考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
核心提煉
判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，主要有兩點(diǎn)
(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)，即為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
(2)利用函數(shù)f′(x)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值點(diǎn).
例1 已知函數(shù)f(x)＝eq \f(a,2)x2﹣(2a2﹣a＋1)x＋(2a﹣1)ln x＋2，其中a≠0.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，f(x)存在一個(gè)極小值點(diǎn)x0，若x0>3.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝eq \f(1,2)x2﹣2x＋ln x＋2，f′(x)＝x﹣2＋eq \f(1,x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)＝eq \f(?x－1?2,x)≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，f′(x)＝0，
所以當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)f(x)＝eq \f(a,2)x2﹣(2a2﹣a＋1)x＋(2a﹣1)ln x＋2，
f′(x)＝ax﹣(2a2﹣a＋1)＋eq \f(2a－1,x)＝eq \f(ax2－?2a2－a＋1?x＋?2a－1?,x)＝eq \f(?ax－1?[x－?2a－1?],x)，
由f′(x)＝0，解得x＝eq \f(1,a)或x＝2a﹣1，
①若03，解得00時(shí)，g′(x)0，
所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又h(1)＝0，所以當(dāng)00)，得f′(x)＝2ax﹣2＋eq \f(1,x)＝eq \f(2ax2－2x＋1,x)(x>0)，
若函數(shù)f(x)＝ax2﹣2x＋ln x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，
則方程2ax2﹣2x＋1＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－8a>0，,x1＋x2＝\f(1,a)>0，,x1x2＝\f(1,2a)>0，))解得0

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