一、單選題
1．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.
【詳解】當(dāng)是遞增數(shù)列，則，則，
但是的符號(hào)不確定，故充分性不成立；
當(dāng)時(shí)，則，故是遞增數(shù)列，即必要性成立；
綜上，“是遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】對于A中，由，所以A錯(cuò)誤；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，由，所以C錯(cuò)誤；
對于D中，由，所以D錯(cuò)誤.
故選：B.
3．已知等比數(shù)列滿足,,則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意可得,所以 ,故 ,選C.
【解析】本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本運(yùn)算.
4．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求得正確答案.
【詳解】設(shè)，
故選：C
5．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ）
A．240B．60C．180D．120
【答案】D
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和公式求解即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，
所以，
所以．
故選：D．
6．?dāng)?shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使不等式成立的的最小值為（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】由知為等差數(shù)列，即可求出，再代入知，再利用裂項(xiàng)相消求出，解不等式，即可得出答案．
【詳解】因?yàn)椋?br>由等差中項(xiàng)的概念可知為等差數(shù)列，
又其公差為，，
所以，
代入得
解得即n的最小值為13
故選:C
7．已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出和，作差，求出即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，
所以.
故選：C.
8．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出、的值，可得出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，
所以，，所以，，
因?yàn)椋傻?，所以，?br>所以，，
所以，，即數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，，
所以，，
因此，.
故選：B.
二、多選題
9．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列B．，，成等差數(shù)列，公差為
C．當(dāng)或時(shí)，取得最大值D．時(shí)，的最大值為32
【答案】AC
【分析】先根據(jù)已知條件得出數(shù)列是等差數(shù)列，；再根據(jù)，的關(guān)系求出，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)可求出，，即可判斷選項(xiàng)B；利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)解不等式即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由，可得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
則.
所以
對于選項(xiàng)A：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
.
數(shù)列是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B：
，，
，
則，
所以，，成等差數(shù)列，公差為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：，
當(dāng)或時(shí)，最大，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：令，得，，即滿足的最大正整數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC
10．若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個(gè)正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．是奇數(shù)
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系以及特征，即可判斷選項(xiàng)AB，利用累加法即可判斷選項(xiàng)C，利用定義直接求解，表示出，即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】該數(shù)列為，所以，A正確；
由斐波那契數(shù)列得每三個(gè)數(shù)中，前兩個(gè)為奇數(shù)后一個(gè)為偶數(shù)，
且是奇數(shù)，B正確；
由，得：，
，，
累加得，C錯(cuò)；
由，
得：
，
所以，
，D對.
故選：ABD
11．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積， 已知 ，則下面正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．的通項(xiàng)公式
C．D．若且則
【答案】ABD
【分析】根據(jù)數(shù)列與其前前n項(xiàng)和，數(shù)列與其前n項(xiàng)積之間的等量關(guān)系求解，然后逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由題為數(shù)列的前n項(xiàng)積，則，
又因?yàn)椋?br>所以，
則，所以數(shù)列是以為公差為等差數(shù)列，A正確；
令，得，則，
則，也符合，
所以，所以C錯(cuò)誤；
由題意知，
不滿足上式，所以，所以B正確；
對于D，若且，
則，得，
累乘得
，所以D正確；
故選：ABD
12．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，是上的導(dǎo)函數(shù)，若，，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，由，可判定A正確；根據(jù)題意得到，和，兩式相減得到，得到是周期為4的周期函數(shù)，再由為偶函數(shù)，得到，得出為奇函數(shù)，從而得到，所以是周期為4的周期函數(shù)，進(jìn)而可判定B錯(cuò)誤；結(jié)合函數(shù)的周期性和對稱性，分別求得和的值，可判定C、D正確.
【詳解】對于A中，由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，
可得，所以A正確；
對于B中，由，令，得，所以，
又由，所以，，，
由，可得，故得，
兩式相減得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
所以，，
所以，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，得，所以，
所以為奇函數(shù)，則，
因?yàn)椋?，且?br>所以，又由，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
所以，
故，所以B錯(cuò)誤；
對于C中，由，所以C正確；
對于D中，由，所以D錯(cuò)誤．
故選：AC．
三、填空題
13．若函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是，那么過點(diǎn)A的切線方程是 ．
【答案】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】∵切線的斜率為.
∴點(diǎn)處的切線方程為，
即.
故答案為：.
14．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)， ．
【答案】
【解析】寫出和時(shí)的式子，相減即可得．
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以．
故答案為：．
15．曲線在處的切線的傾斜角為，則 ．
【答案】/
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再結(jié)合齊次式問題運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，可得?br>由題意可知：，
所以
，
即.
故答案為：.
16．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由題設(shè)易知是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，可得，進(jìn)而得到，裂項(xiàng)相消法求，根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，而，則是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，
所以，則，
所以，
則在上恒成立，
要使不等式恒成立，只需，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題
17．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則運(yùn)算即可得解.
【詳解】（1）.
（2）
18．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）構(gòu)造方程組從而可求解；
（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消求和.
【詳解】（1）令，得，
當(dāng)，則：，
得：，解得：，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式.
綜上，.
（2）證明：
由
所以:
故：.
19．已知函數(shù).
(1)時(shí)，求證：是曲線的一條切線；
(2)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)論；
（2）由題意可得，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】（1）時(shí)，，
則，令，解得，
又，
所以曲線在處的切線方程為，即，
所以是曲線的一條切線；
（2），
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線平行于軸，
所以，即，解得，
此時(shí)，
所以曲線在點(diǎn)處的切線為，符合題意，
所以.
20．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前和為，．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用和的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義求解即可;
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，，
當(dāng)時(shí)，滿足，
所以，即，
所以，
所以是等差數(shù)列．
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
所以．
21．國家助學(xué)貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi).從年秋季學(xué)期起，全日制普通本?？茖W(xué)生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學(xué)貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學(xué)生甲在本科期間共申請到元的助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)還清，已知該學(xué)生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個(gè)月開始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，此后工資不再浮動(dòng).
(1)學(xué)生甲參加工作后第幾個(gè)月的月工資達(dá)到元；
(2)如果學(xué)生甲從參加工作后的第一個(gè)月開始，每個(gè)月除了償還應(yīng)有的利息外，助學(xué)貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，第個(gè)月償還剩余的本金.則他第個(gè)月的工資是否足夠償還剩余的本金.
（參考數(shù)據(jù)：；；）
【答案】(1)；
(2)不能，理由見解析.
【分析】（1）設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；
（2）分析可知從第個(gè)月開始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，計(jì)算出甲前個(gè)月償還的本金，再由甲第個(gè)月的工資可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，
則，可得，，解得，
所以，學(xué)生甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元.
（2）解：因?yàn)榧浊皞€(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，
所以，從第個(gè)月開始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
所以，前個(gè)月償還的本金為，
因?yàn)榈趥€(gè)月開始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，
所以，第個(gè)月的工資為元，
因?yàn)椋虼?，甲第個(gè)月的工資不能足夠償還剩余的本金.
22．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足______，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)的和．
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)
【分析】（1）若選①，可判斷是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；若選②，利用累加法可求出；若選③，可判斷是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.
【詳解】（1）解：若選①，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
當(dāng)時(shí)，，即，
又，所以，故也滿足，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故；
若選②，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，
，故，
也滿足，故對任意的，；
若選③，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，也滿足，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.
（2）解：在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，
所以，，所以，，即，
所以，，
，
上式下式可得
，故.

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