2024烏魯木齊第六十八中學高三上學期1月月考試題數學含解析

這是一份2024烏魯木齊第六十八中學高三上學期1月月考試題數學含解析，共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
總分150分 考試時間120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合
A. B. C. D.
2. 若虛數單位，復數滿足，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，則（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函數中，既是奇函數，又是增函數的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，若，則（ ）
A. 或B. C. D.
7. 角A是內角，則“”是“，且”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 在中，已知，則（ ）
A. 2021B. 2022C. 4042D. 4043
二、選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得五分，部分選對的得兩分，有選錯的得零分.
9. 下列命題中正確的是（ ）
A. 已知一組數據7，7，8，9，5，6，8，8，則這組數據的中位數為8
B. 若隨機變量服從正態(tài)分布，，則
C. 根據一組樣本數據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若樣本中心點為，則
D. 若隨機變量，且，則
10. （多選題）已知，則a，b滿足下列關系的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函數，則（ ）
A. 函數有兩個極值點
B. 函數有三個零點
C. 若，則是偶函數
D. 點是函數的對稱中心
12. 四棱錐的四個側面都是腰長為，底邊長為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（ ）
A. B. C. D.
三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13. 在1,2,3,4,5這五個數字中任取不重復3個數字組成一個三位數，則組成的三位數是奇數的概率是________．(用分數表示)
14. 已知正三棱臺上底面邊長為2.下底面邊長為4，且側棱與底面所成的角是，那么這個正三棱臺的體積等于___________.
15. 已知關于方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍為___________.
16. 已知雙曲線左、右焦點分別為，，過的直線與C的右支交于A，B兩點，若，，則C的離心率為______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域的答案無效.
17. 它們的終邊分別與單位圓相交于
(1)求；
(2)求的值.
18. 如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，E為CD的中點連接AE交BD于G，點F在側棱PD上，且DFPD．
（1）求證：PB∥平面AEF；
（2）若，求三棱錐E﹣PAD的體積．
19. 已知函數.
（1）當時，求函數的單調增區(qū)間；
（2）若不等式對于任意成立，求正實數的取值范圍.
20. 已知公差的等差數列，是的前項和，，是和的等比中項.
（1）求的通項公式；
（2）設數列滿足，且的前項和為，求證.
21. 某果農在其承包的100畝果園中種植一種原生態(tài)水果(每年種植一季)，每畝的種植成本為5000元，由于受天氣和市場供求關系的影響，此水果的畝產量和銷售價格均具有隨機性，且互不影響.根據近幾年的數據得知，每季由產量為的概率為0.4.畝產量為的概率為0.6，市場銷售價格(單位：元/kg)與其概率的關系滿足.
（1）設表示此果農某季所獲得的利潤，求的分布列和數學期望；
（2）求5年中恰有4年此果農的利潤高于100萬元的概率.
22. 已知函數．
（1）若，求函數的單調減區(qū)間；
（2）若，正實數，滿足，證明：．烏魯木齊市第六十八中學 高三1月月考
數學試題
總分150分 考試時間120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】聯立中的方程組成方程組，求出解即可確定出兩集合的交集
【詳解】聯立集合可得：，解得或
則
故選
【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題．
2. 若是虛數單位，復數滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化簡復數，再代入，由復數的模長公式即可求出答案.
【詳解】由已知， ，
.
故選：B.
3. 已知向量，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據向量加減法、向量垂直和平行的坐標表示依次驗證各個選項即可.
【詳解】對于A，，不平行，A錯誤；
對于B，，，，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D錯誤.
故選：B.
4. 下列函數中，既是奇函數，又是增函數的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，即可得答案．
【詳解】解：根據題意，依次分析選項：
對于A，，為冪函數，既是奇函數，又是增函數，符合題意；
對于B，，為一次函數，不是奇函數，不符合題意；
對于C，，為偶函數，不符合題意；
對于D，，為對數函數，不是奇函數，不符合題意；
故選A．
【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判斷，關鍵是掌握常見函數的單調性與奇偶性，屬于基礎題．
5. 已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用橢圓的性質直接對原式進行減少變量處理，得到，看成以為變量的函數的最值問題，可利用換元法求解.
