河南省周口市項城市5校2024屆高三上學期8月開學摸底考數學試卷(含答案)

這是一份河南省周口市項城市5校2024屆高三上學期8月開學摸底考數學試卷(含答案)，共23頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．設集合,,則( )
A.B.C.D.
2．若復數滿足,則( )
A.B.C.D.
3．已知同一平面內的單位向量,,滿足,則( )
A.B.C.D.
4．漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高悪,算水盆于下,則見四鄰矣.”這是中國古代人民利用光的反射原理的實例,體現了傳統(tǒng)文化中的數學智慧.光的反射原理可概述為：反射光線、入射光線和法線都在同一平面內;反射光線和入射光線分居在法線的兩側;反射角等于入射角.在平面直角坐標系中,一條光線從點射出,經y軸反射后,反射光線所在直線與圓相切,則反射光線所在直線的斜率為( )
A.-2B.-1C.1D.2
5．設各項都為正數的無窮等差數列的公差為d,且,則的最小值為( )
A.B.C.D.
6．已知圓錐的軸截面為正三角形,用平行于底面的平面截圓錐所得到的圓錐與圓臺的體積之比為,則圓錐與圓臺的表面積之比為( )
A.B.C.D.
7．已知雙曲線的左、右頂點分別為,,F為C的右焦點,C的離心率為2,若P為C右支上一點,,記,則( )
A.B.1C.D.2
8．若函數在單調遞增,則a的最小值為( )
A.B.C.-1D.0
二、多項選擇題
9．已知樣本數據,,,和樣本數據,,,滿足,則( )
A.,,,的平均數小于,,,的平均數
B.,,,的中位數小于,,,的中位數
C.,,,的標準差不大于,,,的標準差
D.,,,的極差不大于,,,的極差
10．已知函數圖象的任意一個對稱中心到與之相鄰的對稱軸的距離為,且將該圖象向左平移個單位長度得到的圖象關于y軸對稱,則下列說法正確的是( )
A.,
B.直線為的圖象的一條對稱軸
C.若在單調遞增,則a的最大值為
D.對任意,關于x的方程總有奇數個不同的根
11．已知函數為定義在R上的偶函數,,且,則( )
A.B.的圖象關于點對稱
C.以6為周期的函數D.
12．已知球O的半徑為2,點A,B,C是球O表面上的定點,且,,點D是球O表面上的動點,滿足,則( )
A.有且僅有一個點D使得B.點O到平面的距離為
C.存在點D使得平面D.的取值范圍為
三、填空題
13．已知函數,則_______________.
14．設,,若,,則_____________.
15．一個不透明的盒子中有4個除顏色外完全相同的球,其中3個紅球,1個白球.從盒子中隨機取兩次球,每次取出1個球和2個球的概率均為,則最終盒子里只剩下1個球且是白球的概率為___________________.
16．已知橢圓的兩個焦點為,,點P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且,的面積,則C的離心率的取值范圍為________________.
四、解答題
17．記的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,的面積為.
(1)求C;
(2)若,,D為邊的中點,求.
18．如圖,在正四棱柱中,,,E,F,G,H分別為棱,,,的中點.
(1)證明：E,F,G,H四點在同一個平面內;
(2)若點P在棱上且滿足平面,求直線與平面所成角的正弦值.
19．已知數列滿足,.
(1)設,求數列的通項公式;
(2)設,證明：.
20．已知函數,.
(1)當時,求曲線在處的切線方程;
(2)若為的極小值點,求a的取值范圍.
21．小明參加一項答題活動,需進行兩輪答題,每輪均有道題.第一輪每道題都要作答;第二輪按次序作答,每答對一題繼續(xù)答下一題,一旦答錯或題目答完則結束答題.第一輪每道題答對得5分,否則得0分;第二輪每道題答對得20分,否則得0分.無論之前答題情況如何,小明第一輪每題答對的概率均為,第二輪每題答對的概率均為.設小明第一輪答題的總得分為X,第二輪答題的總得分為Y.
(1)若,求;
(2)證明：當時,.
