一、選擇題
1．已知直線的斜率為,直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍,則直線的斜率為( )
A.B.C.D.
2．已知數(shù)列滿足,則的前10項的和為( )
A.B.6C.5D.
3．已知數(shù)列是等比數(shù)列,且,,則( )
A.B.C.D.
4．已知函數(shù),則曲線在處的切線斜率為( )
A.B.C.D.
5．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列,首項為,公比為q,則是“數(shù)列遞減”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
6．已知點和圓,一束光線從點P出發(fā),經(jīng)過直線反射后到達(dá)圓C上一點的最短路程是( )
A.4B.5C.6D.7
7．已知,,則( )
A.B.C.D.
8．已知實數(shù),,,滿足,,,則的最大值是( )
A.B.6C.D.12
二、多項選擇題
9．過點的直線與x軸,y軸正半軸分別交于點A,B,則的可能值是( )
A.7B.7.4C.D.8
10．設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項和為,前n項積為,且滿足條件,,,則下列選項正確的是( )
A.為遞減數(shù)列B.
C.是數(shù)列中的最大項D.
11．下列四個命題表述正確的是( )
A.橫縱截距相等的直線斜率為-1
B.圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1
C.曲線與曲線恰有三條公切線,則
D.已知圓,點P為直線上一動點,過點P向圓C引兩條切線PA,PB,A,B為切點,則弦AB長度的最小值為
12．對于函數(shù),c,,下列說法正確的是( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
B.函數(shù)有極值的充要條件是
C.若函數(shù)有兩個極值點,,則
D.若,則過點作曲線的切線有且僅有2條
三、填空題
13．已知點,直線,若直線l與線段AB有交點,則實數(shù)m的取值范圍為_____________.
14．已知等差數(shù)列滿足,,記表示數(shù)列的前n項和,則當(dāng)時,n的取值為___________.
15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點,,若圓上存在點P,使得,則實數(shù)m的取值范圍是_____________.
16．已知不等式對任意的都成立,則實數(shù)a的取值范圍是________________.
四、解答題
17．圓內(nèi)有一點,過的直線交圓于A、B兩點.
(1)當(dāng)弦AB被平分時,求直線AB的方程;
(2)若為直角三角形,求直線AB的方程.
18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知的頂點,BC邊上中線AD所在直線方程為,AB邊上的高CH所在直線方程為,求：
(1)頂點A的坐標(biāo);
(2)外接圓的一般方程.
19．已知數(shù)列的前n項和為,滿足,是以為首項且公差不為0的等差數(shù)列,,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)令,求數(shù)列的前n項和.
20．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時,如果曲線恒在x軸上方,求a的取值范圍.
21．已知數(shù)列滿足,.
(1)求的通項公式和前n項和;
(2)設(shè),若不等式,對于任意都成立,求正數(shù)k的最大值.
22．已知,函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求證：存在唯一的,使得;
(2)若存在實數(shù)a,b,使得恒成立,求的最小值.
參考答案
1．答案：D
解析：直線的斜率為,即,所以傾斜角為,
所以直線的傾斜角為,
斜率.
故選：D.
2．答案：D
解析：由題可知,
又,的周期,且,,,
故該列數(shù)列的前10項的和為.
故選：D.
3．答案：B
解析： 為等比數(shù)列,故也為等比數(shù)列,
由,又, 的公比滿足,則,
而,平方得,,
是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,其前n項和.
故選：B.
4．答案：D
解析：依題意,,令,
故,解得,
故,故.
故選：D.
5．答案：B
解析：由已知,解得或,,
此時數(shù)列不一定是遞減數(shù)列,
所以是“數(shù)列遞減”的非充分條件;
若數(shù)列為遞減數(shù)列,可得或,所以,
所以是“數(shù)列遞減”的必要條件.
所以“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.
故選：B.
6．答案：B
解析：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為,
則,解得,
所以點關(guān)于直線的對稱點為,
由題可知圓的圓心為,半徑,
最短路程即為.
故選：B.
7．答案：C
解析：因為,即,
因為,,
要比較a、b的大小關(guān)系只需比較與的大小關(guān)系,
令,,則,
所以在上單調(diào)遞增,所以,
即,當(dāng)時,,
又在上單調(diào)遞增,所以,
即,所以.
故選：C.
8．答案：D
解析：如圖：
設(shè),,則原題等價于點A,B是圓上兩點,
并且,,所以,
,
所以所求最大值就是A,B兩點到直線 的距離之和的倍,
設(shè)AB的中點為M,由上圖可知：,就是M點到直線 的距離的倍,
由于是直角三角形, ,
設(shè)AB的中點為M,所以M在圓上運動,
所以本題等價于求M到直線的距離倍的最大值,
顯然,最大值=原點O到直線的距離與圓的半徑之和的倍
;
故選：D.
9．答案：CD
解析：設(shè)直線方程為,
由題得,
所以.
故選：CD.
10．答案：ACD
解析：因為數(shù)列為等比數(shù)列,且,,故,該數(shù)列為正項等比數(shù)列;
若,顯然不滿足題意,舍去;若,則,不滿足,舍去;
若,則該數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列,由,
故可得,或,,
顯然,不滿足題意,故舍去,則,
對A：因為,故數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列,A正確;
對B：,即,即,故B錯誤;
對C：因為單調(diào)遞減,且,故的最大值為,C正確;
對D：,故D正確;
故選：ACD.
