初中數(shù)學(xué)浙教版九年級上冊第4章 相似三角形4.5 相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用練習(xí)題

這是一份初中數(shù)學(xué)浙教版九年級上冊第4章 相似三角形4.5 相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用練習(xí)題，共13頁。試卷主要包含了求證等內(nèi)容，歡迎下載使用。
基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識點1 相似三角形的性質(zhì)
1.【教材變式·P141課內(nèi)練習(xí)T1】已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應(yīng)中線,若ACA'C'=23,則BDB'D'=( )( )
A.49 B.94
C.23 D.32
2.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它們的對應(yīng)角平分線,若AD=8,A'D'=12,則△ABC與△A'B'C'的相似比是( )
A.2∶3 B.4∶9
C.3∶2 D.9∶4
3.如圖,已知△ABC∽△ACP,∠A=70°,∠APC=65°,則∠B的度數(shù)為( )
A.45° B.50°
C.55° D.60°

第3題圖 第4題圖
4.【新獨家原創(chuàng)】圓圓做的一個風(fēng)箏支架示意圖如圖所示,已知△ABC∽△ADE,相似比為2∶5,經(jīng)測量,點A到BC的距離為2,則BC與DE之間的距離為 .( )
5.求證:相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.
要求:①根據(jù)給出的△ABC及線段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以線段A'B'為一邊,在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不寫作法,保留作圖痕跡;
②在已有的圖形上畫出一組對應(yīng)中線,并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程.
知識點2 三角形的重心及性質(zhì)
6.如果三角形的重心在它的一條高線上,則這個三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
7.(2023浙江杭州拱墅期中)如圖,點G為△ABC的重心,連結(jié)CG、AG并延長,分別交AB、BC于點E、F,連結(jié)EF,若AB=4.4,AC=3.2,BC=3.6,則EF的長為( )
A.1.6 B.1.8
C.2.2 D.2.4
8.如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,點P是Rt△ABC的重心,則點P到AB所在直線的距離等于( )
A.1 B.2 C.32 D.2
9.(2022湖北荊門中考)如圖,點G為△ABC的重心,D,E,F分別為BC,CA,AB的中點,具有性質(zhì):AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=2∶1.已知△AFG的面積為3,則△ABC的面積為 .
能力提升全練
10.【分類討論思想】如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊之比為3∶7,其中一個三角形的一邊上的中線長為2,則另一個三角形對應(yīng)中線的長為( )
A.143 B.67 C.143或67 D.無法確定
11.如圖,在△ABC中,BD,CE分別為AC,AB邊上的中線,BD⊥CE,若BD=3,CE=5,則△ABC的面積為( )( )
A.20 B.16
C.15 D.10
12.(2022浙江杭州拱墅期中,10,★★☆)如圖,H是△ABC的重心,延長AH交BC于D,延長BH交AC于M,E是DC上一點,且DE∶EC=5∶2,連結(jié)AE交BM于G,則BH∶HG∶GM等于( )
A.7∶5∶2 B.13∶5∶2 C.5∶3∶1 D.26∶10∶3
13.(2023浙江杭州上城期中,8,★★☆)如圖,在三角形紙板ABC中,AC=4,BC=8,AB=11,P是BC上一點,沿過點P的直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板.針對CP長的不同取值,三人的說法如下.
甲:若CP=4,則有3種不同的剪法;
乙:若CP=2,則有4種不同的剪法;
丙:若CP=1,則有3種不同的剪法.
下列判斷正確的是( )
A.乙錯,丙對 B.甲和乙都錯 C.乙對,丙錯 D.甲錯,丙對
14.如圖,在△ABC中,D是BC上的點,E是AD上的點,且ABAC=ADCE,∠BAD=∠ECA.
(1)求證:AC2=BC·CD;
(2)若E是△ABC的重心,求AC2∶AD2的值.
素養(yǎng)探究全練
15.【推理能力】已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=90°,∠ABD=90°,AB=BD,BC=4(點A、D在直線BC的兩側(cè)),點G是Rt△ABD的重心,射線BG交邊AD于點E,射線BC交邊AD于點F.