22．已知拋物線的焦點為F,以F為圓心作半徑為1的圓,過F且傾斜角為的直線與拋物線E交于A,B兩點,且.
(1)求E的方程;
(2)設O為坐標原點,T為E上一點,過T作圓F的兩條切線,分別交E于另外兩點P,Q,直線分別交x軸正半軸、y軸正半軸于M,N兩點,求面積的最小值.
參考答案
1．答案：B
解析：,,
故.
故選：B.
2．答案：C
解析：,故,故,
所以.
故選：C.
3．答案：D
解析：因為,所以,
兩邊平方得,
因為均為單位向量,所以,解得,
故,
所以.
故選：D.
4．答案：C
解析：變形為,即圓心為,半徑為,
求出關于y軸的對稱點為,
連接,過點C作交y軸于點D,連接,則所在直線為入射光線,
為反射光線所在直線,
其中,故.
故選：C.
5．答案：C
解析：等差數列的公差為d,且,
則,即,
所以,.
無窮等差數列各項都為正數,
所以,,即.
.
當時,即取等號.
則的最小值為.
故選：C.
6．答案：A
解析：根據題意得到為等邊三角形,設圓O的半徑為R,則,
由勾股定理得,
設,則,
故圓錐的體積為,
圓錐的體積為,
因為圓錐與圓臺的體積之比為,故圓錐與圓錐的體積之比為,
即,解得,
所以,
則圓臺上底面面積為,圓臺上底面的周長為,
圓臺下底面面積為,下底面周長為,
由勾股定理得,,故,
則圓臺側面積為,故表面積為,
圓錐的側面積為,故圓錐的表面積為,
所以圓錐與圓臺的表面積之比為.
故選：A.
7．答案：A
解析：設C的焦距為,點,由C的離心率為2可知,
因為,所以,將代入C的方程得,即,
所以,
故.
故選：A.
8．答案：B
解析：對任意的恒成立,
即,可得,
令,其中,則,
當時,,此時函數單調遞增,
當時,,此時函數單調遞減,
所以在取得極大值,,
所以當時,取得最大值,,
所以,,故.
故選：B.
9．答案：CD
解析：A選項,設,,,的平均數為,即,
又,
所以,
因為無法確定b的大小,故無法確定與的大小關系,A錯誤;
B選項,設,,,的中位數為m,又,單調遞增,
所以,,,與,,,的大小排列順序不變,故,,,的中位數為,
但不確定b的大小,故無法確定與m的大小關系,B錯誤;
C選項,設,,,的平均數為,標準差為,
則,
由A選項可知,,,,的平均數為,
所以,,,的方差為
,
故,,,的方差為,
因為,所以,當且僅當時,等號成立,
故,,,的標準差不大于,,,的方差,C正確;
D選項,設,,,的極差為,又,單調遞增,
所以,,,與,,,的大小排列順序不變,故,,,的極差為,
因為,所以,當且僅當時,等號成立,
故,,,的極差不大于,,,的極差,D正確.
故選：CD
10．答案：ABD
解析：A.由題意可知,,得,
,函數的圖象向左平移個單位長度得到函數,
因為函數的圖象關于y軸對稱,所以,,
得,因為,所以,
所以,故A正確;
B.當時,,所以直線為的圖象的一條對稱軸,故B正確;
C.當時,,由題意可知,,,
,,得,,只有當有解,
得,所以a的最大值為,故C錯誤;
D.,所以函數關于對稱,而也關于對稱,
所以兩個函數圖象必有一個交點,若有其他交點,交點也關于對稱,
所以交點個數是奇數個,方程總有奇數個不同的根,故D正確.

故選：ABD.
11．答案：ABC
解析：因為函數為定義在R上的偶函數,
所以,,
對于A,令,可得,
因為,可得,故A正確;
對于B,因為,
所以,
可得,
從而,
又因為,可得,
所以,可得,
所以的圖象關于點對稱,故B正確;
對于C,因為,
所以,所以,
可得,所以有,
所以以6為周期的函數,故C正確;
對于D,,,令可得,可得,
令可得,可得,
令可得,可得,
令可得,可得,
所以,
所以,故D錯誤.