11．答案：BCD
解析：A.當(dāng)直線過原點時,直線的橫縱截距為0,這時直線的斜率不一定為-1,故A錯誤;
B.圓的圓心到直線的距離為,而圓的半徑為2,
則平行于l且距離為1的兩條直線分別過圓心以及和圓相切,
所以圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1,故B正確;
C.圓圓心,半徑,
圓的圓心,半徑,
依題意兩圓外切,則,即,解得,故C正確;
對于D,圓的圓心,,點C到直線的距離,
則,由切線長定理知,直線PC垂直平分線段AB,于是得：
,
當(dāng)且僅當(dāng)點P是過圓心C向直線作垂直的垂足時取“＝”,即弦AB長度的最小值為,故D正確.
故選：BCD.
12．答案：ABC
解析：由題意得,則,,
對于A,,則的圖象關(guān)于點中心對稱,故A正確,
對于B,若有極值,則,得,故B正確,
對于C,若有兩個極值點,,則,,
,
而,故,故C正確,
對于D,,則,
,設(shè)過點的直線與相切于點,
則,整理得,
令,,
令,得或,令,得,
故有極大值,極小值,
由三次函數(shù)性質(zhì)得有三個解,,且,
則過點做曲線的切線有3條,故D錯誤,
故選：ABC.
13．答案：
解析： ,即,
令,則,
即直線l過定點,且斜率,
則,
根據(jù)題意結(jié)合圖形可得或,即或.
故答案為：.
14．答案：23
解析：,故,,故,故,
,.
,故.
故答案為：23.
15．答案：
解析：設(shè)的外接圓為圓M,由于,
由正弦定理可知,圓M的半徑r滿足,
所以圓M的半徑長為,
易知,且圓心M在線段AB的垂直平分線上,
可求得點M的坐標(biāo)為或,由于點P在圓C上,也在圓M上,則圓C與圓M有公共點.
①若M的坐標(biāo)為,則圓M的方程為,
此時由于圓M與圓C有公共點,則,即,
化簡得,解得;
②若點M的坐標(biāo)為,則圓M的方程為,
此時由于圓M與圓C有公共點,則,
即,化簡得,
解得.
綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是,
故答案為.
16．答案：
解析：不等式可變形為.
令,則.
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.
不等式等價于,
所以,即,
因為,所以.
設(shè),則.
當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以,又有意義知.
所以.
故答案為：.
17．答案：(1);
(2)或.
解析：（1）因在圓內(nèi),
過的弦AB被平分,則,而直線的斜率為,
因此直線AB斜率為,方程為,即,
所以直線AB的方程為.
（2）因直線AB過圓內(nèi)的點,則為等腰三角形,
又為直角三角形,必有,
而圓半徑為3,因此圓心O到直線AB的距離,顯然直線AB的斜率存在,
設(shè)直線AB的方程為：,即,由解得或,
于是得直線或,
所以直線AB的方程為或.
18．答案：(1);
(2).
解析：（1）因為AB邊上的高CH所在直線方程為,
所以,解得：.
所以直線AB的方程為,即.
由解得：,即.
（2）因為點C在直線上,所以可設(shè),則BC中點為.
把代入直線,有,解得：,所以.
經(jīng)過,,可設(shè)為：,
所以,解得：,
所以外接圓的方程為.
19．答案：(1),;
(2).
解析：（1）由,取可得,又,
所以,則.
當(dāng)時,由條件可得,兩式相減可得,,又,
所以,所以數(shù)列是首項為-2,公比為-2的等比數(shù)列,故,
因為,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,,
由,,成等比數(shù)列,所以,又,所以解得,
故.
（2）,
,
.
相減得,
所以,所以
所以.
20．答案：(1)
(2)見解析
(3)
解析：（1）時,,,
故,,
故切線方程是：,即;
（2）,
①當(dāng)時,由于,故, ,
的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)減區(qū)間;
②當(dāng)時,令,得,
在區(qū)間上,;在區(qū)間上,;
的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;
綜上,當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)減區(qū)間;
當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）由題意知在上恒成立,即在上恒成立,
令,
則,
令,解得：;令,解得：;
故在遞增,在遞減,
而,
在上,
故,即a的范圍為
21．答案：(1);
(2)4
解析：（1）,
可得,,
所以是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列,所以,
則,;
（2）,,
,
不等式可改寫為,
即,
設(shè),
,
所以,即當(dāng)n增大時,也增大,
所以只需即可.因為,
所以,,即,所以正數(shù)k的最大值為4.
22．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：（1）證明： ,,
當(dāng)時,,函數(shù)在上的單調(diào)遞增,
又,,存在唯一的,使得.
（2）當(dāng)時,則當(dāng)時,,
即函數(shù)在上單調(diào)遞增,且當(dāng)時,,這與矛盾;
當(dāng),由,得, ;
當(dāng),由（1）知當(dāng)時,;當(dāng)時,;
即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
的最小值為,其中滿足,故且,
恒成立, ,即,
于是,記,,
則,由得,即函數(shù)在上單調(diào)時遞減,
由得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,
,
綜上得的最小值為,此時.

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