(1)求證:∠CAF=∠CBE;
(2)當(dāng)點F在邊BC上,AC=1時,求BF的長;
(3)若△BGC是以BG為腰的等腰三角形,試求AC的長.
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.C ∵△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應(yīng)中線,ACA'C'=23,
∴BDB'D'=ACA'C'=23.故選C.
2.A ∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它們的對應(yīng)角平分線,AD=8,A'D'=12,
∴△ABC與△A'B'C'的相似比為AD∶A'D'=8∶12=2∶3.故選A.
3.A ∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,
∵∠A=70°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°.故選A.
4.答案 3
解析 如圖,過點A作AQ⊥DE交DE于點Q,交BC于點P,
∵△ABC∽△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∴BC∥DE,
∵AQ⊥DE,∴AP⊥BC,
∵△ABC∽△ADE,∴APAQ=25,
由題意可知,AP=2,
∴AQ=5,∴PQ=AQ-AP=5-2=3,
即BC與DE之間的距離為3.
5.解析 (1)如圖所示,△A'B'C'即為所求.
(2)已知:如圖,△ABC∽△A'B'C',A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=k,D是AB的中點,D'是A'B'的中點,求證:C'D'CD=k.
證明:∵D是AB的中點,D'是A'B'的中點,
∴AD=12AB,A'D'=12A'B',
∴A'D'AD=12A'B'12AB=A'B'AB,
∵△ABC∽△A'B'C',
∴A'B'AB=A'C'AC,∠A'=∠A,∴A'D'AD=A'C'AC,
∴△A'C'D'∽△ACD,∴C'D'CD=A'C'AC=k.
6.A ∵三角形的重心在它的一條高線上,
∴這條高線所在直線是三角形某一邊的垂直平分線,
∴這個三角形一定是等腰三角形.故選A.
7.A ∵點G為△ABC的重心,∴AF和CE為△ABC的中線,
∴E、F分別為AB、BC的中點,
∴EF為△ABC的中位線,
∴EF=12AC=12×3.2=1.6.故選A.
8.A 如圖,連結(jié)CP并延長,交AB于D.
∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是△ABC的中線,PD=13CD,
∵∠ACB=90°,∴CD=12AB=3,∴PD=1,
∵AC=BC,CD是△ABC的中線,∴CD⊥AB,
∴點P到AB所在直線的距離等于1,故選A.
9.答案 18
解析 ∵CG∶GF=2∶1,△AFG的面積為3,
∴△ACG的面積為6,
∴△ACF的面積為3+6=9,
∵點F為AB的中點,
∴△ACF的面積=△BCF的面積,
∴△ABC的面積為9+9=18.
能力提升全練
10.C ∵相似三角形的對應(yīng)邊之比為3∶7,
∴它們的對應(yīng)中線的比為3∶7,
∵其中一個三角形的一條中線長為2,而這條中線可能是小三角形的,也可能是大三角形的,
∴另一個三角形對應(yīng)的中線長可能為143,也可能為67.故選C.
11.D 如圖,設(shè)CE與BD交于點O,
∵BD,CE分別為AC,AB邊上的中線,
∴點O是△ABC的重心,
∴OC=23CE=103,∵BD⊥CE,
∴△BDC的面積=12·BD·OC=12×3×103=5,
∵BD為AC邊上的中線,∴S△ABC=2S△BDC=10,
故選D.
12.D 如圖,過C作CF∥BM,交AE的延長線于F,
∵H是△ABC的重心,
∴M是AC的中點,D是BC的中點,
∴G是AF的中點,且GM=12CF,設(shè)CF=a,則GM=12a,
∵CF∥BG,DE∶EC=5∶2,D是BC的中點,
∴CFBG=CEBE=25+5+2=16,
∴BG=6CF=6a,∴BM=132a,
∵H是△ABC的重心,∴BH=23BM=133a,
∴HG=BG-BH=6a-133a=53a,
∴BH∶HG∶GM=133a∶53a∶12a=26∶10∶3.
故選D.
13.C 如圖所示,過P作PD∥AB交AC于D,PE∥AC交AB于E,則△PCD∽△BCA,△BPE∽△BCA,此時0