，所以，即為針角三角形．
16．【答案】A
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>若時(shí)，由求導(dǎo)得，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
若時(shí)，由求導(dǎo)得，，
因，故恒有，即在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，恒有．
作出函數(shù)的大致圖像如圖所示．
又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；
要使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，
需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．
17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）
【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫?br>所以，
又平面平面，
所以平面，又平面，所以，
有題意可知，又平面平面，
所以平面．
（2）分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因平面平面，所以，
因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，
故，
平面的一個(gè)法向量為，
，
設(shè)平面的法向量為，
由得，令得，
則，所以，
因?yàn)槎娼鞘氢g二面角，所以二面角的大小為．
18．【答案】
（1）； （2）83.33； （3）
【解析】（1）由圖知：，可得．
（2）由，所以分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，令其為，
則，解得．所以滿意度評(píng)分的分位數(shù)為83.33．
（3）因?yàn)樵u(píng)分在的頻率分別為，
則在中抽取人，設(shè)為；
在中抽取人，設(shè)為；
從這6人中隨機(jī)抽取2人，則有：，
，共有15個(gè)基本事件，
設(shè)選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人為事件，
則有，共有8個(gè)基本事件，所以．
19．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）由題意，任取，且，
則，
因?yàn)?，所以，即?br>由，得，所以，所以，的取值范圍是．
（2）由，得，因?yàn)?，所以?br>令，則，所以，令，
于是，要使原不等式在有解，當(dāng)且僅當(dāng)，
因?yàn)椋詧D象開口向下，對(duì)稱軸為直線，
因?yàn)?，設(shè)：為區(qū)間的中點(diǎn)值，，
故當(dāng)，即，即時(shí)，；
當(dāng)，即，即時(shí)，．
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
20．【答案】（1）； （2） （3）的最大值不存在
【解析】（1）容易求得
所以，．
（2）易求，所以，
代入直線方程得，設(shè)，
由得，
由韋達(dá)定理得：，解得，
所以，．
（3）設(shè)，
由得，
由韋達(dá)定理有：，
且．
又，即．
由韋達(dá)定理得，即，
由得，
，
（定值）
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)，直線方程為，該直線過(guò)，即中有一個(gè)不存在，
所以，的最大值不存在．
21．【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），則，
因?yàn)?，所以切點(diǎn)即，
所以切線為．
（2），
因?yàn)?，令，解得或?br>①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極大值為，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在R上單調(diào)遞增，無(wú)極大值；
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以極大值為，符合題意．
綜上所述，．
（3）由題意得當(dāng)時(shí)，在上的值域是在的值域的子集，
由（2）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，使得，
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，
若滿足題意，只需，即，
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
所以，
又因?yàn)闀r(shí)，，
若滿足題意，只需，即，
因?yàn)?，所以，所以無(wú)解，所以不合題意
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

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