【詳解】，
因為∴．
設，則
∴當，即時，取最大值，此時離心率.
故選：C
6. 已知，若，則（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦的二倍角公式得，再根據同角三角函數的關系可得，令，建立方程解之可得選項.
【詳解】由，可得，
所以，
令，所以，
即，解得或又，所以，所以，
當時，，符合題意；
當時，，不符合題意，所以，
故選：B.
【點睛】易錯點睛：本題考查三角函數給值求值問題，注意根據需角的范圍取值.
7. 角A是的內角，則“”是“，且”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函數的性質分析即可.
【詳解】因為角是的內角，所以，
當，根據三角函數的性質可得，，，
所以由“”能推出“，且”，
當，，可得，此時也成立，
所以由“，且”能推出“”．
故選：C．
8. 在中，已知，則（ ）
A. 2021B. 2022C. 4042D. 4043
【答案】D
【解析】
【分析】根據同角三角函數的基本關系將切化弦，再根據兩角和的正弦公式及誘導公式得到，再利用正弦定理將角化邊，結合余弦定理計算可得；
【詳解】解：由得
所以，
故，
即，即，
故.
故選：D.
二、選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得五分，部分選對的得兩分，有選錯的得零分.
9. 下列命題中正確的是（ ）
A. 已知一組數據7，7，8，9，5，6，8，8，則這組數據的中位數為8
B. 若隨機變量服從正態(tài)分布，，則
C. 根據一組樣本數據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若樣本中心點為，則
D. 若隨機變量，且，則
【答案】BC
【解析】
【分析】將A的數據由小到大排列后可求該組數據的中位數，從而可判斷A的正誤，利用正態(tài)分布的對稱性可判斷B的正誤，根據樣本中心點必在回歸直線上可判斷C的正誤，根據公式可求二項分布的期望和方差，從而可判斷D的正誤.
【詳解】對于選項A，5，6，7，7，8，8，8，9中位數為7.5，所以A不正確；
對于選項B，因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關于對稱，
所以，所以B正確；
對于選項C，因為回歸直線一定經過樣本中心點，所以，
即，所以C正確；
對于選項D，因為，且，所以，即，
所以，所以D不正確．
故選：BC．
10. （多選題）已知，則a，b滿足下列關系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由已知可得，，有，依據基本不等式即可知，進而可知、、的范圍.
【詳解】由題意知：，，
∴，即，
∵，
∴，
，
，
故選：ABD
【點睛】本題考查了對數的運算，結合基本不等式求代數的范圍，屬于中檔題.
11. 已知函數，則（ ）
A. 函數有兩個極值點
B. 函數有三個零點
C. 若，則是偶函數
D. 點是函數的對稱中心
【答案】ABC
【解析】
【分析】A選項：求導，分析單調性，即可得到極值點的情況；
B選項：根據單調性和零點存在性定理即可得到零點的情況；
C選項：根據奇偶性的定義判斷即可；
D選項：根據對稱性的性質和圖象的平移即可得到對稱中心.
【詳解】A選項：，當或時，，當時，，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以有兩個極值點，故A正確；
B選項：結合A中函數單調性，又，，所以上存在一個零點，，所以上存在一個零點，，所以上存在一個零點，所以函數有三個零點，故B正確；
C選項：，定義域為R，關于原點對稱，且，所以為偶函數，故C正確；
D選項：，所以關于對稱，根據的單調性可知，只有一個對稱中心，的圖象向左平移一個單位得到的圖象，所以的對稱中心是，故D錯.
故選：ABC.
12. 四棱錐的四個側面都是腰長為，底邊長為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】滿足要求的四棱錐有三種情形，對三種情況進行討論求出結果.
【詳解】滿足要求的四棱錐有如下三種情形.
