一、單選題
1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用定義即可求解.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€可化為，則，
由拋物線的定義可知：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
故選：.
2．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量在向量上的投影向量為，計(jì)算即可求出答案．
【詳解】解：向量，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為．
故選：．
3．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則空間的另一個(gè)基底可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)共面定理逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?，，共面?br>所以不是空間的另一個(gè)基底，A錯(cuò)誤．
因?yàn)?，所以，，共面?br>所以不是空間的另一個(gè)基底，B錯(cuò)誤．
假設(shè)存在m，n，使得，
則，顯然無解，所以，，不共面，
所以是空間的另一個(gè)基底，C正確．
因?yàn)?，所以，，共面?br>所以不是空間的另一個(gè)基底，D錯(cuò)誤．
故選：C
4．坐標(biāo)平面內(nèi)有相異兩點(diǎn)，，經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函數(shù)求出的范圍，利用斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角的范圍.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，是相異兩點(diǎn)，
，且，
設(shè)直線的傾斜角為，則
當(dāng)，傾斜角的范圍為．
當(dāng)，傾斜角的范圍為．
故選：B
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查直線的傾斜角的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意是相異的兩個(gè)點(diǎn)，利用求出斜率的范圍，再利用傾斜角與斜率的關(guān)系求出傾斜角的范圍，屬于易錯(cuò)題.
5．正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)得到，然后利用線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】
由正八面體的性質(zhì)可得，，則，
.
故選：A.
6．設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，故點(diǎn)滿足方程，可表示點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率，由幾何意義易得結(jié)論.
【詳解】曲線表示以為圓心，為半徑的下半圓，如圖所示：

可表示點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率
當(dāng)直線與圓相切時(shí)：設(shè)直線方程為，即
圓心到直線距離，
解得或，
又，所以，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，
綜上
故選：B.
7．過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為，通過雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)，求出的長度及判斷出垂直于，通過勾股定理得到的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.
【詳解】如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，
所以為的中位線，所以，，
因?yàn)闉閳A的切點(diǎn)，所以，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，所以，
所以，
在中，，
所以，即，
所以離心率，
故選：C

8．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，若，且，則p為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】分別過點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義以及圖象可得，結(jié)合已知條件求得，即可.
【詳解】如圖，分別過點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，
設(shè)，則由已知得，由拋物線的定義得，
故，
在直角三角形中，，，
又因?yàn)椋?br>則，從而得，
又因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
二、多選題
9．已知曲線（ ）
A．若，則為橢圓
B．若，則為雙曲線
C．若為橢圓，則其長軸長一定大于
D．若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則其離心率小于
【答案】BCD
【解析】根據(jù)曲線所表示的圖形求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；求出橢圓長軸長的表達(dá)式，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用雙曲線的離心率公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若為橢圓，則，A不正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若為雙曲線，等價(jià)于，即或，B正確：
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，橢圓長軸長，
當(dāng)時(shí)，橢圓長軸長，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，
雙曲線的離心率為，D正確.
故選：BCD.
10．阿波羅尼斯古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前年的著作圓錐曲線論是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有圓C：和點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則t的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
【分析】由求出點(diǎn)的軌跡為圓，再將問題化為兩圓有交點(diǎn)，根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系列式，求出的范圍，從而可得答案.
【詳解】設(shè)，由得，
整理得，即，
依題意可知，圓與圓有交點(diǎn)，
兩圓圓心分別為和，兩圓半徑分別為和，
圓心距為，
所以，即，解得，
所以的取值可以是和.
故選：AB
11．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．直線與AC所成角的余弦值為
【答案】ABD
【分析】利用空間向量法，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】以為基底，則
對(duì)A：∵
則
∴，A正確；
對(duì)B：∵，
則
∴，B正確；
對(duì)C：∵
則，即
∴，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：∵
則
即
∴，即直線與AC所成為，D正確；
故選：ABD.
12．已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，若，則（ ）
A．的周長為B．
C．平分線的斜率為D．橢圓的離心率為
【答案】ABD
【分析】由分析知點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，故的周長為，可判斷A；設(shè)，由橢圓的定義和角平分線定理求出，，可判斷B；由余弦定理可判斷D；點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線的傾斜角為，由兩角差的正切公式求出可判斷C.
【詳解】點(diǎn)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，
又點(diǎn)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，
所以點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，故的周長為，故A正確；
設(shè)的平分線交于點(diǎn)，設(shè)，
則，
所以，而，
設(shè)則，于是，
所以，，，，，
所以，故B正確；
在，由余弦定理可得：，
則，則，所以，故D正確；
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由題意可知，點(diǎn)在橢圓的下頂點(diǎn)處，則，
，，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
由對(duì)稱性知平分線的斜率為或，故C不正確.
故選：ABD.
三、填空題
13．已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的兩倍，則直線的方程為 ．
【答案】或
【分析】當(dāng)縱截距為時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)求得的值，當(dāng)縱截距不為時(shí)，設(shè)直線的截距式方程，代入點(diǎn)求解.
【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，設(shè)直線方程為，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，
設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，
則直線的方程為，
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，
解得：，
所以直線的方程為，即，
綜上所述：直線的方程為或，
故答案為：或．
14．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即為對(duì)稱圓圓心，又因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱的圓半徑不變，從而求出對(duì)稱圓的方程.
【詳解】圓，即，
表示以為圓心，半徑為1的圓，
設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，
解得，，
故圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故對(duì)稱圓的圓心為，
因?yàn)閷?duì)稱圓半徑不變，所以對(duì)稱圓半徑為1，
故所求對(duì)稱圓方程為.
故答案為：.
15．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)．若，則線段的長為 ．
【答案】；
【分析】求出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的定義、結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
所以直線的方程為：，
與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，
，因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，
故答案為：
16．是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是的內(nèi)切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓的離心率為 .
【答案】/0.5
【分析】先由求得，再利用求得，即可求出離心率.
【詳解】
由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方.設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，內(nèi)切圓半徑為，橢圓長軸長為，焦距為，
則，得，又，
即，又，化簡得，即，
解得，可得離心率為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，．
(1)求的面積S；
(2)若直線過點(diǎn)C，且點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求直線的方程．
【答案】(1)13
(2)或
【分析】（1）先求直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離可得三角形的高，結(jié)合面積公式可得答案；
（2）分情況求解，所求直線可能與直線平行，也可能經(jīng)過線段的中點(diǎn)，結(jié)合平行的特點(diǎn)及點(diǎn)斜式方程可得答案.
【詳解】（1）由，得直線的方程為，
，
點(diǎn)C到直線的距離為 ；
所以的面積S為.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A，B到直線的距離相等，所以直線與平行或通過的中點(diǎn)，
①當(dāng)直線與平行，所以，所以：即．
②當(dāng)直線通過的中點(diǎn)，
所以，所以：，即．
綜上：直線的方程為或．
18．已知橢圓的離心率為，且短軸長為．
(1)求的方程；
(2)若直線與交于兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和的關(guān)系求解即可；
（2）設(shè)，，利用點(diǎn)差法求解即可.
【詳解】（1）由題意可得橢圓中，
又因?yàn)椋獾?，?br>所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，，則，
兩式相減，得，
又根據(jù)題意帶入可得，
所以的斜率，
故的方程為，即．

