一、單選題
1．寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】數(shù)列分子為，分母為，由此可求得一個(gè)通項(xiàng)公式.
【詳解】數(shù)列，
則其分母為，分子為，則其通項(xiàng)公式為.
故選：B
2．某學(xué)校有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，現(xiàn)按分層抽樣從中隨機(jī)選擇200人，則其中女生為（ ）
A．70人B．80人C．90人D．100人
【答案】B
【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求解即可.
【詳解】根據(jù)分層抽樣，女生人數(shù)為人，
故選：B.
3．已知在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差中項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列中，因?yàn)?，可得，所以?br>又由，且，可得.
故選：C.
4．一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，設(shè)，，則（ ）
A．與互斥B．與相互對(duì)立
C．與相互獨(dú)立D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求出概率，結(jié)合互斥事件，相互獨(dú)立及概率的乘法公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】依題得，，，，
對(duì)A，有共同的樣本點(diǎn)2,3，所以不互斥，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，與共同的樣本點(diǎn)，所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，，則，則，
，，則，則C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，，D正確.
故選：D
5．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，,，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.
【詳解】因?yàn)槭菙?shù)列的前項(xiàng)和，，，
所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公比為，
則，解得.
故選：A.
6．某同學(xué)參與了自媒體《數(shù)學(xué)的維度》欄目約稿啟事，為了估計(jì)投稿人數(shù)，隨機(jī)了解到個(gè)投稿回執(zhí)編號(hào)，從小到大依次為、、、、、，這個(gè)編號(hào)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，可以用前個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度估計(jì)第個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得投稿人數(shù)的估計(jì)值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出前個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度，加上即可得解.
【詳解】由題意可知，前個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度分別為、、、、、，
這個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度為，因此，投稿人數(shù)的估計(jì)值為.
故選：C.
7．天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為，假定這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互獨(dú)立，則這段時(shí)間甲乙兩地至少有一個(gè)降雨的概率為（ ）
A．0.58B．0.82C．0.12D．0.42
【答案】A
【分析】考慮對(duì)立事件的概率，然后得到該事件的概率即可.
【詳解】甲地不降雨的概率為，乙地不降雨的概率為，
所以甲乙兩地都不降雨的概率為，
所以甲乙兩地至少有一個(gè)降雨的概率為，
故選：A
8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．
C．當(dāng)取得最大值時(shí)，D．
【答案】D
【分析】由已知，利用等差數(shù)列求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)可得：， ，進(jìn)而判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，
所以，，
即，所以，，且，所以B錯(cuò)誤，D正確；
因?yàn)?，所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以C錯(cuò)誤.
故選：D
二、多選題
9．已知數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，公比為，則（ ）
A．將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列
B．取出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列
C．從數(shù)列中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列
【答案】ABC
【分析】直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義判斷即可.
【詳解】由于數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，公比為，
對(duì)于A：將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B：取出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列且公比為，故B正確；
對(duì)于C：從數(shù)列中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為，故C正確；
對(duì)于D：數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，故數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
10．一個(gè)盒子裝有標(biāo)號(hào)的5張標(biāo)簽，則（ ）
A．有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，標(biāo)號(hào)相等的概率為
B．有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的概率為
C．無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，標(biāo)號(hào)之和為5的概率為
D．無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的概率為
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意，利用古典摡型的概率計(jì)算公式，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，有種取法，
其中標(biāo)號(hào)相等的取法有種，所以概率為，所以A正確；
對(duì)于B中，有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，，有種取法，
其中第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的取法有種，所以概率為，所以B不正確；
對(duì)于C中，無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，有種取法，
其中標(biāo)號(hào)之和為5的有種取法，所以概率為，所以C不正確；
對(duì)于D中，無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，有種取法，
其中第一次標(biāo)號(hào)大于第二次有種，所以概率為，所以D正確；
故選：AD.
11．為了解甲?乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）中各隨機(jī)抽查20個(gè)，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖（用頻率分布直方圖估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，每個(gè)區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點(diǎn)值），關(guān)于甲?乙兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)，則（ ）
A．甲班眾數(shù)大于乙班眾數(shù)
B．乙班成績(jī)的60百分位數(shù)為125
C．甲班的中位數(shù)為124
D．甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計(jì)值
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，以及頻率分布直方圖的面積，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由數(shù)據(jù)圖，可得甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為分，乙班數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為分，
所以甲班眾數(shù)大于乙班眾數(shù)，所以A正確；
對(duì)于B中，乙班數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，可得：
前二個(gè)矩形的面積之和為，
前三個(gè)矩形的面積之和為，
所以乙班成績(jī)的60百分位數(shù)為分，所以B正確；
對(duì)于C中，根據(jù)中位數(shù)的定義，可得甲班的中位數(shù)為分，所以C不正確；
對(duì)于D中，甲班的平均數(shù)為：，
乙班的平均估計(jì)值為：，