（1）
如圖，四條側棱長均為，則四棱錐為正四棱錐，連接交于點，連接，
則平面，是四棱錐的高，
則，，
所以，
四棱錐的高為；
（2）
如圖，有兩條側棱長為，
作平面，記，，是四棱錐的高，
于是，，
且.
解得，.
四棱錐的高為；
（3）
如圖，三條側棱（、、）長為，一條側棱，
，，
設與交于點.記.
由等腰三角形三線合一可得：,
平面，平面，，
則平面，
因為平面，所以平面平面，
過O作，因為平面平面,
所以平面，是四棱錐的高，
則有，，.
因為，
于是，.
將前面的結果代入上式，
解得或.
顯然，故.
，
在中，
由余弦定理得,
，
，
四棱錐的高為.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13. 在1,2,3,4,5這五個數字中任取不重復的3個數字組成一個三位數，則組成的三位數是奇數的概率是________．(用分數表示)
【答案】##
【解析】
【分析】在1,2,3,4,5這五個數字中任取不重復的3個數字組成一個三位數，這是排列問題，三位數是奇數，只要個位上的數字是1或3即可，這樣可以求出有多少個三位數，最后根據古典概型的概率計算公式求解即可.
【詳解】在1,2,3,4,5這五個數字中任取不重復的3個數字組成一個三位數，
共可組成個三位數，組在三位數是奇數的共有，因此組成的三位數是奇數的概率是.
故答案為：
14. 已知正三棱臺上底面邊長為2.下底面邊長為4，且側棱與底面所成的角是，那么這個正三棱臺的體積等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由面得到，再分別在與求得與，順便求得兩者面積，從而在中可求得，即三棱臺的高，由此利用三棱臺的體積公式即可求得結果.
【詳解】記分別是的中心，過作，如圖，
則由正三棱臺的結構特征可知面，所以面，
所以為側棱與底面所成角的平面角，故，
在中，由正弦定理得，即，，
在中，，即，，
所以在中，，即該三棱臺的高為，
所以該三棱臺的體積為.
故答案為：.
.
15. 已知關于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】觀察方程結構特征，將它進行變形為，然后構造函數，確定函數的單調性，從而將問題轉化為當時，有兩個不相等的實數根，利用根的分布列出不等式組，求解即可得到答案．
【詳解】解：因方程，
所以變形為，
令，
則有，
因為在上單調遞增，
所以即為，
故當時，有兩個不相等的實數根，
在中，則有，即，
解得，
所以實數的取值范圍為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了函數的零點與方程根的關系，涉及了函數單調性的應用、二次函數根的分布問題，解題的關鍵是將已知的方程變形為，進而構造函數分析，對于學生的思維能力有較高的要求．
16. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的右支交于A，B兩點，若，，則C的離心率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】設的中點為，連接，，由題意可得，，由雙曲線的定義可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出兩個角的余弦值，即可求出的關系，從而可得雙曲線C的離心率.
【詳解】解：如圖：設的中點為，連接，，
因為，所以，
因為為的中點，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因為，所以，
在中，，
因為，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以離心率，
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域的答案無效.
17. 它們的終邊分別與單位圓相交于
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)根據三角函數的定義，求，，再利用兩角和的正切公式求，結合的范圍求，(2)根據同角關系求，，再根據二倍角公式求，，結合(1)由兩角和的正弦公式求.
【詳解】由可得：
(1)
由得
(2)由(1)得
，
故
18. 如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，E為CD的中點連接AE交BD于G，點F在側棱PD上，且DFPD．
（1）求證：PB∥平面AEF；
（2）若，求三棱錐E﹣PAD的體積．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明平面；
（2）求出，，由，求出，三棱錐的體積，由此能求出結果．
【詳解】（1）證明：四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，與交于點，平面，
為的中點連接交于，點在側棱上，且，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，，，，，
，，，
設平面的法向量，
則，取，得，
，平面，
平面；
（2）解：，，
，，
由，解得，，
三棱錐的體積：
．
【點睛】本題主要考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．
19. 已知函數.