19．如圖1，矩形ABCD中，，，E為CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿AE，BE向上翻折，使點(diǎn)D，C分別到達(dá)點(diǎn)M，N的位置，且平面AME，平面BNE均與平面ABE垂直（如圖2）.

(1)證明：M、N、A、B四點(diǎn)共面；
(2)求直線AE與平面ABNM所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，平面，故，再證明四邊形是平行四邊形，可得，從而可證明；
（2）取的中點(diǎn)，可得，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解.
【詳解】（1）證明：如圖：

取，的中點(diǎn)，，連接，，如圖，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面，所以平面.
同理可得平面，所以，
在直角三角形中，，
所以，同理，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)椋?，的中點(diǎn)，所以，
所以，所以M、N、A、B四點(diǎn)共面.
（2）在圖1中，，
所以，所以，
取的中點(diǎn)，連接，則，所以,
由（1）知，，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，
， ，，
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)?，?br>所以，即，
令，則，
又，設(shè)直線與平面所成角為，
所以 .
所以直線與平面所成角的正弦值為.
20．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.若的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，且的歐拉線的方程為，記外接圓圓心記為M. 求：
(1)圓M的方程；
(2)已知圓N：，過圓M和圓N外一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，與圓M切于點(diǎn)A，與圓N切于點(diǎn)B，且，求P點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由A(2,0)，B(0,4)，可知AB的中垂線方程為，將其與歐拉線聯(lián)立，可得外心坐標(biāo)，后可得外接圓M的方程；
（2）設(shè)，由題有，，后可得答案.
【詳解】（1）因，則AB的中點(diǎn)為，
又，則AB的中垂線方程為，
將其與歐拉線方程聯(lián)立有，解得，
故的外心為，則外接圓半徑為，故圓M的方程為.
（2）設(shè)，由題有
，
.
因，則.
化簡得：
所以點(diǎn)的軌跡方程為：.
21．圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖.
(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大??；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系可證得為等邊三角形，取中點(diǎn)，由等腰三角形三線合一和勾股定理可證得、，由線面垂直和面面垂直的判定可證得結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)存在且，由共線向量可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到面的距離的向量求法可求得，進(jìn)而由二面角的向量求法求得結(jié)果.
【詳解】（1）在圖中取中點(diǎn)，連接，，
，，，，，
，，，四邊形為矩形，，
，又，為等邊三角形；
又，為等邊三角形；
在圖中，取中點(diǎn)，連接，
為等邊三角形，，，
，又，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
設(shè)棱上存在點(diǎn)且滿足題意，
即，解得：，即，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
，
到平面的距離為，解得：，
，
又平面的一個(gè)法向量，
，
又二面角為銳二面角，二面角的大小為.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)D．且,設(shè)直線QA，QD，QB的斜率分別為，，，若，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切滿足的幾何關(guān)系，即可得，結(jié)合橢圓的定義即可求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可代入求解.
【詳解】（1）由已知圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，
圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，，經(jīng)分析可得，，則.由題意可知，兩式相加得，，
所以，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)方程為，則，，，，，所以，軌跡的方程為.
（2）由題意直線AB的斜率一定存在，由（1）知，，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線AB方程為：，D坐標(biāo)為．所以，
設(shè)，，將直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立得．恒成立，
由韋達(dá)定理知，且，，
則
．
故（定值）．

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中取值范圍或者定值問題的求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值或者范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的關(guān)系建立不等式或者方程，從而求出參數(shù)的取值或者范圍；
（4）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

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