可得，即甲班平均數(shù)大于乙班的平均數(shù)的估計(jì)值，所以D正確.
故選：ABD.
12．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，得到，設(shè)，求得，結(jié)合，得到，可判定A正確；由，求得的最大值為，可判定D正確；由，求得，可判定C正確；結(jié)合，可判定B錯(cuò)誤.
【詳解】由，可得，
設(shè)，則，
所以
因?yàn)?，可得，解得，所以A正確；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
所以的最大值為，所以D正確；
由，可得，
則有，
所以，
即，所以C正確；
由，所以B錯(cuò)誤.
故選：ACD.
三、填空題
13．已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事件和，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)古典概型特點(diǎn)，求出，根據(jù)得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：.
14．等差數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列，求出公差，然后根據(jù)通項(xiàng)公式求出.
【詳解】等差數(shù)列滿足
設(shè)等差數(shù)列公差為，則
，
故答案為：.
15．某數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了10名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)：作為樣本.經(jīng)計(jì)算得：平均分，則該樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 .（參考公式及數(shù)據(jù)：樣本方差）
【答案】10
【分析】根據(jù)給定條件，求出該樣本數(shù)據(jù)的方差即得結(jié)果.
【詳解】由，得，
所以該樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.
故答案為：10
16．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則 .
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，求出的值，當(dāng)時(shí)，由代入等式，可推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】對(duì)任意的，，則，
當(dāng)時(shí)，則有，可得；
當(dāng)時(shí)，，
即，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，
所以，，則，
故當(dāng)時(shí)，，
也滿足，
故對(duì)任意的，.
故答案為：.
四、解答題
17．某校高二年級(jí)的1000名學(xué)生參加了一次考試，考試成績(jī)?nèi)拷橛?5分到95分之間，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的考試成績(jī)作為樣本，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值；
(2)估算這次考試成績(jī)的平均分；
(3)從這1000名學(xué)生中選10名學(xué)生，已知他們上次考試成績(jī)的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差；記他們本次考試成績(jī)的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差，他們的本次考試成績(jī)?nèi)绫硭?判斷他們的平均分是否顯著提高（如果，則認(rèn)為本次考試平均分較上次考試有顯著提高，否則不認(rèn)為顯著提高）.
【答案】(1)
(2)
(3)平均分顯著提高
【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）根據(jù)小矩形的中點(diǎn)值及平均值公式計(jì)算公式即可求解；
（3）應(yīng)用均值公式及標(biāo)準(zhǔn)差公式，及運(yùn)算即可判斷.
【詳解】（1）由題知：，所以
（2）平均數(shù)約為
（3），
，則，
所以，可以判斷平均分顯著提高
18．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由已知條件求出的值，當(dāng)時(shí)，求出，由結(jié)合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得，利用錯(cuò)位相減法求出，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：由已知得，
當(dāng)時(shí)，，，
于是，
也滿足，
綜上，的通項(xiàng)公式為.
（2）證明：由（1）知，，
記，
所以，，
所以，，
故.
19．為研究某茶品價(jià)格變化的規(guī)律，收集了該茶品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.用頻率估計(jì)概率.
(1)試估計(jì)該茶品價(jià)格“上漲”?“下跌”?“不變”的概率；
(2)假設(shè)該茶品每天的價(jià)格變化只受前一天影響，判斷第41天該茶品價(jià)格“上漲”?“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大？
【答案】(1)“上漲”、“下跌”、“不變”的概率分別為，，
(2)“不變”的概率估計(jì)值最大
【分析】（1）計(jì)算表格中的“上漲”，“下跌”，“不變”的天數(shù)，結(jié)合古典概型即可求解；
（2）通過(guò)統(tǒng)計(jì)表格中前一天上漲，后一天發(fā)生的各種情況的概率進(jìn)行推斷.
【詳解】（1）由表知：40天中價(jià)格“上漲”15天，“下跌”15天，“不變”10天
該茶品價(jià)格“上漲”的概率為
該茶品價(jià)格“下跌”的概率為
該茶品價(jià)格“不變”的概率為
（2）研究：40天中除去最后一天價(jià)格“上漲”的有14天，
價(jià)格“上漲”后仍“上漲”的有4次，概率為，
價(jià)格“上漲”后“下跌”的有2次，概率為，
價(jià)格“上漲”后“不變”的有8次，概率為，
所以第41天該茶品價(jià)格“不變”的概率估計(jì)值最大
20．已知非零數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）由（1）得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，且，且，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以是首項(xiàng)為9，公比為2的等比數(shù)列.
（2）解：由（1）知，因?yàn)椋?br>所以，
所以.
21．已知甲?乙兩人進(jìn)行臺(tái)球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.設(shè)事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”.
(1)若進(jìn)行三局比賽，求“甲至少勝2局”的概率；
(2)若規(guī)定多得兩分的一方贏得比賽.記“甲贏得比賽”為事件，最多進(jìn)行6局比賽，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分甲勝3局和勝2局分類(lèi)討論，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解；
（2）分比賽進(jìn)行2局甲贏得比賽，4局甲贏得比賽，6局甲贏得比賽，三種情況考慮，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.
【詳解】（1）記“甲至少勝2局”為事件，則
因?yàn)榛コ猓?br>所以，
（2）若比賽最多進(jìn)行6局，甲贏得比賽包括以下3種情況：比賽進(jìn)行2局甲贏得比賽，比賽進(jìn)行4局甲贏得比賽，比賽進(jìn)行6局甲贏得比賽
設(shè)“比賽進(jìn)行局甲贏得比賽”
則
因?yàn)?，且互?br>所以
22．已知等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足.
（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）設(shè)為非零常數(shù)，若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義及等比中項(xiàng)聯(lián)立等式求解即可；
（2）（i）將題干條件化成，根據(jù)裂項(xiàng)相消化簡(jiǎn)即可；
（ii）根據(jù)題意求出數(shù)列的通項(xiàng)公式后，利用放縮法即可證明不等式成立.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題知：
所以，所以，所以，
解得，所以
（2）（i）由得，
所以
所以
疊加得：，
所以
又因?yàn)?，所?br>（ii）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，
所以，解得，所以
因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，顯然成立，
所以，.
這10名同學(xué)的本次考試成績(jī)
70
72
72
72
74
71
72
72
72
73
時(shí)段
價(jià)格變化
第1天到第10天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
第11天到第20天
+
0
-
-
+
-
+
0
-
+
第21天到第30天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
第31天到第40天
0
+
0
-
-
-
0
+
-
+

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2023屆山東省青島市即墨區(qū)高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含解析

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2021-2022學(xué)年山東省青島市4區(qū)市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

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