故選：ABC.
12．答案：ABD
解析：B選項,因為,兩邊平方得,,
故,
同理可得,,
畫出三棱錐,設點O在平面上的投影為Q,則平面,
其中Q為平面的外心,
連接并延長,交于點E,則點E為的中點,
因為,所以,
故,由勾股定理得,
則,
設,則,
由勾股定理得,即,
解得,
由勾股定理得,
故點O到平面的距離為,B正確;
A選項,以O為坐標原點,平行于的直線為x軸,平行于的直線為y軸,
垂直于平面的直線為z軸,建立空間直角坐標系,
則球O的方程為,
設,,
因為,所以,
解得,
設,則,
當時,,
其中,故,
即為直徑,故,
故有且僅有一個點D使得,A正確;
C選項,設平面的法向量為,
則,
解得,令,解得,故,
,
因為,所以,
解得,
又,故,
,
假設存在點D使得平面,則有,
即,
代入中,,化簡得,
解得或,
當時,,由于,此時不滿足,不合題意,
當時,此時不滿足,不合要求,
故不存在點D使得平面,C錯誤.
D選項,,其中,
設,,,
則,其中,
故,D正確.
故選：ABD.
13．答案：3
解析：,故,
又,故.
故答案為：3.
14．答案：
解析：因為,所以,
因為,所以,故,
所以
故
.
則.
故答案為：.
15．答案：
解析：第一種情況,第一次先拿1個紅色球,第二次拿2個紅色球,
概率,
第二種情況,第一次先拿2個紅色球,第二次拿1個紅色球,概率,
綜上可知,最終盒子里只剩下1個球且是白球的概率為.
故答案為：.
16．答案：
解析：連接,,由題意得,,,
又,所以四邊形為矩形,故,
所以,故,
又,由勾股定理得,
即,,
故,即,故,
解得,
又C上存在關于坐標原點對稱的兩點P,Q,使得,故,
所以,即,所以,,解得,
綜上,C的離心率的取值范圍是.
故答案為：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意,所以,
因為,所以.
(2)由余弦定理得,
又,所以.
因為D為邊的中點,所以,
所以,
則.
18．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)如圖,連接.
因為E,F,G,H均為所在棱的中點,
所以且,即四邊形為平行四邊形,故.
又可得,所以,
所以E,F,G,H四點在同一個平面內.
(2)在正四棱柱中,,,兩兩互相垂直,
故以C為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.
由,,可知,,,,則,
設,則.
因為平面,所以,即,得.所以.
易得平面的一個法向量為.
設與平面所成的角為,
則.
19．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)由已知得,
所以是首項為,公比為的等比數列,所以.
(2)由(1)可知,
所以,,
所以,
因為,所以,即.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)當時,,,
,,
所以切線方程為,即.
(2)的定義域為,
,,
令,則或.
①當時,,
令,解得或,令,解得,
可知在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,
故為的極大值點,不符合條件;
②當時,,在單調遞增,故無極值點;
③當時,,
令,解得或,令,解得,
可知在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,
故為的極小值點,符合條件.
綜上,a的取值范圍為.
21．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)設小明第一輪答對的題數為,
由條件可知,則,
因為,所以,
因此,當時,.
(2)設小明第二輪答對的題數為,則的所有可能取值為0,1,2,…,n,
且,,,…,
,.
所以,①
,②
①－②得,
所以.
因為,所以.
當時,,,
即得證.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意可知,直線的方程為,
聯立消去y得,
設點,,則,
所以,即,解得,
所以E的方程為.
(2)由(1)知圓,設點,,,顯然,
則直線的方程為,
直線的方程為,
直線的方程為,
由的方程可得,,
則的面積為,所以.
因為與圓F相切,所以點F到直線的距離為,
整理得,同理可得,
所以b,c是方程的兩根,
所以,,解得,
的面積化為,
設,則,
令,得,
所以在單調遞減,在單調遞增,
故面積的最小值為.