（1）當時，求函數的單調增區(qū)間；
（2）若不等式對于任意成立，求正實數的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1），對a分類討論以確定函數的單調增區(qū)間；（2）不等式對任意成立等價于對任意，有成立.設，，則只要即可.
【詳解】（1）由題意得，函數的定義域為.
.
若，則當或時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減.若，則當時，，此時單調遞減；當時，即，此時單調遞增.
綜上所述，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在和上單調遞增.
（2）不等式對任意成立等價于對任意，有成立.
設，，則只要即可.
.
令，得；令，得.
所以函數在是哪個單調遞減，在上單調遞增.
所以的最大值為與中的較大者.
設，
則，
所以上單調遞增，所以，所以.
從而.所以，即.
設，則，
所以在上單調遞增.
又，所以的解為.
因為，所以正實數的取值范圍為.
【點睛】利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.
20. 已知公差的等差數列，是的前項和，，是和的等比中項.
（1）求的通項公式；
（2）設數列滿足，且的前項和為，求證.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據題意列出關于和的方程組，解出和即可求得通項公式；
（2）化簡可得，由裂項相消法可求出，進而求證.
【詳解】（1）是和的等比中項，
，即，
，，
則可解得，，
∴；
（2），
，
，.
【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；
（3）對于結構，利用分組求和法；
（4）對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
21. 某果農在其承包的100畝果園中種植一種原生態(tài)水果(每年種植一季)，每畝的種植成本為5000元，由于受天氣和市場供求關系的影響，此水果的畝產量和銷售價格均具有隨機性，且互不影響.根據近幾年的數據得知，每季由產量為的概率為0.4.畝產量為的概率為0.6，市場銷售價格(單位：元/kg)與其概率的關系滿足.
（1）設表示此果農某季所獲得的利潤，求的分布列和數學期望；
（2）求5年中恰有4年此果農的利潤高于100萬元的概率.
【答案】（1）答案見解析；（2）0.2592.
【解析】
【分析】（1）根據題意先求出利潤的所有可能取值，再求出對應的概率，列出分布列，得出期望.
(2)由（1）得出第年利潤高于100萬元的概率，從而可得出5年中恰有4年此果農的利潤高于100萬元的概率.
【詳解】解：(1)設事件“此水果的畝產量為”，事件“此水果的市場銷售價格為”.
由題知，，
因為利潤=產量×市場銷售價格-成本.所以的所有可能取值為
.
.
.
.
∴，
，
，
.
所以的分布列為
∴.
(2)設事件“第年利潤高于100萬元”()
由題知，，，，，，相互獨立，由(1)知，
5年中恰有4年此果農的利潤高于100萬元的概率為
所以5年中恰有4年此果農的利潤高于100萬元的概宰為0.2592.
22. 已知函數．
（1）若，求函數的單調減區(qū)間；
（2）若，正實數，滿足，證明：．
【答案】（1）單調遞減區(qū)間為；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由，求出的值，從而得出的解析式，得出定義域并進行求導，利用導數研究函數的單調性，即可得出的單調減區(qū)間；
（2）當時，，則，令，利用導數研究函數的單調性和最值，從而得出，進而可得，解不等式即可得出證明.
【小問1詳解】
解：因為，所以，解得：，
所以，的定義域為，
，
令，得，
所以的單調遞減區(qū)間為．
【小問2詳解】
證明：當時，，
所以
，
令，則，
所以時，，單調遞增，
時，，單調遞減，
所以，
所以，
即，
因為，是正實數，所以．
【點睛】思路點睛：解決單調區(qū)間問題及不等式問題注意兩個轉化：
（1）利用導數解決此類單調區(qū)間問題，應該首先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區(qū)間易出錯；
（2）將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性問題處理，一般需要通過構造新函數解決導數問題．500000
1000000
1100000
1900000
0.12
0.28
0.18
042